Geum.ru

Рабочая программа учебной дисциплины дпп. Ф. 06. Геометрия ооп

Вид материалаРабочая программа

Содержание


Форма обучения
Практические занятия (часов по учебному плану):18
Дпп. ддс.04 геометрия
Дпп. ддс.06 геометрия
Самостоятельная работа (часов по учебному плану): 40
Дпп.ф.06. геометрия
Пояснительная записка
Учебно-тематический план
I. Исторический обзор. Элементы геометрии Лобачевского.
II. Общие вопросы аксиоматики. Обоснование евклидовой геометрии.
III. Длина, площадь, объем.
IV. Неевклидовы геометрии.
3.Содержание учебной дисциплины.
Общие вопросы аксиоматики. Обоснование Евклидовой геометрии.
Ш. Длина, площадь, объем.
Практические занятия
Система аксиом Гильберта.
Элементы геометрии Лобачевского
Требования, предъявляемые к системе аксиом.
Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства
...
Полное содержание
Подобный материал:

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию


ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ С.М.КИРОВА


Физико-математический факультет


кафедра алгебры и геометрии


«УТВЕРЖДАЮ»

Декан физико-математического факультета

_______________И.Н. Медведева

«_____»_____________200__г.


РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


ДПП.Ф.06. ГЕОМЕТРИЯ


ООП: Специальность 032100.00 Математика

с дополнительной специальностью физика (код ОКСО 050201)

Факультет: физико-математический

Форма обучения: дневная

III курс, 5 семестр

Всего (часов по учебному плану в трудоемкости): 64

Лекции (часов по учебному плану): 30

Практические занятия (часов по учебному плану):18

Самостоятельная работа (часов по учебному плану): 16

Курсовой проект (курсовая работа) (номер семестра): 6

Экзамен (номер семестра по учебному плану): 5 семестр


ПСКОВ

2007


ДПП. ДДС.04 ГЕОМЕТРИЯ


ООП: Специальность 032200.00 Физика

с дополнительной специальностью математика (код ОКСО 050203)

Факультет: физико-математический

Форма обучения: дневная

III курс, 5 семестр

Всего (часов по учебному плану в трудоемкости): 78

Лекции (часов по учебному плану): 30

Практические (лабораторные) работы (часов по учебному плану):18

Самостоятельная работа(часов по учебному плану): 30

Экзамен (номер семестра по учебному плану): 5 семестр


ДПП. ДДС.06 ГЕОМЕТРИЯ


ООП: Специальность 030100.00 Информатика

с дополнительной специальностью математика (код ОКСО 050202)

Факультет: физико-математический

Форма обучения: дневная

IV курс, 7 семестр

Всего (часов по учебному плану в трудоемкости): 88

Лекции (часов по учебному плану): 30

Практические (лабораторные) работы (часов по учебному плану):18

Самостоятельная работа (часов по учебному плану): 40

Экзамен (номер семестра по учебному плану): 7 семестр

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 032100.00 Математика с дополнительной специальностью физика.


Номер государственной регистрации

№ 692 пед/сп (новый)

«31» января 2005 г.


ДПП.Ф.06. ГЕОМЕТРИЯ


Рабочая программа принята на заседании кафедры алгебры и геометрии.


Протокол № ____ заседания кафедры

«____»____________ 200 __ г.


Программу разработала кандидат физико-математических наук, доцент


__________________________ И.Н. Медведева


Заведующий кафедрой алгебры и геометрии

________________________ И.Н. Медведева


1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


1.1Требования к содержанию учебной дисциплины из Государственного образовательного стандарта



ДПП.Ф.06
Геометрия

Векторы и операции над ними. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямая линия на плоскости, прямые и плоскости в пространстве. Линии второго порядка, поверхности второго порядка. Преобразования плоскости и пространства. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. Проективные пространства и их модели. Основные факты проективной геометрии. Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия. Элементы топологии. Понятия гладкой линии и гладкой поверхности. Формулы Френе. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Внутренняя геометрия поверхности. Исторический обзор обоснований геометрии. “Начала” Евклида. Элементы геометрии Лобачевского. Общие вопросы аксиоматики. Системы аксиом Вейля евклидова пространства. Неевклидовы пространства. Длина отрезка. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.
398




Данный систематический курс оснований геометрии продолжает фундаментальную подготовку будущего учителя математики, обобщает и систематизирует ранее полученные геометрические представления.


