Рабочая программа учебной дисциплины дпп. Ддс. 04. Геометрия ооп

Вид материала

Содержание

Самостоятельная работа (часов по учебному плану):30
Дпп.ддс.04. геометрия
Пояснительная записка
2.Учебно-тематический план
I. Элементы топологии
II. Дифференциальная геометрия
Элементы топологии Лекция № 1
Линии в евклидовом пространстве
Поверхности в евклидовом пространстве
Внутренняя геометрия поверхности
Практические занятия по геометрии
Занятие № 2. Непрерывность и гомеоморфизм
Занятие № 3.Топологическое многообразие.
Занятие № 4 Элементы сопровождающего трехгранника.
Занятие № 5. Кривизна и кручение кривой.
Занятие № 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Вычисление коэффициентов первой квадратичной формы поверхности.
Занятие № 7. Приложение первой квадратичной формы поверхности к решению задач.
4.Методические материалы и рекомендации для преподавателя.
Средствами обучения
Приемами организации
...
Полное содержание

Подобный материал:

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ С.М.КИРОВА

Физико-математический факультет

кафедра алгебры и геометрии

«УТВЕРЖДАЮ»

Декан физико-математического факультета

_______________И.Н. Медведева

«_____»_____________200__г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ДПП.ДДС.04. ГЕОМЕТРИЯ

ООП: Специальность 032100.00 Физика

с дополнительной специальностью математика (код ОКСО 050201)

Факультет: физико-математический

Форма обучения: дневная

II курс, 4 семестр

Всего (часов по учебному плану в трудоемкости): 66

Лекции (часов по учебному плану): 22

Практические занятия (часов по учебному плану):14

^ Самостоятельная работа (часов по учебному плану):30

Курсовой проект (курсовая работа) (номер семестра):6

Зачет 4 семестр

ПСКОВ

2007

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 032100.00 Математика с дополнительной специальностью физика.

Номер государственной регистрации

№ 692 пед/сп (новый)

«31» января 2005 г.

^ ДПП.ДДС.04. ГЕОМЕТРИЯ

Рабочая программа принята на заседании кафедры алгебры и геометрии.

Протокол № ____ заседания кафедры

«____»____________ 200 __ г.

Программу разработала кандидат физико-математических наук, доцент

__________________________ И.Н. Медведева

Заведующий кафедрой алгебры и геометрии

________________________ И.Н. Медведева

1.^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1.1Требования к содержанию учебной дисциплины из Государственного образовательного стандарта

ДПП.Ф.06

Геометрия

Векторы и операции над ними. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямая линия на плоскости, прямые и плоскости в пространстве. Линии второго порядка, поверхности второго порядка. Преобразования плоскости и пространства. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. Проективные пространства и их модели. Основные факты проективной геометрии. Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия. Элементы топологии. Понятия гладкой линии и гладкой поверхности. Формулы Френе. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Внутренняя геометрия поверхности. Исторический обзор обоснований геометрии. “Начала” Евклида. Элементы геометрии Лобачевского. Общие вопросы аксиоматики. Системы аксиом Вейля евклидова пространства. Неевклидовы пространства. Длина отрезка. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.

398

с.14

В данном семестре продолжается систематическое изучение курса геометрии, в рамках которого осуществляется фундаментальная подготовка будущего учителя математики.

Рабочая программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 032100.00 – математика с дополнительной специальностью физика

Целью курса является формирование системы знаний, отражающей состояние современной геометрической науки, формирование научного мировоззрения будущего учителя.

Логика последовательности изучения учебного материала определена государственным образовательным стандартом.

В четвертом семестре изучаются два важных раздела: «Элементы топологии» и «Дифференциальная геометрия».

В разделе «Элементы топологии» изучаются базовые вопросы общей топологии, дается понятие о топологическом пространстве, топологическом многообразии, изучаются основные топологические свойства: связность, отделимость и компактность. Достаточно подробно изучается одно из главных понятий в математике - непрерывность. Проводится классификация компактных двумерных многообразий.

В разделе «Дифференциальная геометрия» изучаются линии и поверхности в евклидовом пространстве, а также некоторые вопросы внутренней геометрии поверхности.

После изучения этого раздела студенты должны освоить следующие базовые понятия: линия, касательная к кривой, кривизна и кручение кривой, поверхность, первая и вторая квадратичные формы поверхности, средняя и гауссова кривизны поверхности.

