Выражения, уравнения, неравенства, функции, содержащие модуль

Вид материала

Содержание

Изучение элективного курса направлено на достижение следующих целей
Виды деятельности.
Учебно-тематический план курса.
Форма проведения
Программа курса
Методические рекомендации
Темы творческих работ.

Подобный материал:

Выражения, уравнения, неравенства,

функции, содержащие модуль

(элективный курс для учащихся 9 класса общеобразовательных школ)

Пояснительная записка

Целью предпрофильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования. Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена (11 класс) и государственной итоговой аттестации по математике (9 класс). В заданиях ЕГЭ по математике, на вступительных экзаменах в вузы постоянно предлагаются задачи с параметрами и модулями. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры. А задачи, связанные с модулем часто встречаются на математических олимпиадах, и математических конкурсах. Однако на базе основной школы материал, связанный с этой темой изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу. В средней школе с понятием модуль встречаются в 6 классе, а с понятием параметра (не употребляя этот термин) начиная с 7 класса, когда изучают линейное уравнение вида ах = в, и в 8 классе при изучении квадратного уравнения. И программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах и параметрах. Следовательно, чтобы обучающиеся были готовы к встрече с такими заданиями, необходимо вести последовательное изучение темы: «Решение уравнений, неравенств, содержащих знак модуля». Решению задач с параметрами и модулями в школьной программе уделяется мало внимания. В результате большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки.

На базовом уровне учащиеся должны уметь выполнять задания стандартного вида. В процессе же изучения курса школьники смогут познакомиться с различными приемами построения графиков функций, решениями уравнений и неравенств с модулем, приобретут навыки рационального поиска решения задач и построения алгоритмов, а в дальнейшем применят полученные знания и умения при подготовке к ЕГЭ, поступлению в вуз и продолжению образования.

Программа данного курса предполагает изучение таких вопросов, которые или не входят в школьный курс математики основной школы, но необходимы при дальнейшем ее изучении, или входят на более низком уровне. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для учащихся 9 классов по теме: «Выражения, уравнения, неравенства и функции, содержащие модуль». Элективный курс построен как углубленное изучение вопроса и является развитием системы ранее приобретенных знаний. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач требующих применения высокой логической культуры, развивающей научно – теоретическое и алгоритмическое мышление и направлено на развитие самостоятельной исследовательской деятельности. Владение приемами решения задач с параметрами и модулями можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Программа курса предусматривает расширение и углубление знаний по решению уравнений, неравенств и задач с применением модуля, но не дублирует программу базового и профильного изучения математики. Важнейшей задачей курса является поддержание интереса к математике. Ученик должен чувствовать эстетическое удовлетворение от красиво решенной задачи, от установленной им возможности приложения математики к другим предметам. Курс способен вызвать большой интерес к изучаемой теме, на многочисленных примерах показать различные способы решения задач. Применение проблемного обучения позволит сделать занятия интересными и эффективными. Курс рассчитан на учеников общеобразовательного класса, желающих основательно подготовиться не только к итоговой аттестации, но и сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего изучения математики. Он позволит ученику осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможность овладения им.

Настоящий курс по выбору составлен для обучающихся 9 класса, проявляющих интерес к изучению математики, предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитан на 17 часов (1 час в неделю). Курс знакомит учащихся с аналитическими и функционально-графическими методами решения алгебраических задач с модулями и параметром. В результате изучения этого курса будут использованы приемы парной, групповой деятельности для осуществления элементов самооценки, взаимооценки, умение работать с математической литературой и выделять главное.

Содержание курса состоит из восьми тем: модуль в выражениях, модуль в уравнениях, модуль неравенствах, модуль в функциях, решение уравнений и неравенств, содержащих «модуль в модуле», система уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр, обобщающее занятие, включая введение и итоговое занятие. Темы разбиты на отдельные пункты, в которых разбираются типовые задачи и задачи более высокого уровня сложности, затем даются задания для самостоятельного решения. Курс имеет практико–ориентированную направленность, формы занятий разнообразны: семинары, практикумы, тренинги, защита решений и круглый стол. Занятия курса способствуют развитию навыков организации умственного труда и самообразования.

Программа содержит темы творческих работ и список литературы по предложенным темам.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников и различные формы организации самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных или групповых работ на итоговом занятии.

Самые лучшие творческие работы представить на научно-практической конференции «День науки».