Целью курса является развитие представлений о методологии геометрии, воспитание математической культуры учителя математики, формирование системы знаний, отражающей состояние современной геометрической науки, показывающей взаимосвязь вузовской и школьной геометрии.

Раздел «Основания геометрии» играет первостепенную роль в формировании профессиональной компетентности будущего учителя.

Задачи изучения дисциплины
  • Сформировать представления об истории развития геометрии
  • Развить понимание сущности аксиоматического метода
  • Познакомить с различными аксиоматиками евклидовой геометрии
  • Познакомить с неевклидовыми геометриями
  • Изучить принципы построения школьного учебника геометрии
  • Установить взаимосвязи курса геометрии с курсом методики обучения математике и курсом элементарной математики



2. Структура учебной дисциплины

Учебно-тематический план





№

п/п
Раздел, тема
Всего часов
в том числе аудиторных
Самост. работа

всего
лекции
Практ. занятия











I. Исторический обзор. Элементы геометрии Лобачевского.
24
14
12
8
10

1.
Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида. Проблема V постулата.






4
2
4

2.
Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом.






4
4



3.
Аксиома параллельности Лобачевского. Параллельные по Лобачевскому. Элементы геометрии Лобачевского.






4
2
6




II. Общие вопросы аксиоматики. Обоснование евклидовой геометрии.
18
10
8
6
8

1.
Понятие о математической структуре.






2






2.
Требования, предъявляемые к системе аксиом (непротиворечивость, независимость, полнота)






2
2
2

3.
Система аксиом Вейля трехмерного евклидового пространства.






2
2
2

4.
Об аксиомах школьного курса геометрии.






2
2
4




III. Длина, площадь, объем.
10
4
6
4
6

1.
Длина отрезка. Теоремы существования и единственности.






2
2



2.
Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.

Равновеликие и равносоставленные треугольники.






4
2



3.
Объем многогранника.
2









2




IV. Неевклидовы геометрии.
10



4



6




ИТОГО
64
48
30
18
16



3.Содержание учебной дисциплины.


Лекционные занятия

  1. Исторический обзор. Элементы геометрии Лобачевского

Лекция № 1

Геометрия до Евклида : геометрия Вавилона и Египта, геометрия древней Греции ( Фалес Милетский, школа Пифагора, Платон, Аристотель,…). «Начала» Евклида. Критика системы Евклида. Пятый постулат Евклида.

Лекция № 2

Проблема пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата. Ложные доказательства пятого постулата. Карл Гаусс, Янош Больяи, Н.И. Лобачевский и открытие неевклидовой геометрии.

Лекция № 3

Система аксиом Гильберта. Аксиомы принадлежности и порядка. Следствия из первых двух групп аксиом.

Лекция № 4

Аксиомы конгруэнтности, непрерывности, аксиома параллельности. Обзор следствий из аксиом групп I-V. Понятие об абсолютной геометрии.

Лекция № 5

Аксиома параллельности Лобачевского. Определение параллельных по Лобачевскому. Признак параллельности прямых. Теорема о существовании параллельных прямых. Угол параллельности.

Лекция № 6

Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.

Теорема 1.: Сумма углов треугольника меньше 2.

Теорема 2.: Сумма углов треугольника не постоянна.

Теорема 3.: Сумма углов четырехугольника меньше 4.

Теорема 4.: Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского (пересекающиеся, параллельные, расходящиеся прямые).

Теорема: Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

Окружность, эквидистанта, орицикл; их свойства.

  1. Общие вопросы аксиоматики. Обоснование Евклидовой геометрии.