2.Учебно-тематический план

№ п/п	Раздел, тема	Всего часов	в том числе аудиторных			самост. работа
№ п/п	Раздел, тема	Всего часов	всего	лекций	практ. занятий	самост. работа
	^ I. Элементы топологии	28	16	10	6	12
1	Топологическое пространство		6	4	2
2	Основные топологические свойства		6	4	2
3	Топологическое многообразие		4	2	2
	^ II. Дифференциальная геометрия	38	20	12	8	18
1	Линии в евклидовом пространстве		10	6	4
2	Поверхности в евклидовом пространстве		9	5	4
3	Внутренняя геометрия поверхности		1	1
	ИТОГО	66	36	22	14	30

Лекционные занятия

^ Элементы топологии

Лекция № 1

Определение топологического пространства. Примеры.Тривиальная и дискретная топологии. Метрические пространства. Топология, индуцированная метрикой. Замкнутые множества. Свойства замкнутых множеств.

Лекция № 2

Внутренние, внешние, граничные точки. Примеры в различных топологиях. Точка прикосновения. Понятие о замыкании.

Лекция № 3

Базис топологического пространства. Примеры базисов в различных топологиях. Связность, отделимость, компактность. Теорема о получении связных множеств.

Лекция № 4

Непрерывные отображения. Критерий непрерывности. Гомеоморфизм. Примеры. Контрпримеры. Предмет топологии.

Лекция № 5

Определение многообразия, многообразия с краем. Примеры. Понятие о клеточном разбиении двумерного многообразия с краем. Эйлерова характеристика многообразия. Примеры. Адаптивность эйлеровой характеристики.

Корректность определения эйлеровой характеристики (для двумерной сферы с доказательством). Понятие о триангуляции. Определение ориентируемого и неориентируемого двумерного многообразия. Примеры. Классификация двумерных компактных многообразий. Теорема Жордана.

Дифференциальная геометрия

Линии в евклидовом пространстве

Лекция №6

Векторная функция скалярного аргумента (непрерывность и дифференцируемость в точке, необходимое и достаточное условие дифференцируемости, правила дифференцирования). Простейшие и элементарные линии. Понятие о линии (кривой). Примеры. Понятие об обыкновенной и особой точках линии. Гладкие линии. Примеры.

Лекция № 7

Теорема о существовании касательной к кривой. Уравнения касательной для различных способов задания кривой. Длина дуги. Естественная параметризация.

Вектор кривизны. Кривизна линии. Радиус кривизны. Необходимое и достаточное условие линии быть простейшей. Элементы сопровождающего трехгранника Френе. Понятие о кручении линии. Формулы Френе.

Лекция № 8

Плоская кривая. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации. Винтовая линия. Кривизна и кручение винтовой линии.
^

Поверхности в евклидовом пространстве

Лекция № 9

Векторная функция двух скалярных аргументов (обзор). Простейшая и элементарная поверхности. Понятие об обыкновенной и особой точках поверхности. Понятие о простой поверхности. Гладкие поверхности. Система криволинейных координат на поверхности. Примеры.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнения касательной плоскости и нормали к некоторым поверхностям.

Определение первой квадратичной формы поверхности. Примеры. Метрические задачи: 1) вычисление длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности; 2) вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащими на поверхности и имеющими общую точку; 3) вычисление площади гладкой компактной поверхности.

Лекция № 10

Понятие о второй квадратичной форме поверхности. Нормальная кривизна, нормальное сечение поверхности. Индикатриса кривизны поверхности. Понятие об эллиптической, параболической, гиперболической точках.

Главные направления поверхности в точке. Теорема Родрига. Главные кривизны поверхности. Понятие о линии кривизны. Средняя и гауссова кривизны поверхности.

Примеры поверхностей вращения постоянной полной кривизны. Частные случаи (сфера, псевдосфера). Прямой геликоид.
^

Внутренняя геометрия поверхности

Лекция № 11

Внутренняя геометрия поверхности. Деривационные формулы. Теорема Гаусса (гауссова кривизна как объект внутренней геометрии).

Изометрические поверхности. Основная теорема в геометрии изометрических поверхностей. Примеры изометрических поверхностей. Понятие о изгибании поверхности. Пример изгибания поверхности.

Геодезическая кривизна на поверхности. Геодезические линии. Теорема Гаусса - Бонне.
^

Практические занятия по геометрии

Элементы топологии.

Занятие № 1. Топологическое пространство.

Занятие начинается с входного контроля .

Необходимо знать определение топологического пространства, уметь приводить примеры (тривиальная, дискретная, естественная, концентрическая топологии). Знать определения внутренней, внешней, граничной точек, внутренности, внешности, границы множества. Уметь приводить примеры в различных топологиях.

