Алгебра 3 семестр Элементы теории групп

Вид материала

Документы

Содержание Евклидовы и унитарные пространства Самосопряженный оператор. Унитарные и ортогональные операторы. Полярное разложение оператора Рекомендуемая литература

Подобный материал:

• Рабочая программа дисциплины «теория представлений групп в физике твердого тела», 52.74kb.
• Программа курса «Mетоды теории групп в квантовой теории поля» (9 семестр, 64 часа), 36.03kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру элементы теории погрешностей, 51.03kb.
• Курс 1 семестр 2 количество кредитов, 29.05kb.
• Курс: 3 Семестр: 6 Перечень вопросов к зачету: Частная методика ( математика, алгебра,, 29.41kb.
• Программа дисциплины Элементы теории управления и дифференциальных игр Семестры 7,8, 16.58kb.
• Математика, 87.27kb.
• Курсовая работа по информатике на тему: «применение алгебры высказываний в информатике», 221.48kb.
• Программа дисциплины Принятие решений Семестр, 18.48kb.
• Математические задачи электроэнергетики иээ (Э-6,7,8,9), 5 семестр,, 40.9kb.

АЛГЕБРА 3 семестр

Элементы теории групп

1. Определение группы. Левые, правые единицы и обратные 2. Симметрическая и знакопеременная группы

3. Примеры групп. Классические линейные группы

4. Циклические группы

5. Подгруппы. Необходимое и достаточное условие подгруппы. Циклические подгруппы. Примеры подгрупп

6. Классические группы малых размерностей

7. Группа корней из единицы, первообразные корни

8. Описание подгрупповой структуры групп S₃, S₄, А₃, А₄, V₄, D₄

9. Классы сопряженных элементов в симметрических группах и их подгруппах

10. Теорема Кэли.

11. Порождающие множества GL(n , K), SL(n , K), S_n, A_n

12. Конечные и бесконечные циклические группы

13. Теоремы о классах смежности. Теорема Лагранжа и ее следствия

14. Нормализатор и централизатор. Теорема о числе множеств, сопряженных данному

15. Нормальные подгруппы. Факторгруппа

16. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Предложение о ядре гомоморфизма и полных прообразах. Теоремы о гомоморфизмах

17. Эндоморфизмы и автоморфизмы. Внутренние автоморфизмы

18. Центр и коммутант. Факторгруппа по коммутанту

19. Действие групп на множествах. Отношение эквивалентности. Стационарные подгруппы. Длина орбиты. Сопряженность стационарных подгрупп

20. Примеры действия групп

21. Центр конечной p-группы

22. Ложность обращения теоремы Лагранжа. Теоремы Силова

23. Внешнее прямое произведение. Разложение группы в прямое произведение

24. Конечные абелевы группы

Линейная алгебра (продолжение)

25. Диагонализуемость матрицы линейного оператора в случае простых и кратных корней.

26. Базис векторного пространства. Порождающая совокупность. Три эквивалентных определения базиса. Теорема о координатах вектора в базисе и ее следствия. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.


^ Евклидовы и унитарные пространства

27. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.

28. Ортогонализация совокупности векторов. Линейная независимость ортогональных векторов. Теорема об ортогонализации.

29. Классификация евклидовых и унитарных пространств.

30. Следствия неравенства Коши-Буняковского.

31. Определитель Грамма.

32. Ортогональное дополнение.

33. Объем k-мерного параллелепипеда

Квадратичные формы

34. Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы

35. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме

36. Канонический вид. Теорема Лагранжа

37. Вещественные квадратичные формы

38. Положительно определенные квадратичные формы

39. Критерий Сильвестра

40. Закон инерции квадратичных форм

41. Приведение вещественной квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

42. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к главным осям

Операторы в евклидовом и унитарном пространстве

43. Сопряженный оператор. Теорема о существовании и единственности сопряженного оператора. Свойства 1-6 сопряженного оператора. Теорема о связи между матрицами оператора и к нему сопряженного. Теорема об инвариантных подпространствах. Теорема о характеристических многочленах сопряженных операторов над R и C

44. ^ Самосопряженный оператор. Свойства 1-5. Матрицы самосопряженных операторов над R и C. Теорема о корнях характеристического многочлена самосопряженного оператора. Диагонализуемость матрицы самосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе. Геометрический смысл действия самосопряженного оператора

45.^ Унитарные и ортогональные операторы. Три эквивалентных определения унитарного (ортогонального) оператора. Свойства 1-4. Матрицы унитарных (ортогональных) операторов над R и С. Собственные значения унитарных (ортогональных) операторов. Диагонализуемость матрицы унитарного оператора. Лемма о существовании одномерного или двухмерного инвариантного подпространства для линейного оператора, действующего в вещественном пространстве. Приведение матрицы ортогонального преобразования к наиболее простому виду. Геометрический смысл ортогонального преобразования плоскости

46. ^ Полярное разложение оператора

47. Билинейные и квадратичные формы. Теорема о приведении вещественной квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием


^ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977

2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984

3. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А.Алгебра. - М.: Гелиос АРВ, 2003

4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. - М.: Наука, 1975

5. Боревич З.И. Определители и матрицы


1. Сборник задач по алгебре: Учебное пособие / Под ред. А.И. Кострикина. – М: Факториал, 1995.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984

3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:Н., 1977

4. Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. М.: Наука, 1967.


1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.:Н., 1977.

2. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1965