Лекция №7

Понятие о математической структуре. Примеры математических структур (структура группы, структура евклидова пространства по Гильберту, структура геометрии Лобачевского). Понятие о теории структуры рода Т. Интерпретация системы аксиом. Изоморфизм структур.

Лекция № 8

Требования, предъявляемые к системам аксиом: непротиворечивость, полнота, независимость. Способы проверки этих требований. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского.

Лекция № 9

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Непротиворечивость этой системы аксиом. Полнота аксиом Вейля.

Проверка выполнимости аксиом Гильберта в теории, основанной на системе аксиом Вейля. Понятие об эквивалентности систем аксиом Гильберта и Вейля.

Лекция № 10

Об аксиомах школьного курса геометрии. Анализ аксиоматик в школьных учебниках А.В. Погорелова «Геометрия 7-11», Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия 7-11», А.Д. Александрова и др. «Геометрия 7-11».


Ш. Длина, площадь, объем.

Лекция № 11

Длина отрезка. Теоремы существования и единственности.

Лекция № 12

Площадь многоугольника. Характеристика многоугольника. Теоремы существования и единственности.

Лекция № 13

Равновеликие и равносоставленные многоугольники. Теорема Больяи-Гервина. Объем многогранника в евклидовом пространстве (обзор).

Лекция № 14

Неевклидовы геометрии: гиперболическая геометрия Лобачевского, эллиптическая геометрия Римана.

Лекция № 15

Элементы сферической геометрии (площадь двуугольника, площадь треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.)

Практические занятия


Тематика практических занятий


Занятие №1

Исторический очерк обоснования геометрии. Проблема V постулата.


Цель: познакомить с историей развития геометрии (греческий период)

Занятие начинается с входного контроля. Каждому студенту необходимо знать доказательство эквивалентности аксиомы параллельности и V постулата, а также одно ложное доказательство пятого постулата (на выбор).

Занятие проходит в форме представления презентаций по заранее выбранным вопросам.


Занятия №2,3

Система аксиом Гильберта.


Цель: изучить аксиоматику Гильберта

Занятия начинаются с входного контроля. Каждому студенту необходимо знать структуру системы аксиом Гильберта. Уметь доказывать некоторые следствия системы аксиом Гильберта (после 1 и 2 групп аксиом - к занятию№2;после 3 группы аксиом - к занятию №3)

Занятия проходят в форме представления и обсуждения презентаций по заранее выбранным вопросам.


Занятие №4.

Элементы геометрии Лобачевского


Цель: познакомить с геометрией, отличной от евклидовой.

Занятие начинается с входного контроля. Каждому студенту необходимо знать доказательство следующих теорем:
  1. о существовании бесконечного множества прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую (в плоскости, определенной данными точкой и прямой)
  2. признак параллельности прямых.
  3. Теорема о существовании параллельных прямых.

Занятия проходят в форме представления и обсуждения презентаций по заранее выбранным вопросам.


Занятие №5. Требования, предъявляемые к системе аксиом.

Цель: изучить общие вопросы аксиоматики

Занятие начинается с входного контроля. К занятию необходимо изучить требования, предъявляемые к системе аксиом (непротиворечивость, независимость, полнота) и способы их проверки.

Занятие проходит в форме семинара. На занятии студенты должны усвоить сущность каждого требования и способы их проверки.


Занятие №6 Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

Цель: познакомить с векторной аксиоматикой построения евклидовой геометрии.

Занятие начинается с входного контроля. Каждому студенту необходимо знать систему аксиом Вейля, доказательство эквивалентности аксиоматик Гильберта и Вейля (на примере I группы аксиом Гильберта).

Занятие проходит в форме семинара.


Занятие №7. Система аксиом школьного курса геометрии.

Цель: сопоставить аксиоматическое построение основных школьных учебников геометрии.

К занятию необходимо выполнить индивидуальное задание№1 по школьным учебникам.

Занятие проходит в форме деловой игры.

