Пояснительная записка Цели курса: создание ориентационной и мотивационной основ для сознательного выбора физико-математического профиля обучения

Вид материалаПояснительная записка

Содержание


Общими принципами
Практическое занятие
Практическое занятие
Практическое занятие
В том числе
Арифметика комплексных чисел
Извлечение квадратных корней из комплексных чисел
Решение алгебраических уравнений
Подобный материал:
Матрицы и комплексные числа

(16 часов)


В.В. Чистяков

Пояснительная записка

Цели курса:
  • создание ориентационной и мотивационной основ для сознательного выбора физико-математического профиля обучения;
  • формирование средствами геометрии и алгебры первичных навыков наполнения абстрактных понятий (комплексные числа) конкретным наглядным содержанием (матрицы, вектора), что необходимо при неформальном изучении математики;
  • активизация познавательной и профессионально-поисковой активности учащихся в естественнонаучных и технических областях.

Курс «Матрицы и комплексные числа» ставит следующие задачи:
  • обеспечить учащихся (в доступном для понимания виде) достоверной информацией, связанной с комплексными числами и их матричным представлением;
  • расширить математический кругозор учащихся путем ознакомления с этими новыми типами алгебраических понятий более высокой степени общности и абстрактности;
  • дать возможность проверить свои способности в различных видах деятельности, требующих математического мышления (абстрактного, геометрического, логического, алгоритмического);
  • дать навыки выполнения арифметических операций (в том числе с использованием калькулятора) с комплексными числами, с одновременной увязкой этих операций с геометрическими построениями и образами;
  • научить выполнять алгебраические действия с комплексными числами при решении уравнений и других задач, в том числе нестандартных и исследовательских;
  • дать навыки поиска нужной информации в научно-популярных изданиях, ее отбора и использования.

Предлагаемый курс ликвидирует многие «белые пятна» школьной алгебры и начал анализа  дает возможность обобщить уже известные учащимся и сформулировать новые теоремы и факты, выстраивающие школьный материал в логически стройную и лаконичную систему без ненужных, порой громоздких условий и оговорок. Он предоставляет большую свободу для творческих действий и поиска, исключает многие ограничения, являющиеся источником формальности многих задач и упражнений. Введение простейших элементов линейной алгебры необходимо не только для обобщения понятий математической величины, математического объекта вообще, но и для развития логического мышления в планиметрии и векторной алгебре. Трудно запоминаемый набор тригонометрических формул как одна из причин ошибок при решении задач становится простым и красивым в выводе, приобретая изящную геометрическую наглядность.

^ Общими принципами отбора материала программы являются:
  • востребованность его в физико-математических школьных дисциплинах;
  • увлекательность содержания, позволяющего под иным углом зрения рассмотреть обязательный учебный материал;
  • доступность, обеспеченная опорой на уже изученные понятия и факты;
  • научность, отсутствие «принимаемых на веру» фактов, формул, теорем и т. д.;
  • принцип преемственности  тесная связь с изучаемым материалом как в 9 классе, так и в старших профильных;
  • целостность, т.е. включение в программу только логически взаимосвязанных модулей, составляющих единый блок;
  • направленность на более высокую успешность ученика в математических дисциплинах;
  • реалистичность усвоения основного содержания программы за 16 часов;

Системность содержания обеспечивается логикой и последовательностью изложения материала

Содержание курса, выполняемые задания и приобретаемые знания и навыки в сочетании с самоанализом и рефлексией делают более зрелым и обдуманным выбор дальнейшего профиля обучения.

Обобщенность заложенных в программе знаний и идей дает возможность использовать их также учащимися, не выбравшими математический профиль.

Программой предусмотрено проведение различных типов занятий  от лекций до семинаров и самостоятельных работ, а также написание небольшого научно-популярного реферата, возможно, коллективного (проекта).

Учебный курс позволит учащимся освоить небольшой, но весьма важный радел о комплексных числах, являющийся связующим звеном между различными темами и даже дисциплинами, решать основные типы задач, упражнений аналитически и с помощью калькулятора, приобрести навыки работы на научно-инженерном калькуляторе как с действительными, так и с комплексными числами, что очень важно в дальнейшем профильном обучении. Курс должен помочь освоить основные базовые знания алгебры, причем на качественно ином, более глубоком уровне в тесной взаимосвязи с геометрией. Красота и изящность геометрической интерпретации должна повысить интерес к предмету, активизировать дальнейшие поиски знаний и возможностей их применения, т. е. побуждать учащихся использовать репродуктивные формы обучения. На пропедевтическом уровне учащиеся приобретут знания, умения и навыки, необходимые для решения тригонометрических задач. В силу того, что комплексные числа имеют и алгебраическую, и матричную, и геометрическую интерпретации, предлагаемый курс позволяет собрать в единый комплекс едва ли не весь изучаемый математический материал, сформировать более богатый и разносторонний арсенал знаний и методов решения математических проблем, расширить кругозор.