Занятие проходит в форме представления презентаций и буклетов по заранее выбранным темам.

.

^ Занятие № 2. Непрерывность и гомеоморфизм.

Занятие начинается с входного контроля

Необходимо знать определение непрерывного отображения, гомеоморфизма, уметь приводить примеры и контрпримеры. Знать доказательство необходимого и достаточного признака непрерывности отображения в точке.

Занятие проходит в форме представления презентаций и буклетов по заранее выбранным темам.

^ Занятие № 3.Топологическое многообразие.

Занятие начинается с входного контроля.

Необходимо знать определение топологического многообразия, уметь приводить примеры. Эйлерова характеристика многообразия (примеры, аддитивность, корректность определения). Знать определение ориентируемого и неориентируемого многообразия. Уметь приводить примеры.

Занятие проходит в форме представления презентаций и буклетов по заранее выбранным темам

^ Занятие № 4 Элементы сопровождающего трехгранника.

Занятие начинается с входного контроля.

Необходимо знать определение всех элементов сопровождающего трехгранника Френе и их уравнения.

^ Занятие № 5. Кривизна и кручение кривой.

Занятие начинается с входного контроля.

Необходимо знать определение кривизны и кручения, вывод формулы для вычисления кривизны и кручения в естественной и произвольной параметризации Понимать геометрический смысл кривизны, кручения. Формулы Френе.

^ Занятие № 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Вычисление коэффициентов первой квадратичной формы поверхности.

Занятие начинается с входного контроля.

Необходимо знать определение поверхности, способы задания. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Знать определение первой квадратичной формы поверхности, формулы для вычисления коэффициентов первой квадратичной формы.

^ Занятие № 7. Приложение первой квадратичной формы поверхности к решению задач.

Занятие начинается с входного контроля

Необходимо знать три задачи: 1) вычисление длины дуги на поверхности, 2) нахождение угла между кривыми на поверхности, 3)вычисление площади области поверхности.

кривизны поверхности в данной точке и ее вычисление.

^

4.Методические материалы и рекомендации для преподавателя.

Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс, является информационно-объяснительный метод с элементами проблемных ситуаций и заданий студентам. На практических занятиях основным является поисковый метод, связанный с решением различных типов задач.

^ Средствами обучения является базовый учебник, дополнительные пособия для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач.

^ Приемами организации учебно-познавательной деятельности студентов являются приемы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого содержания и приемы, направленные на развитие аналитико-поисковой и исследовательской деятельности.

Важно четко представлять структуру курса, уметь выделить в каждом разделе основные, базовые понятия, обозначенное минимумом содержания, определенного государственным образовательным стандартом.

Данный раздел геометрии играет большую роль в формировании научной картины мира, мировоззрения студентов. Данный курс должен сыграть большую роль в профессиональной подготовке будущего учителя.

^

Критерии оценок

В основе оценки знаний по предмету лежат следующие основные требования:

освоение всех разделов теоретического курса Программы;
умение применять полученные знания к решению конкретных задач.

Ответ заслуживает отличной оценки, если экзаменуемый показывает знания, в полной степени, отвечающие предъявляемым к ответу требованиям: это требование основных понятий и приемов решения задач. Отличная оценка характеризует свободную ориентацию экзаменуемого в предмете. Ответы на вопросы, в том числе и дополнительные, должны обнаруживать уверенное владение терминологией, основными умениями и навыками.

Хорошая оценка характеризует тот ответ, который не в полной степени удовлетворяет вышеперечисленным критериям, однако, экзаменуемый обнаруживает прочные знания в объеме курса. Ответ должен быть достаточно аргументирован, вопросы глубоко и осмысленно изложены.

Оценка «удовлетворительно» выставляется за то, что ответ экзаменуемого соотносится с основными требованиями, т.е. имеются в виду твердые знания в объеме учебной программы и умение владеть терминологией. Удовлетворительная оценка выставляется за знание в целом, однако, отдельные детали могут быть упущены.

Неудовлетворительная оценка выставляется, если ответ не удовлетворяет хотя бы одному из требований или отсутствуют знания основных понятий и методов решения задач.