Обсуждаются теоретические, методические основы построения школьного курса по Погорелову А.В., по Атанасяну Л.С., по Александрову А.Д.(возможны варианты).


Занятие№8 Длина отрезка. Теорема существования и единственности.

Цель: Изучить аксиоматический подход в теории измерений (на примере длины).

Занятие начинается с входного контроля. Каждому студенту необходимо знать доказательство теорем существования и единственности длины.

Занятие проходит в форме семинара.


Занятие№ 9 Площадь многоугольника. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

Цель: Продолжить изучение аксиоматического подхода в теории измерений (на примере площади). Отработать понятия равновеликости и равноставленности многоугольников. Изучить доказательство теоремы Больяи –Гервина.

Занятие начинается с входного контроля. Каждому студенту необходимо знать доказательство теоремы существования площади и трех лемм к теореме Больяи –Гервина (на выбор)

Занятие проходит в форме семинара.

4. Методические материалы и рекомендации для преподавателя.


Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс, является информационно-объяснительный метод с элементами проблемных ситуаций и заданий студентам. На практических занятиях основным является поисковый метод, связанный с решением различных типов задач.

Средствами обучения является базовый учебник, дополнительные пособия для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач.

Приемами организации учебно-познавательной деятельности студентов являются приемы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого содержания и приемы, направленные на развитие аналитико-поисковой и исследовательской деятельности.

Важно четко представлять структуру курса, уметь выделить в каждом разделе основные, базовые понятия, обозначенное минимумом содержания, определенного государственным образовательным стандартом.

Данный раздел геометрии заключительный, он играет большую роль в формировании научной картины мира, мировоззрения студентов. Особенно важен исторический аспект преподавания. Необходимо на каждом занятии рассматривать связь геометрии с другими дисциплинами, элементарной математикой, курсом методики преподавания математики, историей математики.

Данный курс должен сыграть большую роль в профессиональной подготовке будущего учителя.

Исторический обзор оснований геометрии необходимо дополнять комментариями о том, как этот материал может быть использован в школе для проведения факультативных занятий по геометрии в предпрофильных и профильных классах.

При изложении аксиоматики евклидовой геометрии необходимо отдельно комментировать аксиоматику школьного курса геометрии, на практических занятиях, в часы самостоятельной работы обсуждать со студентами аксиоматики наиболее распространенных школьных учебников по геометрии ( частично этому способствует выполнение индивидуального задания по школьным учебникам).

Важно обсуждать со студентами особенности и существенные отличия учебников нового поколения по геометрии.

При обсуждении важнейшей с профессиональной точки зрения темы «Длина. Площадь. Объем» необходимо помочь будущему учителю разобраться в сложных вопросах измерения геометрических величин.


Критерии оценок


В основе оценки знаний по предмету лежат следующие основные требования:
  • освоение всех разделов теоретического курса Программы;
  • умение применять полученные знания к решению конкретных задач.

Ответ заслуживает отличной оценки, если экзаменуемый показывает знания, в полной степени, отвечающие предъявляемым к ответу требованиям: это требование основных понятий и приемов решения задач. Отличная оценка характеризует свободную ориентацию экзаменуемого в предмете. Ответы на вопросы, в том числе и дополнительные, должны обнаруживать уверенное владение терминологией, основными умениями и навыками.

Хорошая оценка характеризует тот ответ, который не в полной степени удовлетворяет вышеперечисленным критериям, однако, экзаменуемый обнаруживает прочные знания в объеме курса. Ответ должен быть достаточно аргументирован, вопросы глубоко и осмысленно изложены.

Оценка «удовлетворительно» выставляется за то, что ответ экзаменуемого соотносится с основными требованиями, т.е. имеются в виду твердые знания в объеме учебной программы и умение владеть терминологией. Удовлетворительная оценка выставляется за знание в целом, однако, отдельные детали могут быть упущены.

Неудовлетворительная оценка выставляется, если ответ не удовлетворяет хотя бы одному из требований или отсутствуют знания основных понятий и методов решения задач.

