Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ов с точностью до произвольного постоянного множителя для каждого
Путем выбора этого множителя можно привести систему к одной из стандартных форм. Чаще всего встречаются следующие три дополнительных ограничения:
. Функции образуют ортонормнрованную систему, причем коэффициент при вположителен.
. Коэффициент при в принимает предписанное значение, обычно равное единице.
. Для заданного значения (например, ) имеет заданное значение.
2. Общие свойства ортогональных многочленов.
Весовая функция на отрезке однозначно определяет систему ортогональных многочленов с точностью до постоянного множителя для каждого многочлена. Числа
являются моментами весовой функции, и при имеем
(2)
В обозначениях п.1 имеем.
Если обозначить (неопределенный) коэффициент при в через , то
Так как функции ортогональны, то
Для нормированных многочленов коэффициент имеет вид
*,
но мы не будем на этом этапе стандартизировать наши многочлены.
Любой многочлен степени является линейной комбинацией многочленов и, следовательно, ортогонален к .
Это приводит к простому доказательству следующей теоремы о нулях ортогональных многочленов: все нули являются простыми и расположены внутри отрезка .
В самом деле, если меняет знак на отрезке лишь в точках, то мы можем построить многочлен такой, что на отрезке . Но это противоречит тому, что.
Можно показать также, что между двумя последовательными нулями функции расположен в точности один нуль функции и по крайней мере один нуль , для которого .
Любые три последовательных многочлена связаны линейным соотношением. Мы будем использовать следующие обозначения - коэффициент при , а - коэффициент при в .
Мы докажем, что имеет место рекуррентная формула
(7)
где
Для того чтобы доказать формулу (7), заметим, что при значении (8) для выражение является многочленом, степень которого равна или меньше чем и, следовательно, этот многочлен имеет вид
Из ортогональности семейства получаем, что, и потому
Но является многочленом, степень которого не превосходит , и, следовательно,
или Наконец, сравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства (7), получаем значения для . Рекуррентная формула (7) остается справедливой для , если положить
(9)
Отметим, что, и обратно, система многочленов, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (7) с положительными и , образует ортогональную систему.
Из (7) легко получить формулу Кристоффеля - Дapбy
и, переходя к пределу, когда , получим
Пусть- система ортогональных многочленов с весовой функцией , и пусть - многочлен степени , неотрицательный на отрезке и имеющий простые нули в точках . Ортогональные многочлены , соответствующие весовой функции , задаются формулой Кристоффеля
а которой являются произвольными постоянными множителями. Если некоторые из нулей функции являются кратными, то формулу (12) надо заменить вырожденной.
Ортогональные многочлены обладают некоторыми важными экстремальными свойствами.
Первое из них: интеграл
в котором через обозначен любой многочлен степени со старшим членом , принимает минимальное значение тогда и только тогда, когда , где - постоянная величина, такaя, что
Второе свойство связано с многочленами
которые определены для комплексных - комплексно сопряженное ). Отметим, что для конечных значений, таких, что многочлены ортогональны относительно веса(см. (10) и (11)). Упомянутое экстремальное свойство может быть сформулировано следующим образом.
Пусть является любым многочленом степени с комплексными коэффициентами, таким, что интеграл (13) равен единице. Для любого фиксированного (возможно, комплексного) значения максимум достигается тогда и только тогда, когда
Этот максимум равен
3. Рекуррентная формула; формуа Кристоффеля - Дарбу.
Т е о р е м а.1. Справедливо следующее соотношение между любыми тремя последовательными ортогональными многочленами:
(1)
Здесь - постоянные, причем > 0 и > 0. Если старший коэффициент многочлена обозначим через ,то будем иметь
Для доказательства определим прежде всего число по условию, чтобы многочлен был . Этот многочлен может быть записан в виде линейной комбинации. В силу ортогональности ясно, что при , откуда вытекает (1). Первое из равенств (2) является следствием (1), второе вытекает из равенства:
Так как интеграл правой части равен
Формула (1) будет справедлива и при, если мы положим , причем , очевидно, может быть любым. Тогда будет верна и первая из формул (2) приoтносительно теоремы, обратной к теореме 1.
Т е о р е м а 2. Имеет место соотношение
В частном случае . Это важное тождество легко может быть выведено из рекуррентной формулы. Действительно,
Учитывая (2), отсюда получаем тождество
которое справедливо и для , причем ясно, что может быть взято
произвольным. Заменяя n через 0,1,2,…,n и складывая, получаем (3).
О