К основным видам деятельности учащихся относятся:
    • решение различных задач на вычисление, доказательство, построение и исследование, анализ их решения;
    • вычисление и исследование различных величин при помощи калькулятора, имеющего опцию «комплексные числа»;
    • самостоятельный информационно-аналитический поиск в учебных, энциклопедических и научно-популярных изданиях и интернете;
    • участие в дискуссиях по вопросам курса;
    • написание коллективного реферата.

Организация учебной работы обеспечивает
    • успешное усвоение учебного материала с тем, чтобы непосредственно иметь возможность использовать его в учебно-познавательной деятельности учащегося;
    • развитие необходимых умений и навыков решения как типовых, так и нестандартных задач и проблем, в том числе через исследовательскую деятельность и самостоятельный литературный поиск.


Содержание программы


Тема 1. Квадратные матрицы 2x2.Основные операции (2 ч)

Квадратные матрицы 2x2. Сложение, умножение на действительное число, построение линейной комбинации матриц. Транспонированная матрица. Свойства операций: ассоциативность, дистрибутивность. Произведение двух квадратных матриц и возведение матрицы в натуральную степень. Нулевая (O), единичная (E) и минус-единичная (-E) матрицы. Свойство матриц удовлетворять квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Квадратный корень из минус-единичной матрицы I.

Множество матриц типа aE+bI, его основные свойства.

^ Практическое занятие. Действия с матрицами.

Тема 2. Арифметика комплексных чисел: теория и практика (4 ч)

«Воображаемый» знак числа. Чисто мнимые и комплексные числа. Взаимно однозначное соответствие между матрицами типа aE+bI и мнимым (воображаемым) числом a+bi. Действительная и мнимая часть комплексного числа. Комплексно сопряженное число, связь с транспонированием.

Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексная плоскость. Сложение комплексных чисел в алгебраической форме, геометрическая интерпретация. Умножение комплексных чисел. Элементарные действия с комплексными числами при помощи научного (scientific) калькулятора.

Произведение комплексного числа на сопряженное. Геометрический образ комплексно-сопряженного числа на плоскости. Обратное комплексное число. Деление. Построение обратного числа при помощи циркуля и линейки. Сравнение с вычислениями на калькуляторе.

^ Практическое занятие. Действия с комплексными числами, геометрические построения, вычисления при помощи инженерного калькулятора.


Тема 3. Извлечение корней из комплексных чисел (4 ч)

Модуль и аргумент комплексного числа. Связь с действительной и мнимой частями. Сходство и отличия комплексных чисел с векторами на плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической к тригонометрической форме, сравнение с результатами, полученными при помощи калькулятора..

Комплексное число с единичным модулем, матричное представление, результат умножения на E и I, aE+bI. Поворот вектора на плоскости.

Возведение в квадрат комплексного числа в тригонометрической форме. Квадратные корни из комплексного числа, свойства. Комплексные корни различной степени из единицы. Связь с правильными многоугольниками, вписанными в тригонометрический круг. Приближенное вычисление корней из комплексного числа при помощи калькулятора.

^ Практическое занятие. Нахождение корней из комплексных чисел аналитическим путем, геометрическим построением и при помощи калькулятора.

Тема 4. Решение алгебраических уравнений (4 ч)

Решение произвольных квадратных и биквадратных уравнений с действительными коэффициентами. Разложение некоторых многочленов высоких степеней на линейные множители. Теорема Виета для комплексных корней. Основная теорема алгебры.

Тема 5. Проект-реферат «Комплексные числа в моей будущей профессии» (2 ч)

Получив в начале курса план реферата и список литературы, ученики находят информацию о тех областях науки и техники, в которых, возможно, им предстоит работать, и где не обойтись без комплексных чисел: электротехника, теория упругости, распространение радиоволн, аэродинамика, классическая механика, теория устойчивости, алгебра, теория чисел, анализ, и т. д. Используя в качестве первичного источника математическую и физическую энциклопедии, а также различную научно-популярную литературу, каждый ученик пишет свою часть (файл) также в электронном виде MS Word. На семинаре (круглом столе) после тщательной подготовки и консультации с преподавателем, каждый кратко излагает свой материал, отвечает на вопросы учащихся и учителя. При необходимости учитель дополняет или вносит поправки. Определяются наиболее удачные файлы. Предлагается и обсуждается план общего реферата, который делится на главы. Разбившись на группы в соответствии с главой, в которую попадает файл, ученики компилируют главу, стараясь придерживаться правил написания рефератов (текст имеется в классе). Затем главы соединяют, придумывают название, пишут «вступление», «выводы» и «заключение». Со всех файлов составляют список литературы.