Материалы по модульно-рейтинговой системе оценки знаний студентов по дисциплине
Общие положения
  1. Дисциплина разбита на 4 модуля.
  2. По каждому модулю проводится текущий и блочный контроль. Максимальное число баллов по каждому из видов контроля указано в технологической карте.
  3. Уровень успеваемости задается 60% (оценка удовлетворительно)

Оценка «хорошо» - 75%. Оценка «отлично» - 90%.
  1. Студент, пропустивший текущий рейтинг по уважительной причине имеет право написать его в другое время.
  2. При повторной сдаче коллоквиума, сдаче его не графику (без уважительных причин) максимальный балл снижается до 12.
  3. Уровень успеваемости задается в 60% ( 60 баллов)



    • студент, набравший от 60 до 75 баллов, автоматом получает оценку «удовлетворительно»
    • студент, набравший от 75 до 90 баллов, автоматом получает оценку «хорошо»
    • студент, набравший от 90 баллов и выше, автоматом получает оценку «отлично».

7.Если студент не имеет уровня успеваемости от 35 до 60 баллов или хочет повысить рейтинговую оценку, он сдает экзамен. На экзамен предлагается два теоретических вопроса и задача. Каждое задание оценивается в 10 баллов. Итого (с учетом рейтинга) максимальное число баллов становиться 130.

Если студент набрал:
    • 65 баллов (50%) – ставится оценка «удовлетворительно»
    • 91 балл (70%) –ставится оценка «хорошо»
    • 110 баллов (85%) ставится оценка «отлично».

8.Если студент набрал менее 35 баллов по итогам рейтинга, он на экзамене проходит дополнительное собеседование по всему курсу (на уровне базовых понятий, простейших упражнений). Вопросы задаются в количестве, необходимом для получения 35 баллов. После этого получает билет и задачу (см. п.6).

9.Если студенту не удается набрать 35 баллов, ему записывается заработанный балл, в ведомость ставится оценка «неудовлетворительно»,необходима повторная сдача экзамена.


Технологическая карта




Название блока (модуля)
Вид контроля, содержание
Возможное количество баллов
Контрольные сроки
Максимальное количество баллов по блоку
  1. Исторический очерк обоснования геометрии. Геометрия Лобачевского.
Текущий
22
  1. Ложные доказательства

0-3
17.10
  1. Теоремы Гильберта (I-II)

3. Теоремы Гильберта(III)
0-3

0-3
20.10
  1. Факты геометрии Лобачевского
0-3
24.10

Блочный
  1. Презентация/буклет
0-10
в теч семестра








  1. Общие вопросы аксиоматики обоснования евклидовой геометрии.
Текущий
28
  1. Непротиворечивость, независимость, полнота
0-3
31.10
  1. Аксиоматика Вейля
  2. Аксиоматика школьного учебника
0-3
7.11

Блочный
  1. Коллоквиум №1

(теория, тест)
0-17
14-17.11
  1. Задание по школьному учебнику №1
0-5
до 13.11
  1. Теория измерений.
Текущий
31
  1. Длина
0-3
17.11
  1. Площадь
0-3
24.11
  1. Теорема Больяи-Гервина
0-3
1.12

Блочный
  1. Коллоквиум №2

(теория, тест)
0-17
4-8.12
  1. Задание по школьному учебнику №2
0-5
8.12
  1. Сферическая геометрия.






15.12


  1. 1-4.
Семестровый контроль
0-19
19,22.12
19

Итого
100



Примечание. Технологическая карта выдается студентам на первом занятии с указанием конкретных сроков прохождения контроля и правил начисления баллов. В дальнейшем прописанные правила не меняются.


5.Рекомендации по проведению и организации

самостоятельной работы студентов.


Задание для с.р.
Вид контроля
Форма контроля
Срок

1. Подготовка презентации/буклета по основаниям геометрии.
Блочный
Представление презентации/буклета на практическом занятии и в часы самостоятельной работы.
В течение первого семестра.

