Российский Университет Дружбы Народов Институт Иностранных Языков Кафедра математики, физики и информатики Учебная программа
| Вид материала | Программа |
- Российский Университет Дружбы Народов Кафедра иностранных языков и общеобразовательных, 228.44kb.
- Российский университет дружбы народов экономический факультет кафедра иностранных языков, 4404.42kb.
- Российский университет дружбы народов факультет гуманитарных и социальных наук бакалаврская, 139.5kb.
- Российский университет дружбы народов факультет гуманитарных и социальных наук бакалаврская, 144.68kb.
- Российский университет дружбы народов, 268.19kb.
- Российский Университет Дружбы Народов. Кафедра экономической истории реферат, 100.87kb.
- Российский Университет Дружбы Народов Кафедра физического воспитания и спорта «Утверждаю», 934.49kb.
- Российский университет дружбы народов кафедра теории и истории международных отношений, 106.98kb.
- Учебное пособие совместно подготовлено к изданию преподавателями кафедры иностранных, 408.32kb.
- Российский университет дружбы народов факультет гуманитарных и социальных наук магистерская, 236.41kb.
Российский Университет Дружбы Народов
Институт Иностранных Языков
Кафедра математики, физики и информатики
Учебная программа
«Основы Высшей Математики»
По дисциплине Математика
По специальности Физика
Автор: кфмн Маркова Н.В.
I. Целевая установка и организационно –
методические указания
Настоящая программа предназначена для студентов 1 года обучения направления «физика» в Институте Иностранных Языков РУДН.
I семестр: лекции – 38 часов; практические занятия – 82 часа.
II семестр: лекции – 38 часов; практические занятия – 82 часа.
Всего – 240 часов.
Математика является фундаментальной учебной (и научной) дисциплиной и важнейшей составляющей фундаментальной подготовки специалиста физико–математических и естественных наук. Математика занимает особое (исключительное) место в общей культуре. Она является динамически развивающейся дисциплиной, которая сегодня претендует на лидирующее положение и претерпевает «второе рождение». Сегодня математика составляет серьёзную конкуренцию теоретической физике по выдвижению новых ключевых идей, теорий, подходов.
^ Цель курса
- дать будущему специалисту основы теоретических знаний, необходимые при
изучении естественнонаучных, обще-профессиональных и специальных дисциплин, при решении вычислительных и компьютерных задач прикладного значения;
- привить студенту элементы математического мышления;
- дать базовые знания по высшей математике;
- сформировать умения, способы и приёмы решения математических задач;
- расширить философски–мировоззренческие представления студента об
окружающем мире;
- привить навыки использования математических методов в практической деятельности;
- дать основы современных видов математического мышления;
- привить навыки самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации.
^
Идейное содержание курса
Программа курса и система обучения построена таким образом, чтобы
- глубина изучения вопросов математики обеспечила бы подготовку студентов к
овладению знаниями по дисциплинам, определяющим их профессиональную
подготовку;
- в рамках поставленных целей и задач обучения достичь должного уровня в
общеобразовательной подготовке студента как будущего специалиста.
Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, которая обеспечивала бы широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.
Освоивший программу студент должен
иметь представление:
о наиболее существенных (базовых) математических понятиях и методах их использования на практике, о применении математики в вычислительной технике;
знать:
основные методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, используемые при решении задач, возникающих в процессе изучения специальных дисциплин;
основные определения, теоремы и методы высшей математики, их практическое применение для решения математических и прикладных задач;
уметь:
использовать доказательства важнейших теорем, лежащих в основе изучаемых математических методов;
применять методы математики при изучении общих естественнонаучных, обще-профессиональных и специальных дисциплин, при решении прикладных задач с применением средств вычислительной техники.
^ Организационно – методическое построение курса
Курс состоит из лекций, практических занятий, контрольных заданий и домашних заданий. В целях обеспечения направленности в организации самостоятельной работы студентов и усвоения материала проводится выполнение типовых расчётов.
