Geum.ru

Семинаре по философии

Вид материалаСеминар

Содержание


Трансцендентальный анализ математического знания
M — это совокупность из закона потока ΔM
Закон потока
Катречко С.Л.
Критику: [1, 423 – 430; 124 – 125; 103, 112 и др.]. 8 Кант не проводит концептуального различия между предметом
Полнота означает ясность и достаточность признаков; границы
Naturalized PI at onism versus Platonized Naturalism H
Полнота означает ясность и достаточность признаков; границы
Инструментальная структура математических построений
Подобный материал:
  1   2   3


Материалы к докладу Катречко С.Л. от 18 марта 2011 г. (на основе статьи в сборник по доказательству).


18 марта (пятница в 15.00) в МГУ (Новый учебный корпус на Ломоносовском проспекте) на московском семинаре по философии математики (философский факультете, ауд. E-335) состоится доклад Катречко С.Л. «Трансцендентальный анализ математического знания: математика как "работа" с абстрактными объектами (Платон, Аристотель, Кант, Фреге, Гильберт, Гудстейн, Хинтикка, Залта)» Информацию о семинаре и схему проезда см.: u/rus/events/seminars/sem_phil_mat/. Краткую аннотацию доклада см. ниже (sophy.ru/library/katr/my_text/katr_philmath2011.php):


В приложении находится моя "библиотека по философии математики", которая также выложена по адресу: sophy.ru/library/katr/my_text/katr_philmath2011.php).


Трансцендентальный анализ математического знания:

математика как "работа" с абстрактными объектами

(Платон, Аристотель, Кант, Фреге, Гильберт, Гудстейн, Хинтикка, Залта)


В каком-то смысле данный доклад является ответом на вопрос, заданным после моего выступления «Мета-философский подход к философии математики» (18.06.2010) на ссылка скрыта (ссылка скрыта): «Возможно ли в рамках единого подхода (к математике) объединить Платона и Канта?».

Я попробую показать, что это возможно, если в качестве фундирующего выбрать тезис о том, что математика «работает» с абстрактными объектами (подробнее об этом см. мой программный текст (resp. тезисы июньского доклада) (ссылка скрыта).

В качестве базового для анализа математического знания выбран трансцендентальный метод Канта и, прежде всего, его изложение в разд.1 «Дисциплина чистого разума в догматическом применении» гл.1 ссылка скрыта» второй части «Трансцендентальное учение о методе» кантовской «Критики чистого разума». Там Кант формулирует два ключевых положения: 1. «Математическое знание есть познание посредством конструирования понятий» (B 741); 2. «Основательность математики зиждется на дефинициях, аксиомах и демонстрациях» (B 754).

Это позволяет объединить воедино кажущиеся на первый взгляд разнородными взгляды на понимание математики различных мыслителей, наиболее значимые [для доклада] имена которых приведены в подзаголовке названия доклада.


В качестве расширенных тезисов нашего доклада прикладываю ведем фрагмент из нашей моей статьи для сборника по доказательству, посвященный абстрактным объектам (и частично анализу док-ва как разновидности кантовского конструирования понятий).


С.Л. Катречко

Трансцендентальный анализ математической деятельности: абстрактные [математические] объекты и доказательства


Статья может быть условно разбита на две части: 1. тема абстрактных объектов и 2. тема доказательства (здесь они выделены посредством §1 и §2). Доклад в основном будет посвящен теме §1.