2. Изучение теоретического материала по теме 1.

Блочный

Коллоквиум № 1.
Октябрь.

3. Изучение теоретического материала по общим вопросам аксиоматики (тема 2).
Блочный

Коллоквиум № 2.
Ноябрь.

4. Изучение аксиоматики школьного курса геометрии.[5], [6], [7].
Текущий
Собеседование в часы самостоятельной работы.

Декабрь.

5. Изучение теоретического материала по теме 3.
Текущий

Зачетное собеседование.
Декабрь.

6. Систематизация изученного материала
Итоговый

а) тест;

б) экзамен.
Декабрь, январь.

Формы и методы самостоятельной работы



1.Изучение основной и дополнительной литературы по геометрии при подготовке презентаций и буклетов.

2.Изучение методики подготовки презентации и буклета.

2.Подготовка презентаций и буклетов

3. Изучение доказательств лемм, теорем.

4. Самостоятельное проведение доказательств по аналогии.

5.Работа с Интернет-ресурсами.

6 Проведение сопоставительного анализа содержания школьных учебников геометрии.

При контроле самостоятельной работы применяются следующие типы работ:

-воспроизводящие самостоятельные работы (по образцу)

-реконструктивные самостоятельные работы

-эвристические самостоятельные работы

-исследовательские самостоятельные работы


6. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.

Текущий контроль:

- Самостоятельные работы

- Экспресс-опросы на занятиях (устно)

- Письменные летучки

- Индивидуальные задания по школьным учебникам

Промежуточный (блочный) контроль:

- Коллоквиумы

- Тестирование

-Защита презентаций, буклетов

Итоговый контроль:

- Экзамен (в случае несогласия с рейтинговой оценкой)

.

Вопросы к коллоквиуму №1.

  1. Проблема пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата (два на выбор доказать).
  2. Проблема пятого постулата. Ложные доказательства пятого постулата (Прокла, Валлиса).
  3. Саккери, Ламберт, Лежандр и проблема пятого постулата.
  4. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Больяи, Н.И. Лобачевский). Аксиома параллельности Лобачевского. Теорема 1.
  5. Аксиома параллельности Лобачевского. Параллельные по Лобачевскому (признак параллельности).
  6. Аксиома параллельности Лобачевского. Существование параллельных прямых.
  7. Угол параллельности.
  8. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.
  9. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
  10. Окружность, эквидистанта, орицикл.

Вопросы к коллоквиуму №2.

  1. Понятие о математической структуре. Интерпретация системы аксиом. Изоморфизм структур. Примеры.
  2. Непротиворечивость, независимость, полнота системы аксиом.
  3. Непротиворечивость системы аксиом Лобачевского.
  4. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I – II. Ввести понятие полуплоскости.
  5. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I – V.
  6. Система аксиом Вейля. Непротиворечивость и полнота системы аксиом Вейля.
  7. Доказать, что в теории, построенной на базе системы аксиом Вейля, выполняются все аксиомы Гильберта:

а) I,II,V

б) III, IV


Тематика презентаций/буклетов
  1. Геометрия Вавилона
  2. Геометрия Древнего Египта
  3. Геометрия Древней Греции. Фалес Милетский.
  4. Пифагор и его школа.
  5. Платон и его Академия. Платоновы тела.

  7. Аристотель.
  8. Геродот, Евдокс, Архимед и их вклад в развитие геометрии.
  9. Аполлоний и его труд о конических сечениях.
  10. Начала Евклида и их влияние на дальнейшее развитие геометрии.
  11. Проблема V постулата; эквиваленты V постулата.
  12. Попытки доказательства V постулата. Примеры ошибочных доказательств.
  13. Омар Хайям и проблема V постулата.
  14. Лежандр и проблема V постулата.
  15. Саккери и проблема V постулата.
  16. Ламберт и проблема V постулата.
  17. Янош Бойяи и открытие неевклидовой геометрии.
  18. Карл Гаусс и открытие неевклидовой геометрии.
  19. Н.И. Лобачевский и открытие неевклидовой геометрии. Философское значение открытия неевклидовой геометрии.
  20. Некоторые факты геометрии Лобачевского.
  21. Непротиворечивость геометрии Лобачевского (модель Пуанкаре)
  22. Неевклидова геометрия и общая теория относительности.
  23. . Д. Гильберт и его вклад в развитие аксиоматического метода. Сущность аксиоматического метода.
  24. Сообщения по тематике, предложенной студентами (согласовать с преподавателем)