^ Изучение элективного курса направлено на достижение следующих целей:

Обобщить и систематизировать, расширить и углубить знания методов и приемов к решению задач с модулем и параметром по теме.
Продолжить работу по интеллектуальному развитию учащихся, формированию определенного уровня логического мышления. Развивать исследовательскую и познавательную деятельности учащегося.
Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы. Достижение поставленных целей возможно через решение задач с модулем и параметром, что позволяет поставить следующие основные задачи:

углубить знания по математике, формировать устойчивый интерес к предмету;

выявить и развить их математические способности;
расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач с модулями и параметрами;
повышение уровня математического и логического мышления учащихся;
сформировать навыки работы со справочной литературой и компьютером;
развитие навыков исследовательской деятельности;
обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования;
обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

Воспитательное назначение курса

Обучение задачам с модулями и параметрами потребует от учащихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, умений коллективно-познавательного труда.

Работа элективного курса строится на принципах:

системности (преемственность знаний);
научности;
наглядности;
увлекательности;
доступности;
опережающей сложности;
вариативности;
самоконтроля.

Особенности предлагаемого варианта программы:

краткость изучения материала; использование при подаче материала визуальных (компьютерных) средств обучения;
практическая значимость для учащихся, работа с визуальными задачами, разработанными в соответствии с учебным планом школы;
в соответствии с задачами обучения учитываются подготовленность класса, интересы учащихся.

^ Виды деятельности.

Необходимыми условиями реализации целей и задач курса является адекватная методика, которая предполагает широкое использование следующих приемов:

беседа учителя с учениками;
предварительное осмысление, обдумывание полученной информации;
работа в группах;
применение объяснительно-иллюстративных методов;
самостоятельная деятельность учащихся.

В результате изучения данного курса учащиеся

должны знать:

понятие модуль числа;
понятие параметра;
алгоритмы решений задач с модулями и параметрами;
зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра;
свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
свойства функций в задачах с модулями и параметрами;
принципы решения уравнений и неравенств,;

должны уметь:

применять полученные знания к решению конкретных задач;

уметь решать линейные, квадратные уравнения с модулем;
уметь решать линейные, квадратные неравенства с модулем;
строить графики уравнений, содержащие модули;
уметь решать линейные, квадратные, рациональные уравнения с параметром;
уметь решать неравенства с параметром;
находить корни квадратичной функции;
читать и строить графики линейной и квадратичной функций с модулем;
исследовать квадратный трехчлен;
знать и уметь применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств и систем.

Формы контроля

уроки самооценки и оценки товарищей;
презентация учебных проектов

Требования к уровню подготовки учащихся

Знать и уметь:

принципы решения уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр,
аналитические и графические методы решения задач;
должны иметь элементарные умения решать задачи повышенного по сравнению с обязательным уровнем сложности;
точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач;
правильно пользоваться математической символикой и терминологией;
применять рациональные приемы тождественных преобразований;
использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.

^ Учебно-тематический план курса.

№ п/п	Название разделов и тем	Количество часов			^ Форма проведения	Образовательный продукт
№ п/п	Название разделов и тем	всего	теории	практики	^ Форма проведения	Образовательный продукт
1. 1.1.	Модуль в выражениях Введение. Определение модуля. Раскрытие модуля. Свойства модуля.	2 1	0,5	0,5	Аукцион знаний	Анкета, записи
1.2.	Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля.	1	-	1	практикум	Опорный конспект
2.	Модуль в уравнениях	2
2.1.	Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе. Метод интервалов. Графический метод.	1	0,5	0,5	Семинар-практикум	Решенные задания
2.2.	Уравнения с параметрами, содержащие абсолютные величины. Модуль в квадратных уравнениях.	1	0,5	0,5	Практикум	Опорный конспект, алгоритмы решений
3.	Модуль в неравенствах	3
3.1.	Решение линейных неравенств. Неравенства с одной переменной и их системы	1	0,5	0,5	Практикум, тренинг	Памятка
3.2.	Решение неравенств и систем неравенств с двумя неизвестными, содержащих знак модуля	1	0,5	0,5	Тренинг	Решенные задания
3.3.	Неравенства с параметрами, содержащие абсолютные величины	1	0,5	0,5	Практикум	Решенные задания
4.	Модуль в функциях	3
4.1.	Построение графиков линейной функции и кусочно-линейной функции, аналитическое выражение которых содержит знак модуля	1	-	1	Семинар - практикум	Распечатка построенных графиков
4.2.	Квадратичная функция, содержащая модуль. Построение графиков с модулями дробно-линейной функции	1	-	1	Тренинг	Выполненные построения
4.3.	Применение компьютера для построения графиков элементарных функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля	1	-	1	Исследовательская работа с применением компьютера	Распечатка построенных графиков
5.	Решение уравнений и неравенств, содержащих «модуль в модуле»	3
5.1.	Решение уравнений «модуль в модуле»	1	0,5	0,5	Практикум	Решенные задания
5.2.	Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле»	1	-	1	Тренинг	Памятка
5.3.	Решение олимпиадных задач	1	-	1	Практикум	Решенные задания
6.	Системы уравнений и неравенств, содержащие модуль и параметр	2
6.1.	Способы решения систем уравнений и неравенств	1	-	1	Практикум	Алгоритм, памятка
6.2.	Решение заданий из вариантов ГИА	1	-	1	Семинар - практикум	Алгоритмы решений
7.	Обобщающее занятие	1
7.1.	Нестандартные методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих модули и параметры	1	-	1	Защита решений
8.	Итоговое занятие	1
8.1.	Практическая работа с элементами лабораторной работы на компьютере	1	-	1	Круглый стол	Зачетные индивидуальные и групповые работы
	Итого	17	3,5	13,5