Под трансцендентальным Кант понимает исследование, «занимающееся не столько предметами, сколько видами [способами] нашего познания предметов, поскольку они [эти способы познания. — С.К] должны быть возможными a priori [1, 44]1. Точнее, кантовское определение задает как общий трансцендентализм, направленный на исследование человеческой познавательной способности в целом (resp. человеческого способа познания), так и прикладной трансцендентализм, направленный на анализ отдельных способов познания, одним из которых и является интересующая нас математическая деятельность, одним из важнейших конституирующих моментов которой выступает процедура математического доказательства. В составе познавательной способности (resp. сознания) человека Кант выделяет два основных «ствола познания»: чувственность и рассудок, определенное сочетание которых и предопределяет специфику того или иного вида познавательной деятельности. И если опытное естествознание, начинается с чувственного созерцания, которое затем осмысляется рассудком посредством понятий, то математику Кант определяет как «познание посредством конструирования понятий» [1, 423], что предполагает совместную работу рассудка и воображения при первенстве первого из них2. Тем самым Кант, вслед за Аристотелем, выделяет в составе познавательной деятельности помимо «первой философии» (метафизики) также и «вторую философию», а именно: физику (естествознание) и математику как различные типы познавательной деятельности, первая из которых является конкретным, а вторая — абстрактным познанием. Соответственно, предметом изучения первой выступают [конкретные] объекты природы, а предметом второй — абстрактно–идеальные объекты, которые создаются нашим рассудком, ибо в самой «природе нет кругов, квадратов…»3.

В этой связи понятно, что конкретно–физические и абстрактно–математические объекты имеют разный онтологический статус. Если физические объекты являются реальными4 и удостоверяются нами как существующие путем их вос–приятия с помощью наших органов чувств (или некоторых физических приборов), то подобное удостоверение в существовании абстрактных объектов невозможно и поэтому для них должен быть предложен другой онтологический критерий [их существования]… Вместе с тем поскольку существует опасность, присутствующая в какой-то мере и в теоретическом естествознании, что придуманные нами математические абстракции (resp. теоретические объекты) окажутся фикциями, то онтологический критерий существования математических объектов вместе с тем должен быть также критерием различения хороших [математических] абстракций от плохих. Таковым выступает постулируемый Кантом конструктивный способ задания абстрактных [математических] объектов посредством тех или иных «действий чистого мышления (рассудка)» [1, 73]5.

В наши задачи не входит детальное обсуждение проблемы онтологического критерия6, поэтому ограничимся лишь главным тезисом…


Следуя интенции коперниканского переворота, спросим себя: «не достигнем ли мы большего успеха» [1, 18], если предложим другой критерий объективного существования, хотя возможно и не так кардинально отличающийся от точки зрения обыденного рассудка с его наивно-реалистическим тезисом: «существовать — значит быть объектом возможного восприятия, т.е. быть в принципе воспринимаемым»? Как мы выяснили выше, суть трансцендентального метода Канта состоит в анализе нашего знания, а «всякое знание требует понятия…, [которое] своей форме есть нечто общее, служащее правилом» [1, 504]. Реализуя этот «измененный метод мышления», выберем в качестве базового случая не природные (естественно-физические) объекты, а математическийе объекты, которые имеют конструктивный способ своего существования. Тогда критерий существования будет таким: существовать — значит быть конструируемым, т.е. быть построенным по некоторому правилу. В кантовской Критике приводится немало примеров таких [математических] конструкций7, а парадигмальным может служить следующий пример, посредством которого Кант иллюстрирует вводимый им концепт предмета вообще (resp. трансцендентального предмета/объекта): «Так, мы мыслим треугольник как предмет8, когда сознаем сочетание трех прямых линий согласно правилу, соответственно которому такое созерцание всегда может быть показано» [1, 504]. При этом оказывается, что этот критерий существования является универсальным, поскольку применим не только к математическим, но и к любым объектам, в том числе к природным предметам (в силу их сотворенности Богом или природой).

Именно этот критерий конструируемости – правилосообразности (со смысловым акцентом на втором термине) и кладется Кантом в основу объективности: объективно значимым выступает то, что является правилосообразным [т.е. подчиняется некоторому правилу], или всеобще–необходимым9… На уровне понятий таковыми выступают формальные объекты, конструируемые по некоторому правилу, парадигмальным случаем которых и выступают абстрактные математические объекты.


** § 1 **


…

Перейдем теперь к более детальному анализу математики, «основательность [которой] зиждется на дефинициях, аксиомах и демонстрациях» [1, 430].