Лекции представляют собой краткое, но систематическое изложение содержания курса математики. Содержанием такого общего курса является последовательное изложение основных положений высшей математики, её языка и теорий, а также обсуждение основных математических задач, их сущности и методов решения. Изложение лекций имеет самостоятельный и законченный характер, содержит элементы проблемного изучения, имеет логическую связь с ранее пройденным материалом и является ориентированным на последующее применение в других материалах и на практике.
^ Практические занятия направлены на усвоение, повторение и закрепление теоретического материала, изложенного на лекциях, а также привитие студентам навыков практического приложения математики. Основной акцент делается на обсуждение и объяснение важных теоретических положений и методов в процессе анализа, поиска и решения задач, на усвоение техники решения математических задач (как стандартных, так и нестандартных задач по всем темам курса).
Для закрепления и усвоения теоретического материала, отработки каждой темы курса, а также навыков самостоятельной работы предусмотрены (обязательные) домашние задания и типовые расчёты.
Контроль усвоения студентами программы осуществляется в ходе всех видов занятий, а также при выполнении контрольных работ (и типовых расчётов). В рамках курса предусмотрены пять аудиторных контрольные работы, один типовой расчёт, пять домашних контрольных работ, а также рефераты по математике.
Практическое занятие состоит из двух частей. Первая часть занятия предусматривает краткое повторение теории. Вторая часть – решение задач.
На практическом занятии может быть проведена письменная контрольная работа. Цель- проверить знания студентов по разделу или ряду изученных тем.
Контрольная работа проводится по одной или нескольким (пройденным) темам и может состоять из двух частей.
Первая часть контрольной работы используется для контроля, систематизации и обобщения знаний, полученных студентами в ходе изучения учебного материала, а также для подготовки студентов ко второй части. При проведении этой части контрольной работы используются разные формы и методы, которые способны активизировать учебную и познавательную деятельность обучаемых.
Согласно Учебному Плану и требованиям РУДН ^ 1-ый семестр заканчивается зачётом,
2-ой семестр – экзаменом.
Аттестация каждого студента на всех этапах его обучения определяется в рамках бальной рейтинговой системы по результатам набранных им по рейтингу баллов за каждый семестр.
К зачётам и экзамену допускаются студенты, выполнившие все предусмотренные программой виды работ.
^ Содержание курса
В курс включены главы из следующих разделов высшей математики:
элементы линейной алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, основы математического анализа, элементы теории множеств, общей алгебры, векторный анализ.
II. Распределение учебного времени по семестрам,
темам и видам учебных занятий
| Номера и наименование разделов и тем | Всего часов учебных занятий по расписанию | В том числе часов учебных занятий с преподавателем | Л Из них по видам учебных занятий екции | Практические занятия | Экзамены, зачёты |
Первый семестр
| ^ Раздел I. Элементы линейной и векторной алгебры. Аналитическая геометрия | ||||||
| Тема 1. Введение. Определители и матрицы | 12 | 12 | 4 | 8 | | |
| Тема 2. Системы линейных уравнений | 6 | 6 | 2 | 4 | | |
| Тема 3. Векторная алгебра | 18 | 18 | 6 | 12 | | |
| Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве | 16 | 16 | 6 | 10- | | |
| Контрольная работа №1 | 2 | 2 | | 2+ | | |
| Домашние контрольные работы /две/ | | | | | | |
| Типовой расчёт /самостоятельная работа/ | | | | | | |
| Итого: | 54 | 54 | 18 | 36 | | |
| ^ Раздел 2. Математический анализ | ||||||
| Тема 5. Комплексные числа | 6 | 6 | 2 | 4 | | |
| Тема 6. Элементы теории множеств. Функция | 6 | 6 | 2 | 4 | | |
| Тема 7. Теория пределов. Непрерывность функции | 12 | 12 | 4 | 8 | | |
| Тема 8. Производная и дифференциал | 16 | 16 | 6 | 10- | | |
| Тема 9. Неопределённый интеграл | 14 | 14 | 6 | 12 | | |
| Контрольная работа №2 | 2 | 2 | | 2+ | | |