^ Программа курса

Тема 1. Модуль в выражениях (2ч.)

Введение. Цели и задачи курса. Вопросы курса и его структура. Знакомство с литературой. Требования к участникам курса.

Определение модуля. Раскрытие модуля.

Свойства модуля. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля.

Тема 2. Модуль в уравнениях (2ч.)

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов, графический метод, использование свойств модуля. Уравнения с параметрами, содержащие абсолютные величины.

Решение уравнений вида |f(x)| = а, |f(x)| = g(x), |f(x)| = |g(x)| и |f1 (x)| + |f2 (x)| + |f3 (x)| + … + |fn (x)| = g(x), где f(x) и g(x) – линейные выражения, а Є R.

Модуль при решении квадратных уравнений.

Тема 3. Модуль в неравенствах (3ч.)

Решение неравенств вида f(x) ≤ а, f(x) ≥ а, где f(x) – линейное выражение, а – рациональное число, а > 0.

Неравенства с одной переменной и их системы.

Решение неравенств и систем неравенств с двумя неизвестными, содержащих знак модуля. Неравенства с параметрами, содержащие абсолютные величины.

Тема 4. Модуль в функциях (3ч.)

Линейная функция , ее график.

Построение графиков функций вида у = | (kх + b)| и у = k|х| + b; у = |k|х| + b|, у = |f(x)| + |g(x)| – кусочно-линейная функция.

Квадратичная функция, содержащая модуль.

Построение графиков с модулями дробно- линейной функции.

Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля в олимпиадных заданиях. Применение компьютерной программы для построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.

Тема 5. Решение уравнений и неравенств, содержащих «модуль в модуле» (3ч.)

Решение уравнений «модуль в модуле», ||f(x)| + а| = b.

Построение графика функций вида ||у| + |х|| = а.

Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле».

Тема 6. Системы уравнений и неравенств, содержащих модули и параметр. (2ч.)

Тема 7. Обобщающий урок (1ч.)

Нестандартные методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих модули и параметры.

Групповая работа.

Тема 8. Итоговое занятие. Практическая работа с элементами лабораторной работы на компьютере (1ч.).

^ Методические рекомендации

Элективный курс предполагает высокую активность самих учащихся во время занятий. Они самостоятельно выбирают эти курсы, понимают их значение и хотят практического эффекта.

Целесообразность введения данного курса состоит и в том, что содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставить ему возможность работать на уровне повышенных возможностей.

На первом занятии обязательно нужно рассказать о том, чем будут заниматься ученики на протяжении курса (создать творческие работы, защитить проекты). Работы могут быть как индивидуальные, так и парные, групповые. Для того чтобы итоговый урок получился интересным, виды проектов должны соответствовать уровню и интересам учащихся, а также должны быть интересными по форме и содержанию.

Учитель в зависимости от уровня подготовки учащихся, уровня сложности изучаемого материала и восприятия его школьниками может взять для изучения не все темы, увеличив при этом количество часов на изучение других. Учитель может изменить уровень сложности представленного материала.