Определяющим — первичным и конституирующим последующие две составляющие математического знания — в этой триаде выступают математические дефиниции, которые «создают само [математическое] понятие» [там же, 432], и, тем самым, «дают первоначальное и полное изложение вещи [т.е. действительного предмета] в его границах10» [там же, 430], а не только объясняют его, как это происходит в естествознании и философии. Это гарантирует математическим понятиям их полное соответствие с [математическими] предметами, в то время как эмпирические понятия [естествознания] и априорные понятия [метафизики] таким соответствием в общем случае не обладают: в случае естествознания вещи как правило «богаче» своих понятий (например, стол и понятие о столе не совпадают, а понятие о столе не может передать всю информацию о реальном столе, о всех нюансах его существования), а метафизические понятия (категории) в общем случае «богаче» своего эмпирического применения, поскольку могут применяться не только к предметам нашего чувственного созерцания, т.е. вещам–для–нас, но и к «вещам вообще» [1, 189]11. Основанием для такого полного соответствия является тождество математических объектов и понятий, поскольку первые задаются, или «создаются», посредством вторых (resp. дефиниций). Вместе с тем это проясняет «измененный метод мышления» Канта (его коперниканский переворот), суть которого состоит в том, «что мы а priori познаем о вещах лишь то, чтó вложено в них нами самими» [1,19]: если по отношению к природным (физическим) объектам [восприятия] кантовский тезис кажется слишком уж радикальным, то по отношению к математическими объектам=понятиям он является в общем тривиальным. Наше знание математических объектов подобно «знанию» мастера, который создает ту или иную вещь. Вместе с тем, любая математическая дефиниция имеет конструктивный характер, содержащая в себе способ порождения своего объекта, или, как говорит Кант, «содержащая в себе произвольный синтез, который может быть конструирован a priori (…в созерцании)» [1, 432]. В главе о схематизме Кант уточняет, что в «основе наших чистых чувственных [= математических! — К.С.] понятий лежат не образы предметов, а схемы…., [которые] не могут существовать нигде, кроме как в мысли, и означают правило синтеза воображения [математических предметов, например фигур в пространстве — К.С.]» [1, 124–125]. Тем самым в основании математической предметов лежат те или иные наши ментальные действия — схемы12 (соответственно, математические понятия представляют собой конструктивные понятия–схемы). Например, окружность определяется Кантом с помощью конструктивной дефиниции как «линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра» [1, 433].

По сути дела, Кант своим введением математических объектов через дефиниции специфицирует их в качестве абстрактных, в противовес конкретным (физическим) объектам. В современной философии математики в этой связи говорится о принципе абстракции Юма13 — Фреге: (α)(β) [(∑(α) = ∑(β)) ↔ (α ≈ β)], где ∑(α)/∑(β) обозначает вновь вводимый абстрактный объект с помощью метаязыкового символа ∑14. Классическим (парадигмальным) примером введения новой абстракции является, например, фрегевское «введение» нового понятия «направление (прямой)», обозначаемого посредством D(α)/D(β), которое «получается» из [уже известной] понятийной конструкции более низкого уровня «параллельность прямых а и в»: D(α) = D(β) ↔ прямая α параллельна прямой β. Принцип абстракции фиксирует то обстоятельство, что новый — «вторичный» — абстрактный объект получается из «первичного» абстрактного объекта путем неявного определения. На его сходство с [кантовской] математической дефиницией указывает то, что мы можем записать в форме (квази)определения: для любых (α)(β)((∑(α)=∑(β))[Dfd] =df (α≈β)[dfn]). Отсюда видно, что фрегевский принцип абстракции позволяет зафиксировать общую структуру математических дефиниций. Например, новое кантовское абстрактное понятие окружности как линии определенного типа «получается» из понятия более низкого уровня — точек, равноудаленных от центра, а признак «равноудаленности от центра», является основанием, или дефиниенсом (в формуле: α ≈ β), для порождения этой [новой] абстракции (resp. нового дефиниендума Dfd окружности; в формуле: ∑(α)).