| Домашняя контрольная работа | | | | | | |
| Зачёт | 6 | 6 | | | 6 | |
| Итого: | 66 | 66 | 20 | 40 | 6 | |
| Всего 5 контрольных работ (за семестр) | | | | | | |
| Итого за семестр: | 120 | 120 | 38 | 76 | 6 | |
| Номера и наименование разделов и тем | Всего часов учебных занятий по расписанию | В том числе часов учебных занятий с преподавателем | Л Из них по видам учебных занятий екции | Практические занятия | Экзамены, зачёты |
Второй семестр
^ Раздел 2. Математический анализ /продолжение/ | |||||
| Тема 9. Неопределённый интеграл | 16 | 16 | 4 | 12+ | |
| Тема 10. Определённый интеграл | 24 | 24 | 8 | 16 | |
| Тема 11. Функции нескольких переменных | 14 | 14 | 6 | 8- | |
| Тема 12. Дифференциальные уравнения | 26 | 26 | 12 | 18- | |
| Контрольная работа №3 | 2 | 2 | | 2+ | |
| Контрольная работа №4 | 2 | 2 | | 2+ | |
| Контрольная работа №5 | 2 | 2 | | 2+ | |
| Домашняя контрольная работа | | | | | |
| Тема 13. Динамические системы | 28 | 28 | 8 | 16 | |
| Домашняя контрольная работа | | | | | |
| Итого: | 114 | 114 | 38 | 76 | |
| | | | | | |
| Рефераты | | | | | |
| Консультации /рефераты, подбор литературы …/ | | 2 | | | |
| Консультации /экзамен/ | | 2 | | | |
| Зачёт | 4 | 4 | | | 4 |
| Экзамен | 6 | 6 | | | 6 |
| Итого за семестр: | 124 | 128 | 38 | 76 | 10 |
Итого за курс: 76 часов – лекции; 152 часа – практические занятия (с учётом 10 контрольных работ)
Всего: 244 часа
III. Содержание разделов и тем
^
Первый семестр
Раздел I. Элементы линейной алгебры и векторной алгебры.
Аналитическая геометрия
Тема 1. Введение. Определители и матрицы
(Лекция №1, №2)
Предмет и методы элементарной и высшей математики. Реальная действительность и математическая абстракция. Роль математики в научной и практической деятельности. Алгебра и геометрия – старейшие ветви математики, диалектическая связь между ними. Числовые множества, действительная числовая ось, координата точки. Модуль числа и его геометрический смысл.
Элементы теории определителей. Матрица. Определители второго и третьего порядка, их свойства. Построение определителя n-го порядка. Вычисление определителя. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке (столбцу). Ранг матрицы, обратная матрица. Условие обратимости матриц. Операции над матрицами. Линейные операции. Умножение матриц. Транспонированные матрицы. Элементарные преобразования матрицы.
Практические занятия (решение задач)
^
Тема 2. Системы линейных уравнений
(Лекция №3)
Основные определения и понятия. Компактная запись системы. Системы с квадратной невырожденной матрицей. Решение систем двух и трёх линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Метод Гаусса. Теорема Крамера. Решение систем уравнений методом Гаусса. Совместимость системы. Общее решение системы. Однородные системы. Линейное и нелинейное уравнения.
1ая контр. работа (дом.) Тема: 1,2
Практические занятия (решение задач)
^
Тема 3. Векторная алгебра
(Лекция №4, №5, №6)
Системы векторов. Системы координат. Трёхмерное пространство. Векторы, линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Коллинеарность и компланарность векторов. Координаты вектора. Модуль вектора.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их основные свойства. Геометрический смысл. Выражение произведений векторов через координаты. Декартова система координат. Преобразование координат. Графики. Приложение векторов к решению геометрических, физических и других прикладных задач.
Линейное пространство.
-мерное линейное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Преобразование координат при переходе к новому базису.
Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного оператора. Собственные векторы линейных операторов и собственные значения. Характеристический многочлен.
Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы.
Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама скалярного произведения, её свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение подпространства в евклидовом пространстве.
Сопряжённые и самосопряжённые операторы. Их свойства. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. Их свойства. Понятие о тензорах.