Примечание:

Сообщение оценивается по следующим параметрам:
  1. Презентация – 2 балла
  2. Наглядность –1 балл.
  3. Оформление – до 5 баллов
  4. Срок – 1 балл.
  5. Содержание – 2 балла.



Вопросы к экзамену




  1. Начала Евклида. Проблема пятого постулата. Эквиваленты пятого постулата.
  2. Начала Евклида. Проблема пятого постулата. Примеры ложных доказательств пятого постулата.
  3. Открытие неевклидовой геометрии (Саккери, Ламберт, Лежандр, Больяи, Гаусс, Лобачевский).
  4. Аксиоматика Гильберта (I,II группы аксиом). Некоторые следствия из аксиом групп I-II. Ввести понятие полуплоскости.
  5. Аксиоматика Гильберта (III-V группы аксиом). Некоторые следствия из аксиом групп III-V.
  6. Аксиома параллельности Лобачевского. Параллельные по Лобачевскому (признак параллельности).
  7. Аксиома параллельности по Лобачевскому. Существование параллельных прямых.
  8. Угол параллельности.
  9. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.
  10. Аксиома параллельности Лобачевского. Теорема 1. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
  11. Окружность, эквидистанта на плоскости Лобачевского.
  12. Орицикл.
  13. Понятие о математической структуре. Интерпретация системы аксиом. Изоморфизм структур. Примеры.
  14. Непротиворечивость, независимость системы аксиом.
  15. Непротиворечивость, полнота системы аксиом.
  16. Непротиворечивость геометрии Лобачевского.
  17. Система аксиом Вейля. Непротиворечивость и полнота системы аксиом Вейля.
  18. Аксиоматика А.В. Погорелова школьного курса геометрии.
  19. Аксиоматика Л.С. Атанасяна школьного курса геометрии.
  20. Аксиоматика А.Д. Александрова школьного курса геометрии.
  21. Сравнительный анализ аксиоматик школьных учебников.
  22. Длина отрезка. Теорема существования.
  23. Длина отрезка. Теорема единственности.
  24. Характеристика многоугольника.
  25. Площадь многоугольника. Теорема существования.
  26. Площадь многоугольника. Теорема единственности.
  27. Равновеликость и равносоставленность многоугольников. Леммы 1-3 к теореме Больяи-Гервина.
  28. Леммы 4,5 к теореме Больяи-Гервина. Теорема Больяи-Гервина.
  29. Понятие о сферической геометрии.
  30. Доказать, что в теории, построенной на базе системы аксиом Вейля, выполняются все аксиомы Гильберта (проверить группы I,II,V).
  31. Доказать, что в теории, построенной на базе системы аксиом Вейля, выполняются все аксиомы Гильберта (проверить группы II,IV).



Вопросы к зачетному контролю



  1. Проблема V постулата (краткий исторический обзор). Эквиваленты V постулата. Ложные доказательства V постулата (привести 1-2 c и доказательством).
  2. Аксиома параллельности Лобачевского. Теорема 1. Параллельные по Лобачевскому. Признак параллельности (все случаи).
  3. Суть аксиоматического метода. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий I и II групп аксиом.
  4. Определение параллельных по Лобачевскому. Теорема о существовании параллельных прямых. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
  5. Непротиворечивость геометрии Лобачевского (модель А. Пуанкаре).
  6. Суть аксиоматического метода. Система аксиом Вейля. Полнота и непротиворечивость системы аксиом Вейля.
  7. Требования, предъявляемые к системе аксиом: непротиворечивость, независимость, полнота. Непротиворечивость геометрии Лобачевского и проблема V постулата.
  8. Длина многоугольника. Теорема существования и единственности.
  9. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.
  10. Равновеликость и равносоставленность многоугольников. Теорема Больяи-Гервина. Леммы к теореме.
  11. * Элементы сферической геометрии.
  12. * Эквиваленты аксиоматик Гильберта и Вейля.