Однако в формализованном принципе абстракции не прояснен важный момент, связанный с тем, как образуется новая абстракция, т.е. что (какое действие?) скрывается за выражением α ≈ β [α «равно» β]. В этом отношении нам может помочь именно [кантовский] трансцендентальный анализ, направленный на исследование сознательных «механизмов», лежащих в основании того или иного феномена (в нашем случае, такого сознательного представления как абстракции). При этом необходимо четко отличать естественнонаучные абстракции [естественных наук], которые получается отвлечением от некоторых характеристик конкретных объектов, и математические абстракции, создаваемые путем дефиниций. Кант говорит, что в основании любой математической абстракции лежит некий синтез, фундаментом которого выступает то или иное [математическое] действие. Существенным для понимания математики здесь является указание именно на действие. Понятно, что по своей сути любое понятие представляет собой синтез, объединение в своем составе многих сходных предметов и обобщение этого сходства именно в данном понятии. Специфика же математики состоит в том, что «чистые чувственные понятия», каковыми являются математические абстракции представляют собой обобщения по сходству действия (или построения). Например, в случае с фрегевским «направлением» таковым является действие по проверке (или обнаружению) параллельности прямых, а в случае с кантовской окружностью — действие по проверке (обнаружению) равноудаленности точек от центра. При этом в полученной абстракции это действие как бы «угасает», перемещается с поверхностного (Dfd) на глубинный (Dfn) уровень15, однако так дело обстоит для профана, который просто читает математическую символику, математик же «видит» (интуитивно «чувствует») за тем или иным понятием/символом образующее его действие. Например, в [натуральном] числе — это сумма его единиц или произведение его множителей и т.д. Тем самым кантовское конструирование понятий [в математике] состоит в их экспликации при помощи созерцаний, т.е. путем их помещения в пространственную и/или временную среду и определении тех действий, которые образуют/выявляют конструкцию данного понятия.

…

Скажем еще несколько слов о специфике математических объектов/понятий. Во-первых, рассмотренный выше принцип абстракции можно применять итеративно, порождая абстракции все более высоких уровней. С другой стороны, возникает проблема «спуска» и выявления первичных математических объектов и действий. Современная математика решает эту проблему: нахождение некоторых универсальных первичных элементов, которые составляют фундамент остальных математических абстракций — путем выделения некоторый базовой математической теории, каковой в конце XIX в. выступает теория множеств, а с середины ХХ в. на это претендует теория категорий. Что же касается первичного математического действия, то таковым выступает символ ≈ в формальной записи принципа абстракции, который хотя и не очень точно определен в концептуальном отношении, но который задается с помощью следующего ряда: «равно», «тождественно», «изоморфно», «конгруэнтно» и т.д., — основой которых является операция сравнения16. Во-вторых, это — абстрактный характер математических объектов — проясняет их безличный характер: мы не можем, например, отличить одну точку от другой, или одну двойку от другой двойки17. С другой стороны, эта безличность придает математическим рассуждениям характер аподиктичности, поскольку мы доказываем теорему для безличного математического объекта и тем самым для любого объекта этого типа, например треугольника вообще. В-третьих, представляется совершенно справедливым по отношению к математическим абстракциям следующее различение, предлагаемое (вслед за Э. Малли18) Э. Залта [*19*], который «расщепляет» стандартную предикацию на два типа: экземплификацию и кодирование. Стандартным образом предикация «х есть F» выражает экземплификацию предиката (свойства) F в [физическом] объекте х: [объект] х обладает свойством F, т.е. экземплифицирует (проявляет) его. Соответственно, этот тип предикации может быть записан как F(x). Однако в случае с абстрактными объектами, к каковым относятся помимо математических объектов также, например, персонажи литературных произведений типа Шерлока Холмса дело обстоит иначе. С одной стороны эти объекты неполны, поскольку у них нет полного набора свойств, характеризующих конкретные объекты20. С другой стороны, выражение «х есть F» представляет собой кодирование свойства F посредством вводимого объекта х. Так, выражение «2 есть простое число», следует понимать как определение двойки: «2» выступает (вводится) как такой объект, который кодирует свойство «быть простым числом», что можно записать посредством (x)F. Если «двойка» вводится по определению как простое четное число, то никаких других свойств, кроме свойств простоты и четности у двойки нет: содержание абстрактных сущностей беднее, чем конкретно-физических объектов, зато все их «закодированное» содержание полностью содержится в их дефиниции21.

