Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения инженерного факультета Вологда-Молочное
Вид материала | Методические указания |
СодержаниеКонтрольная работа № 4 |
- Программа, методические указания и контрольные задания для студентов 5 курса заочного, 439.54kb.
- Программа, методические указания и контрольные задания для студентов 5 курса заочного, 2134.85kb.
- Методические указания по курсовому проектированию для студентов инженерного факультета, 2106.45kb.
- Методические указания по изучению дисциплины и задания для контрольной работы Для студентов, 418kb.
- Методические указания и контрольные задания по английскому языку орёл 2009, 222.99kb.
- Методические рекомендации и контрольные задания для студентов V курса заочного отделения, 4486kb.
- Методические указания и задания к выполнению контрольных работ для студентов инженерного, 3578.08kb.
- Методические указания и контрольные задания к внеаудиторной самостоятельной работе, 500.1kb.
- Методические рекомендации и контрольные задания для студентов 2 курса заочного отделения, 272.38kb.
- Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов заочного, 505.77kb.
1 2
Пример 1.
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом


В случае однородной пластины, занимающей область






где



Сделаем чертёж:

В нашем случае фигура ограничена кривыми




Для вычисления полученного интеграла используем замену



Значит,

Найдём

Первый из полученных интегралов вычисляется с помощью замены




Отсюда

тогда

Найдём


Пример 2.
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями


Поскольку фигура симметрична относительно оси





Таким образом,


^ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Тема 1.
Дифференциальные уравнения
В задачах 1-20 найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
Решение типового примера.
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

Заменяем






Интеграл в правой части решаем методом замены:




Тогда решение уравнения имеет вид:

Воспользуемся свойствами логарифма, получим:

В задачах 21-40 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.
-
,
;
,
;
,
,
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
Решение типового примера.
Найти частное решение дифференциального уравнения


Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Полагаем









Подберём функцию






Для определения функции


или

Этот дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции


Интегрируя обе части равенства, получаем

Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, в результате чего имеем

Откуда

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Используя начальное условие, вычисляем соответствующее ему значение постоянной С:


Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид:

В задачах 41-60 найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение типового примера.
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Найдём общее решение


Так как корни его характеристического уравнения





Подбираем теперь частное решение исходного неоднородного уравнения в виде:

Отсюда


Подставляя





или после упрощения

Отсюда следуют равенства:

т.е.


Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Тема 2.
Ряды
В задачах 61-80: a) исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд; б) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; в) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
- а)
; б)
; в)
;
Решение типового примера.
- Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд:
Общий член ряда

Тогда


Так как

б) С помощью признака Лейбница исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

Рассмотрим абсолютные величины членов исходного ряда:

При этом



Таким образом, члены заданного ряда монотонно убывают по абсолютной величине. Кроме того

в) Найти радиус сходимости степенного ряда

Определить характер сходимости ряда на концах интервала сходимости.
Запишем заданный ряд следующим образом:

Общий член ряда

Для исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера:

Таким образом, при


Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках


При


Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при


При


Это числовой знакоположительный ряд, который расходится (сравните его с гармоническим рядом). Следовательно, точка

Таким образом, область сходимости исходного степенного ряда