Учебно-тематический план




п/п

Наименование темы

Всего часов

^ В том числе

Виды

деятельности

Форма

контроля

л

п/з

с/з

1

Квадратные матрицы 2x2. Основные операции

2

2

-

-

Изучение материала, решение примеров

Тест

2

^ Арифметика комплексных чисел


4

2

2




Геометрические построения, решение примеров, работа с калькулятором, рефлексия

Фронтальный опрос, вычислительные задания для калькулятора

3

^ Извлечение квадратных корней из комплексных чисел

4

2

2

-

Решение задач и уравнений

Самостоятельная работа

4

^ Решение алгебраических уравнений

4

2

2




Решение, постро­ение на комп­лексной плоскости.

Самостоятельная работа, фронтальный опрос

5

Проект-реферат

«Комплексные числа в моей будущей профессии»

2

-

-

2

Поиск в научно-популяр­ной и учебной лит-ре и в интернете, работа с литературой

Коллективный реферат




ИТОГО

16

8

6

2








Методические рекомендации


На занятиях по теме 1 учащиеся знакомятся с основными понятиями, касающимися матриц и действий с ними, решают демонстрационные примеры на основные действия с матрицами 2x2. Акцент, однако, делается на особые матрицы, обладающие свойствами комплексных чисел.

При изучении темы 2 школьники самостоятельно решают типичные примеры на сложение и умножение комплексных чисел, анализируя и обобщая полученные результаты.

Самостоятельно либо на занятиях школьники обучаются работе с научно-инженерным калькулятором, имеющим опцию «Комплексные числа» (самый доступный SHARP EL-5093), пропедевтически знакомятся с двумя формами представления этих чисел, причем с разными единицами измерения аргумента (градус и радиан). Этот вид деятельности наиболее важен, так как тренирует аккуратность, продуманность действий, умение сохранять в памяти последовательность и результаты предыдущих шагов, умение находить ошибку путем логических рассуждений .

Решаются задачи на геометрическое построение комплексных чисел и результатов операций с ними. Наиболее интересное и неожиданное здесь  алгоритм построения при помощи циркуля и линейки обратного комплексного числа 1/z = z*/|z|2. Один алгоритм учитель может предложить на занятии, другой (на основе следствий теоремы Фалеса) поручить разработать учащимся. Перед занятием дается задание на повторение основных приемов таких построений для различных алгебраических выражений.

На занятиях по теме 3 учащиеся под руководством учителя решают задачи следующих типов: переход от алгебраической к тригонометрической форме комплексного числа в матричном представлении; умножение и возведение в квадрат и куб числа в обеих формах. В 1-й четверти через составление и решение систем двух уравнений решают задачу извлечения квадратного корня из комплексного числа с аргументом. Одновременно учащиеся осваивают решение систем специального вида через переход к «полярным» переменным (x,y) (Rcos, Rsin). На пропедевтическом уровне рассматриваются корни n-й степени из единицы, n = 3,4,5,6 и проблема их построения на комплексной плоскости при помощи циркуля и линейки (n=5).

При изучении темы 4 в основном решаются квадратные и биквадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, задачи разложения некоторых многочленов высоких степеней на множители (x4 +x2+1, x4 -x2+1,xn +xn-1…. +x+1 и т.д.). Обращается внимание на число корней уравнения с учетом кратности, на множественность и групповые свойства корней из единицы, связь между корнями из произвольного комплексного числа и из единицы. Даются графические задания построить на комплексной плоскости корни 2-й и 4-й степеней из комплексных чисел при помощи циркуля и линейки.

Проведению заключительного занятия предшествует тщательный поиск в интернете и в научно-популярной литературе. Учитель выступает здесь в качестве навигатора и дает первичные навыки такого поиска. Здесь важны научный кругозор учителя, знания в различных фундаментальных и прикладных областях, и главное, умение донести эти знания до ученика на доступном, наглядном уровне.


Литература
  1. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ [Текст] : 11 кл. : учебное пособие для школ с углуб. изуч. математики / Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С. И.,. – М.: Мнемозина, 2001.
  2. Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа [Текст] : 11 кл. общеобразовательных школ : учебник. Глава III. / Колягин Ю.М. [и др.]. – М.: Мнемозина, 2001.

3. Корн Г. Справочник по математике [Текст] : для научных работников и инженеров / Корн Г., Корн Т.— М. : Наука, 1968.

4. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа [Текст] : учебник для 11 класса общеобразовательного учреждения / Никольский С.М. [и др.]. – М. : Просвещение, 2001.

5. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах [Текст]: книга для учащихся математических классов, учителей и студентов педагогических вузов / Понарин Я.П. – М. :УРСС, 2004.