Более того, математические абстракты объектами в точном смысле этого слова не являются: на это указывает хотя бы отмеченная выше их безличность и неполнота. Тем самым, наряду с пониманием абстрактным объектов как полноценных онтологических сущностей хотя и принадлежащих другому миру (= платоновскому миру идей), что неявно предполагалось выше, возможна и другая (троякая) более слабая с онтологической точки зрения трактовка математических абстрактов22.

Во-первых, это понимание абстрактных объектов как не(до)определенных конкретных объектов, т.е. их трактовка в модусе возможности, а не действительности (Р. Ингарден, Дж. Хеллман и др.). Данная трактовка тяготеет к номинализму, а в своих радикальных версиях — к фикционализму23. Во-вторых, это понимание абстрактных объектов как овеществленных свойств, развиваемая в работах неологицистов (Э. Залта и др.). Это достаточно влиятельная версия современного математического платонизма (наряду с объектным платонизмом Геделя и Бернайса), которая, однако, оставляет открытым онтологический вопрос о том, свойствами чего являются математические абстракции, каковыми, видимо, неявно полагаются конкретные (физические) объекты24. В-третьих, это самая радикальная — без-объектная — трактовка математический абстрактов в рамках активно развивающегося, начиная со второй пол. ХХ в., современного [математического] структурализма (Л. Витгенштейн, П. Бенацерраф, С. Шапиро и др.)25. Структурализм (в общем) считает, что математика занимается не объектами, а структурами, которые и определяют относительное место/позицию математических (квази)объектов в составе структур. Соответственно, собственно математических объектов, как объектов–сущностей, нет26. Так, например, тройка — это не самостоятельный (полноценный) объект, а лишь то, что занимает «место» между двойкой и четверкой. Такое «слабое» понимание чисел вполне достаточно для решения главной задачи математической деятельности — выполнения математических операций (resp. для ответов на вопросы типа «тройка больше двойки?», «тройка меньше четверки?»). При всех своих вариациях структурализм тяготеет к анти-реализму, в рамках которого возможно как номиналистское понимание математических структур в качестве наших языковых конструкций, так и концептуалистское понимание математической деятельности в качестве наших ментальных конструкций (Кант, Гуссерль, интуиционисты). В своих же радикальных версиях структурализм выдвигает тезис о том, что математика вообще может обойтись не только без объектов, но и без структур (соответственно, математика сама по себе не-онтологична)27, что сближает радикальный структурализм с крайним номинализмом и инструментализмом.

Абстрактный характер математических объектов предопределяет две другие необходимые составляющие математического знания: аксиомы и демонстрации28.

Перейдем теперь к более детальному анализу математики, «основательность [которой] зиждется на дефинициях, аксиомах и демонстрациях» [1, 430].