^

Материалы по модульно-рейтинговой системе оценки знаний студентов по дисциплине

Общие положения

Дисциплина разбита на 4 модуля (блока).
По каждому модулю проводится текущий и блочный контроль. Максимально возможное число баллов по каждому виду контроля указано в технологической карте.
Студент, пропустивший текущий рейтинг по уважительной причине может сдать его в часы самостоятельной работы. Пропуск текущего рейтинга без уважительной причины пересдать не разрешается.
При повторной сдаче коллоквиума, сдаче его не по графику максимальный балл понижается до 7.
По результатам рейтинга студент может получить максимальное число баллов – 100.
Уровень успеваемости задается от 60%:
- студент, набравший от 60 до 75 баллов, автоматом получает оценку «удовлетворительно»
- студент, набравший от 75 до 90 баллов, автоматом получает оценку «хорошо»
- студент, набравший от 90 баллов и выше, автоматом получает оценку «отлично».
Если студент не имеет уровня успеваемости от 35 до 60 баллов или хочет повысить рейтинговую оценку, он сдает экзамен. На экзамен предлагается два теоретических вопроса и задача. Каждое задание оценивается в 10 баллов. Итого (с учетом рейтинга) максимальное число баллов становиться 130.

Если студент набрал:

65 баллов (50%) – оценка «удовлетворительно»
91 балл (70%) – оценка «хорошо»
110 баллов (85%) оценка «отлично».

Если студент набрал менее 35 баллов по итогам рейтинга, он на экзамене проходит дополнительное собеседование по всему курсу (на уровне базовых понятий, простейших упражнений). Вопросы задаются в количестве, необходимом для получения 35 баллов. После этого получает билет и задачу (см. п.7).
Если студенту не удается набрать 35 баллов, ему записывается заработанный балл и в ведомость ставиться оценка «неудовлетворительно».

Технологическая карта

Название блока (модуля)	Вид контроля, содержание	Возможное количество баллов		Контрольные сроки	Максимальное количество баллов по блоку
Элементы топологии.	Текущий				32
	Математический диктант	0-3		15.03
	Связность, отделимость, компактность	0-3		22.03
	Гомеоморфизм. Многообразия.	0-3		29.03
	Блочный
	Коллоквиум №1	0-10		4-7.04
	Творческое задание (сочинение, эссе)	0 - 4		до 11.04
	Тест	0 - 5		1.04
Линии в евклидовом пространстве.	Текущий				20
	1.Формулы Френе	0-3		8.04
	2.Кривизна, кручение	0-3		15.04

	Блочный
	Контрольная работа №1	0-6		6.05
	Тест	0-5	29.04
Поверхности в евклидовом пространстве.	Текущий				30
	I квадратичная форма	0-3		10.05
	II квадратичная форма	0-3		13.05

	Блочный
	Тест	0-5	20.05
	Контрольная работа №2	0-6	27.05
	Коллоквиум №1	0-10	16-18.05
Внутренняя геометрия поверхности	Текущий				2
	Гауссова кривизна	0-3	3.06		3
1-4.	Семестровый контроль	0-15	6-8.06		15
Итого					100

Примечание. Технологическая карта выдается студентам на первом занятии с указанием конкретных сроков прохождения контроля и правил начисления баллов. В дальнейшем правила игры не меняются.

^ Тематика творческих заданий для подготовки презентаций и буклетов

Ты живешь в неориентируемом мире. Что это значит?
Топология с детского сада, возможно ли это? (Как придумать фигуру, которую можно нарисовать одним росчерком?)
Говорят, что топология – это наука-нахалка. Справедливо ли обвинение?
Каким минимальным числом красок можно раскрасить политическую карту мира?
Почему тополог путает кофейную чашку с бубликом?
Топологический Колобок. Какая у него сказка? (Топологические приключения Колобка)
Сфера с ручкой – это прозвище или топологический объект?
Удивительные превращения сферы с ручкой.
Что ты знаешь о гипотезе Пуанкаре?
Если бы река Великая была лентой Мебиуса?
Эйлерова характеристика объектов реального мира.
Топологический узел – он похож на морской?
Хорошо ли знают топологию научные фантасты?
Математические образы в реальном мире (топологический анализ) (рисунки А.Т. Фоменко)
Топологические полиэдры и роман М. Булгакова «Мастер и Маргарита».
Бутылка Клейна как предмет вдохновения научных фантастов.
Как можно применить односторонность ленты Мебиуса в реальной жизни? (Что в ленте Мебиуса привлекает изобретателей?)
Почему топологию называют геометрией на резиновой поверхности?
Лента Мебиуса в научной фантастике.
Топологические фокусы.
Что вы знаете про задачу о семи мостах?
Существует ли бутылка, из которой нельзя выпить и в которую нельзя налить?
Граф в топологии – это титул?
Топология и гипотезы об устройстве Вселенной.