Задания для самостоятельной работы по школьным учебникам.




Индивидуальное задание №1



  1. Изучить и сопоставить аксиоматику школьного курса геометрии по каждому из трех учебников:
    1. Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7-9, 10-11 (последние издания);
    2. А.Д. Александров и др. Геометрия 7-9, 10-11 (последние издания);
    3. А. В. Погорелов. Геометрия 7-11.



  1. Изучить и провести сопоставительный анализ доказательств теорем (по выбору) в каждом из указанных учебников (например: теорема Пифагора, признаки равенства треугольников и т.д.).



  1. Итоги сравнительного анализа кратко изложить в заключении (в пределах 1 стр.).



Индивидуальное задание №2



  1. Изучить изложение темы «Площадь» по каждому из трех учебников:
    1. Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7-9, 10-11 (последние издания);
    2. А.Д. Александров и др. Геометрия 7-9, 10-11 (последние издания);
    3. А. В. Погорелов. Геометрия 7-11.
  2. Составить план изучения темы.
  3. Изучить и законспектировать доказательство теоремы о площади прямоугольника (квадрата).

Итоги сравнительного анализа кратко изложить в заключении (в пределах 1 стр.).


7.Списки основной и дополнительной литературы


Основная литература:
  1. Александров А.Д. Основания геометрии. М.:Наука,1987.
  2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч. II. – М.: Просвещение, 1987.-351 с.
  3. Атанасян Л.С. ,Базылев В.Т. и др.Сборник задач по геометрии.-М.:Просвещение,1980.-238 с.
  4. Вернер А. Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. –Ч.2 СПб,.;Спец.лит,1997.-352с.
  5. Ефимов Н.В. Высшая геометрия М.:Наука,1993.-460с.
  6. Каган В.Ф. Основания геометрии..м.:Наука,1989.-460 с.
  7. Погорелов А.В. Геометрия 7-11.Просвещение,2006
  8. Александров А.Д. и др. Геометрия 7-11.Просвещение,2006
  9. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-11.Просвещение,2006.



Дополнительная литература:

  1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.М.:Наука,1990.- 156 с.
  2. Атанасян Л.С., Гуревич Г. Б. Геометрия ч.2.М.:Просвещение,1985.
  3. Бакельман И.Я.. Высшая геометрия. М.Просвещение,1967.-164с.
  4. Гильберт Д Основания геометрии. М. Наука.1964.-492с.
  5. Жафяров А.Ж. Геометрия.ч2.-Новосибирск. Сибирское университетское издательство.2003.-267с.
  6. Каган В.Ф. Лобачевский Н.И
  7. Комацу М. Многообразие геометрии.
  8. Клайн М Математика. Поиск истины.-М.:Мир,1988
  9. Ливанова. Три судьбы. Постижение мира.
  10. Петрова В.Т.Лекции по алгебре и геометрии, ч 2.М.Владос,-1999,342 с
  11. Погорелов А.В. Основания геометрии.-М.:Наука,1968.
  12. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства.- М.: Наука, 1969.
  13. Стахов А.и др. Код да Винчи и ряды Фибоначи-Спб.Питер,-2006,316с.
  14. Смилга В. В погоне за красотой.
  15. Филинова О.Е.Математика в истории мировой культуры.-М.:ГелиосАРВ.2006.-218с.

16.Стройк. Д.Я. Краткий очерк истории математики. –М.:Наука,1995.-212с.