Geum.ru

Программа вступительного экзамена в магистратуру элементы теории погрешностей

Вид материалаПрограмма

Содержание


Примерные вопросы вступительного испытания
Подобный материал:
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ


1. Элементы теории погрешностей. Элементы теории погрешностей. Виды погрешностей. Прямая и обратная задачи теории погрешностей.

2. Интерполяция функций. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Теорема об остаточном члене интерполяции. Оценка погрешности многочленной интерполяции и ее обусловленность. Постановка задачи интерполяции сплайнами. Кусочно-многочленная глобальная интерполяция. Построение кубического сплайна Шонберга. Локальная интерполяция. B-сплайны. Алгоритмы реализации основных методов.

3. Численное интегрирование. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона-Котеса): формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка их точности. Алгоритмы реализации основных методов.

4. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Основные этапы. Метод простой итераций и критерий его применимости. Метод Ньютона (касательных), метод секущих. Скорость сходимости метода Ньютона. Алгоритмы реализации основных методов.

5. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Постановка задачи численного решения СЛАУ. Согласованные нормы векторов и матриц, обусловленность СЛАУ и число обусловленности матрицы. Прямой метод Гаусса, его модификации и условия применимости. Итерационные методы решения СЛАУ (метод Зейделя и простой итерации). Условия их применимости. Алгоритмы реализации основных методов. Алгоритмы реализации основных методов.

6. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. Проблема собственных значений. Решение частичной проблемы собственных значений (степенной метод) и полной проблемы собственных значений (рекуррентный метод для трехдиагональных матриц). Алгоритмы реализации основных методов.

7. Численное решение задач оптимизации. Постановка задачи безусловной оптимизации. Методы одномерной минимизации (метод сканирования, метод золотого сечения). Методы многомерной минимизации (покоординатного спуска, градиентного и наискорейшего спуска), критерии применимости и скорость сходимости. Алгоритмы реализации основных методов.

8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Численное решение задачи Коши для систем ОДУ. Устойчивость, аппроксимация и сходимость дискретных схем, теорема В.С.Рябенького-П.Лакса. Методы Рунге- Кутта. Алгоритмы реализации основных методов.

9. Методы численного решения краевых задач. Постановка задачи численного решения краевых задач. Метод стрельбы. Конечно-разностные аппроксимации и метод дифференциальной прогонки. Оценка погрешности. Проекционные методы (метод Галеркина и коллокаций). Алгоритмы реализации основных методов.

10. Методы численного решения уравнений в частных производных. Численное решение уравнений в частных производных. Решение уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типа. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностной схемы. Условие Куранта, Фридрихса и Леви. Построение разностных схем методами разностных отношений и неопределенных коэффициентов. Алгоритмы реализации основных методов.


Примерные вопросы вступительного испытания

по «Методам вычислений»
  1. Элементы теории погрешностей. Виды погрешностей. Прямая и обратная задачи теории погрешностей.
  2. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.
  3. Теорема об остаточном члене интерполяции. Оценка погрешности многочленной интерполяции и ее обусловленность.
  4. Постановка задачи интерполяции сплайнами. Кусочно-многочленная глобальная интерполяция. Построение кубического сплайна Шонберга.
  5. Локальная интерполяция. B-сплайны.
  6. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона-Котеса): формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка их точности.
  7. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Основные этапы.
  8. Метод простой итераций и критерий его применимости.
  9. Метод Ньютона (касательных), метод секущих. Скорость сходимости метода Ньютона.
  10. Постановка задачи численного решения СЛАУ. Согласованные нормы векторов и матриц, обусловленность СЛАУ и число обусловленности матрицы.
  11. Прямой метод Гаусса, его модификации и условия применимости.
  12. Итерационные методы решения СЛАУ (метод Зейделя и простой итерации). Условия их применимости.
  13. Проблема собственных значений. Решение частичной проблемы собственных значений (степенной метод).
  14. Проблема собственных значений.Решение полной проблемы собственных значений (рекуррентный метод для трехдиагональных матриц).
  15. Постановка задачи безусловной оптимизации. Методы одномерной минимизации (метод сканирования, метод золотого сечения).
  16. Методы многомерной минимизации (покоординатного спуска, градиентного и наискорейшего спуска), критерии применимости и скорость сходимости.
  17. Численное решение задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ. Устойчивость, аппроксимация и сходимость дискретных схем, теорема В.С.Рябенького-П.Лакса. Методы Рунге- Кутта.
  18. Постановка задачи численного решения краевых задач. Метод стрельбы.
  19. Конечно-разностные аппроксимации и метод дифференциальной прогонки. Оценка погрешности.
  20. Проекционные методы решения краевых задач (метод Галеркина и коллокаций).
  21. Численное решение уравнений в частных производных. Решение уравнений эллиптического и параболического типа.
  22. Численное решение уравнений гиперболического типа. Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностной схемы. Условие Куранта, Фридрихса и Леви.
  23. Построение разностных схем методами разностных отношений и неопределенных коэффициентов.

Литература

  1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
  2. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. –256 с.
  3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учеб. Пособие для вузов. -М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат. Лит., 1988.- 552 с.
  4. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. Просвещение, М., 1991.
  5. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). – М.: ТОО «Янус», 1995. – 520 с.
  6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.
  7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. 512 с.
  8. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. М.: БИНОМ, 2006.- 523 с.
  9. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. Наука, М., 1994.
  10. Самарский А.А. Введение в численные методы.Учебн. Пособие для вузов. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1987.-288 с.
  11. Сборник задач по методам вычислений. Ред. Монастырский П.И. Наука, М., 1994.