2ая контр. работа (дом.) Тема: 3
Практические занятия (решение задач)
^
Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и
в трёхмерном пространстве
(Лекция №7, №8, №9)
Ось и отрезок оси. Координаты на прямой. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Отрезок, его проекции, длина, полярный угол. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Преобразование координат.
Уравнение линии на плоскости. Задание линии при помощи уравнения. Вывод уравнения заранее заданной линии. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Параметрические уравнения линии. Линии первого порядка. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнение пучка прямых. Полярное уравнение прямой.
Алгебраические линии второго порядка на плоскости. Парабола. Эллипс. Гипербола. Каустики. Каноническое уравнение линий второго порядка. Компактная запись общего уравнения. Геометрические свойства линий второго порядка. Полярные уравнения линий второго порядка. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях. Технические приложения геометрических свойств кривых (оптические свойства, траектории ракет при первой, второй, третьей космических скоростях и т.д.).
Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью.
Уравнение поверхности в пространстве. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка. Исследование формы поверхности по её уравнению. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей. Конус. Эллипсоид вращения. Параболоид. Гиперболоид. Каустики.
Практические занятия (решение задач)
^
Контрольная работа №1
Типовой расчёт
Раздел II. Математический анализ
Тема 5. Комплексные числа
(Лекция №10)
Поле комплексных чисел. Понятие комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Модуль и аргумент. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формула Муавра. Физический смысл комплексных чисел. Понятие аналитической функции.
Практические занятия (решение задач)
^
Тема 6. Элементы теории множеств. Функция
(Лекция №11)
Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества и их свойства. Функциональная зависимость. Подмножество. Основные свойства множеств. Декартово произведение. Симметричность. Отношение эквивалентности. Отображения. Обратное отображение.
Функция, область её определения, способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
Практические занятия (решение задач)
^ Тема 7. Теория пределов. Непрерывность функции
(Лекция №12, №13)
Предел числовой последовательности и её свойства. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Понятие окрестности точки. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Понятие одностороннего предела.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Предел суммы, произведения и частного. Замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке, интервале, на отрезке. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения, частного. Предел и непрерывность сложной функции. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Глобальные свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений.
Практические занятия (решение задач)
^
Тема 8. Производная и дифференциал
(Лекция №14, №15, №16)
Понятие производной. Её геометрический и механический смыслы. Уравнения касательной и нормали. Понятие односторонней производной. Производные основных элементарных функций.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения: непрерывность функции, имеющей производную. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность первой формы дифференциала. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.
Производные высших порядков. Механический смысл производной второго порядка. Выпуклость функции.
3я контр. работа (дом.) Тема: 7,8
Практические занятия (решение задач)
^
Тема 9. Неопределённый интеграл
(Лекция №17, №18, №19)
Первообразная. Неопределённый интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.
Практические занятия (решение задач)
Контрольная работа №2
Зачёт
(всего 5 контрольных работ)
Второй семестр
^
Раздел II. Математический анализ
/продолжение/
Тема 9. Неопределённый интеграл /продолжение/
(Лекция №19, №20)
Классы интегрируемых функций.
Практические занятия (решение задач)
Контрольная работа №3
^
Тема 10. Определённый интеграл
(Лекция №21, №22, №23, №24)
Понятие определённого интеграла, его основные свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Интегрирование по частям и подстановкой.
Понятие о несобственных интегралах. Методы приближённого вычисления определённого интеграла.
Приложения определённых интегралов к решению простейших физических и других прикладных задач.
Практические занятия (решение задач)
Контрольная работа №4
^
Тема 11. Функции нескольких переменных
(Лекция №25, №26, №27)
Точные множества в n-мерном пространстве. Функции нескольких переменных, область определения. График функции двух переменных. Линии и поверхности уровня: функции спроса и предложений, функции полезности и кривые безразличия.
Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные функций двух переменных, их геометрический смысл.
Полное приращение, полный дифференциал функции двух переменных. Частные производные высших порядков.
Классические методы оптимизации: экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных. Квадратичные формы.