В 6 классе, когда впервые появляется определение модуля, решаются самые элементарные уравнения вида |х| = а. И, если в 7 классе эту работу продолжить и закрепить один из основных способов решения уравнений вида |f(x)| = а и ||f(x)| – а| = b. В 8 классе после изучения темы «Неравенства» рассмотреть еще два вида уравнений: |f(x)| = g(x) и |f(x)| + |f(x)| + … + |f(x)| = g(x). После изучения «Квадратных уравнений» и «Квадратных корней» рассмотреть уравнения вида |f(x)| = |g(x)|. А в 9 классе при изучении темы «Решение неравенств методом интервалов» рассмотреть решение уравнений вида |f(x)| = f(x) и |f(x)| = - f(x). То, к концу 9 класса обучающиеся будут знать все основные способы решения уравнений, содержащих знак модуля. В 10-11 классах, используя данные способы, отрабатывать навыки решения рациональных, тригонометрических, логарифмических, показательных, иррациональных уравнений, содержащих знак модуля.

Решение задач, уравнений и неравенств с параметрами и модулями, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами и модулями, успешно справляются с другими задачами. Важным принципом преподавания данного курса является создание атмосферы доверия, свободного обмена мнениями.

Для реализации целей и задач данного курса использовать следующие формы учебных занятий: лекции, семинары, практикумы. При организации занятий по данному курсу необходимо использовать лекции и доклады учащихся, дополняющие выступление учителя. Для воплощения целей и задач курса целесообразно применять технологии, включающие учащихся в активную учебно-познавательную деятельность, обеспечивающие личностное развитие каждого ученика. В ходе этих занятий намечаются проблемы, предлагаемые для работы над проектом. Темы проектов выбирают учащиеся, учитель их направляет. Ученики самостоятельно, в сотрудничестве с учителем в микрогруппах, должны выполнять задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях обсуждать результаты этой работы. Практическое содержание – это практикум по решению задач различных типов, разного уровня сложности, в процессе которого в арсенал приемов и методов мышления естественным образом включаются индукция и дедукция. Оперативную коррекцию в овладении учебной деятельностью можно провести на уроках–практикумах. Урок – практикум – решение разнообразных задач различной сложности. Задачи, используемые на занятиях, подобраны с учетом нарастания уровня сложности, их количество не создает учебных перегрузок для школьников. Подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации. Учитель на занятиях является помощником, а не контролер. Ученик управляет своей деятельностью, своим развитием, формируя качества субъекта учения и самовоспитания.

Система семинарских занятий, предусмотренная курсом, позволяет изучать теоретический материал, методы решения задач с последующим обсуждением на уроке результатов деятельности.

Административной проверки усвоения материала курса не предполагается. Задачи данного курса не будут включаться в административные контрольные работы. Специальный зачет или экзамен по курсу не предусмотрен, но предполагается некоторые варианты выполнения учениками индивидуальных домашних заданий. В ходе решения этих заданий учащиеся должны показать понимание теоретических основ, способов решения уравнений и неравенств и уметь решать задания по темам курса.

Итоговое занятие предполагается провести в форме круглого стола с презентациями.

Овладение общими умениями, навыками, способами деятельности как существенными элементами культуры является необходимым условием развития и социализации учащихся.

Список литературы

Литература для учащихся

Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Алгебра 9. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2001год.
Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре

8-9. Москва. «Просвещение». 2001год.

Литература для учителя

Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач.
Ястрибинецкий Г.А Задачи с параметрами.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.

Задачи с параметрами.

«Необходимые условия в задачах с параметрами».

Родионов Е.М. Решение задач с модулями и параметрами. Пособие для поступающих в вузы.
Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. «О параметрах – с самого начала».
Дорофеев Г.В., Затахавай В.В. «Решение задач, содержащих модули и параметры».
Дорофеев Г.В. «Квадратный трёхчлен в задачах».
Марков В.К. «Метод координат и задачи с параметрами».
Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике. Решение задач».

Темы творческих работ.

Проект памятки правил и алгоритмов построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.
Проект опорных сигналов по способам решения уравнений и неравенств с модулем.
Решение уравнений содержащих модуль с использованием компьютерных технологий.
Решение уравнений и систем уравнений с двумя переменными графическим способом с использованием компьютерных технологий.

Содержание

Пояснительная записка………………………………………………………....3

Цели и задачи элективного курса………………………………………….......7

Требования к уровню усвоения учебного материала…………………….….10

Учебно-тематический план……………………………………………………11

Программа курса……………………………………………………………….15

Методические рекомендации………………………………………………….17

Литература……………………………………………………………………...20

Темы творческих работ………………………………………………………..21

Blog

Выражения, уравнения, неравенства, функции, содержащие модуль

Содержание

Темы творческих работ.

Содержание

Приложение