Вопросы к коллоквиуму

Определение топологического пространства. Примеры. Метрические
пространства. Замкнутые множества. Свойства замкнутых множеств.
Внутренние, внешние, граничные точки. Примеры в различных топологиях. Точка соприкосновения. Понятие о замыкании.
Базис топологического пространства. Связность. Теорема о получении связных
множеств.
Отделимость, компактность.
Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Примеры. Контрпримеры. Предмет топологии,
Определение многообразия, многообразие с краем. Примеры.
Понятие о клеточном разбиении двумерного многообразия с краем. Эйлерова
характеристика многообразия. Аддитивность эйлеровой характеристики.
Корректность определения эйлеровой характеристики (для двумерной сферы с доказательством).
Понятие о триангуляции. Определение ориентируемого и неориентируемого
двумерного многообразия. Примеры. Классификация двумерных компактных
многообразий. Теорема Жордана.

Примеры базовых задач

Контрольная работа №1. Линии в евклидовом пространстве

1. Найти элементы сопровождающего трехгранника, кривизну и кручение кривой:

Контрольная работа № 2

1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке M_o(u=0, v=0), I и II квадратичные формы, гауссову и среднюю кривизны поверхности

Вопросы к экзамену

Определение топологического пространства. Примеры. Метрические пространства. Топология, индуцированная метрикой.
Замкнутые множества. Свойства замкнутых множеств.
Внутренние, внешние, Граничные точки. Примеры в различных топологиях. Точки прикосновения. Понятие о замыканиях.
Базис топологического пространства.
Связность. Теорема о получении связных множеств.
отделимость, компактность.
Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Примеры. Контрпримеры. Предмет топологии.
Определение многообразия, многообразия с краем. Примеры.
Понятие о клеточном разбиении двумерного многообразия с краем. Эйлерова характеристика многообразия. Примеры.
Аддитивность эйлеровой характеристики.
Корректность определения эйлеровой характеристики (для двумерной сферы с доказательством).
Понятие о триангуляции. Определение ориентируемого и неориентируемого двумерного многообразия. Примеры.
Классификация двумерных компактных многообразий. Теорема Жордана.
Простейшие элементарные линии. Понятие о линии (кривой). Примеры. Понятие об обыкновенной и особой точках линии. Гладкие линии. Примеры.
Теорема о существовании касательной. Уравнения касательной для различных способов задания кривой.
Длина дуги. Естественная параметризация.
Кривизна кривой. Трехгранник Френе.
Кручение кривой (определение, вычисление в естественной параметризации). Формулы Френе.
Плоская линия.
Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
Винтовая линия. Кривизна и кручение винтовой линии.
Векторная функция двух скалярных аргументов (обзор). Простейшая и элементарная поверхности. Понятие об обыкновенной и особой точках поверхности. Понятие о простой поверхности. Гладкие поверхности. Система криволинейных координат на поверхности. Примеры.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнения касательной плоскости и нормали к некоторым поверхностям.
0пределение первой квадратичной формы поверхности. Примеры. Вычисление длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности.
Вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащими на поверхности и имеющими общую точку. Вычисление площади гладкой компактной поверхности.
Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна, нормальное сечение поверхности. Индикатриса кривизны поверхности. Понятие об эллиптической, параболической, гиперболической точках.
Главные направления поверхности в точке. Теорема Родрига.
Главные кривизны поверхности. Понятие о линии кривизны. Средняя и гауссова кривизны поверхности.
Примеры поверхности вращения постоянной полной кривизны. Частные случаи (сфера, псевдосфера). Прямой геликоид.

5.Формы и методы самостоятельной работы

1.Изучение литературы при подготовке презентаций и буклетов

2.Подготовка презентаций и буклетов

3. Изучение доказательств лемм, теорем.

4. Доказательство по аналогии.

5.Работа с Интернет-ресурсами.

При организации самостоятельной работы применяются следующие типы работ:

-воспроизводящие самостоятельные работы (по образцу)

-реконструктивные самостоятельные работы

-эвристические самостоятельные работы

^

Задание	Вид контроля	Срок
1.Подготовка презентации и буклета по топологии	Защита презентации
2. Изучение теоретического материала по теме: «Элементы топологии»	Коллоквиум № 1
3. Изучение теоретического материала по теме: «Поверхности в евклидовом пространстве»	Коллоквиум№2
4. Изучение теоретического материала по теме: «Поверхности в евклидовом пространстве»	Коллоквиум№2
5. Изучение теоретического материала по теме: «Внутренняя геометрия поверхности»	Выборочное собеседование

Blog