Практические занятия (решение задач)
^
Контрольная работа №5
Тема 12. Дифференциальные уравнения
(Лекция №28, №29, №30, №31, №32, №33)
Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях.
Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Метод исключения. Метод комплексных амплитуд. Электрические цепи.
Примеры из физики: уравнение Шрёдингера и уравнение Дирака – линейные уравнения
1-го порядка.
Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Линейное уравнение второго порядка. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами.
Устойчивость. Теорема Ляпунова. Теоремы устойчивости. Предельные циклы. Ламповый генератор. Устойчивость периодических решений.
4ая контр. работа (дом.) Тема: 12
Практические занятия (решение задач)
^ Тема 13. Динамические системы
(Лекция №34, №35, №36, №37)
Математическое определение понятия динамической системы. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Динамика дифференциальных уравнений. Устойчивость и бифуркации. Метод функций Ляпунова. Устойчивость по Ляпунову. Геометрический критерий устойчивости. Теория катастроф.
П
5ая контр. работа (дом.) Тема: 13
рактические занятия (решение задач)
^
Зачёт
Экзамен
(всего 5 контрольных работ)
Комментарий:
Для получения итоговой оценки от студента требуется посещение всех лекций и практических занятий. Особенно ценится активная работа студента на практических занятиях, полное выполнение всех домашних заданий, успешное выполнение контрольных (письменных) работ в течение семестра. Математика изучается в группе, т.е. коллективно, с обсуждением всех возникающих вопросов. Контрольная работа выполняется студентом самостоятельно. Акцент делается на самостоятельную работу студента: умение работать с литературой, решение задач (особенно домашних задач).
Недопустимо пользоваться чужими выполненными домашними заданиями. Во время контрольной работы, на зачёте или на экзамене пользоваться литературой запрещено. Не разрешается обращаться с вопросами к соседям, списывать во время контрольной работы или на зачёте и экзамене.
Обязательная литература
^
Учебники и учебные пособия
1. Ильин В.А., Ким Г.Д., Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М., МГУ, 1988 г.
2. Ефимов Н.В., Краткий курс аналитической геометрии, М., Наука, 1972 г.
3. Шипачёв Л.С., Высшая математика, М., Высшая школа, 2002 г.
4. Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа, т. 1 и 2, М., Наука, 1968 г.
5. Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967 г.
/по Теории Поля, гл.6/
Задачники
1. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии, Санкт-Петербург,
Профессия, 2006 г.
2. Берман Г.Н., Сборник задач по курсу математического анализа, Санкт-Петербург,
Специальная литература, 2000 г.
3. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука,
1972 г.
4. Баранова Н..М., Подузова М..М., Линейная алгебра, Сборник задач, М., РУДН, 2006 г.
Дополнительная литература
^
Учебники и учебные пособия, монографии
1. Стренч Г., Линейная алгебра и её применение, М., Мир, 1980 г.
2. Мальцев А.И., Основы линейной алгебры, М., Наука, 1975 г.
3. Михеев В.И., Павлюченко Ю.В., Высшая математика. // Учебное пособие, М., РУДН,
2005 г.
4. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М., Современная математика, М., Мир, 1966 г.
5. Боревич З.И., Определители и матрицы, М., Наука, 1970 г.
6. Кокарев С.С., Элементы математики для физиков, Часть 1: Векторы в физике,
Ярославль, НГ РНОЦ «Логос», 2004 г.
7. Фрид Э., Элементарное введение в абстрактную алгебру, М., Мир, 1979 г.
8. Кочин Н.Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 6 изд., Л.—М.,
1938 г.
9. Дубнов Я.С., Основы векторного исчисления, 4 изд., т. 1—2, М., 1950—52 гг.
10. Зельдович Я.Б., Высшая математика для начинающих, М., Наука, 1968 г.
11. Зельдович Я.Б., Яглом И.Я., Высшая математика для начинающих физиков и техников,
М., Наука, 1982 г.
12. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д., Элементы математической физики, М., Наука, 1973 г.
13. Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, М.-Л., 1949 г.
14. Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, т. 1-2, М., 1961г.
15. Эйлер Л., Интегральное исчисление, т. 1-3, М., 1956-1958 г.