Определяющим — первичным и конституирующим последующие две составляющие математического знания — в этой триаде выступают математические дефиниции, которые «создают само [математическое] понятие» [там же, 432], и, тем самым, «дают первоначальное и полное изложение вещи [т.е. действительного предмета] в его границах29» [там же, 430], а не только объясняют его, как это происходит в естествознании и философии. Это гарантирует математическим понятиям их полное соответствие с [математическими] предметами, в то время как эмпирические понятия [естествознания] и априорные понятия [метафизики] таким соответствием в общем случае не обладают: в случае естествознания вещи как правило «богаче» своих понятий (например, стол и понятие о столе не совпадают, а понятие о столе не может передать всю информацию о реальном столе, о всех нюансах его существования), а метафизические понятия (категории) в общем случае «богаче» своего эмпирического применения, поскольку могут применяться не только к предметам нашего чувственного созерцания, т.е. вещам–для–нас, но и к «вещам вообще» [1, 189]30. Основанием для их полного соответствия является тождество математических объектов и понятий, поскольку первые задаются, или «создаются», посредством вторых. Вместе с тем это проясняет «измененный метод мышления» Канта (его коперниканский переворот), суть которого состоит в том, «что мы а priori познаем о вещах лишь то, чтó вложено в них нами самими» [1,19]: если по отношению к природным (физическим) объектам [восприятия] кантовский тезис кажется слишком уж революционным, то по отношению к математическими объектам=понятиям он является в каком-то смысле тривиальным. Наше знание математических объектов подобно «знанию» мастера, который создает ту или иную вещь. Вместе с тем, любая математическая дефиниция имеет конструктивный характер, содержащая в себе способ порождения своего объекта, или, как говорит Кант, «содержащая в себе произвольный синтез, который может быть конструирован a priori (…в созерцании)» [1, 432]. В главе о схематизме Кант уточняет, что в «основе наших чистых чувственных [= математических! — К.С.] понятий лежат не образы предметов, а схемы…., [которые] не могут существовать нигде, кроме как в мысли, и означают правило синтеза воображения [математических предметов, например фигур в пространстве — К.С.]» [1, 124–125]. Тем самым в основании математической предметов лежат те или иные наши ментальные действия — схемы31 (соответственно, математические понятия представляют собой конструктивные понятия–схемы). Например, окружность определяется Кантом с помощью конструктивной дефиниции как «линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра» [1, 433].

По сути дела, Кант своим введением математических объектов через дефиниции специфицирует их в качестве абстрактных, в противовес конкретным (физическим) объектам. В современной философии математики в этой связи говорится о принципе абстракции Юма — Фреге: (α)(β) [(∑(α) = ∑(β)) ↔ (α ≈ β)], где ∑(α)/∑(β) обозначает вновь вводимый абстрактный объект с помощью метаязыкового символа ∑32. Классическим (парадигмальным) примером введения новой абстракции является, например, фрегевское «введение» нового понятия «направление (прямой)», обозначаемого посредством D(α)/D(β), которое «получается» из [уже известной] понятийной конструкции более низкого уровня «параллельность прямых а и в»: D(α) = D(β) ↔ прямая α параллельна прямой β. Принцип абстракции фиксирует то обстоятельство, что новый — «вторичный» — абстрактный объект получается из «первичного» абстрактного объекта путем неявного определения. На его сходство с [кантовской] математической дефиницией указывает то, что мы можем записать его так: для любых (α)(β)((∑(α)=∑(β))[Dfd] =df (α≈β)[dfn]). При этом с одной стороны, принцип абстракции позволяет зафиксировать общую структуру математических дефиниций. Например, новое кантовское абстрактное понятие окружности как линии определенного типа «получается» из понятия более низкого уровня — точек, равноудаленных от центра, а признак «равноудаленности от центра», является основанием, или дефиниенсом (в формуле: α ≈ β), для порождения этой [новой] абстракции (resp. нового дефиниендума Dfd окружности; в формуле: ∑(α)). С другой стороны, в формализованном принципе абстракции не прояснен важный момент, связанный с тем, как образуется новая абстракция, т.е. что (какое действие?) скрывается за выражением α ≈ β [α «равно» β]; кантовский же анализ хорошо проясняет именно этот момент. Он говорит, что в основании любой математической абстракции лежит некий синтез, фундаментом которого выступает то или иное [математическое] действие. Существенным для понимания математики здесь является указание именно на действие. Понятно, что по своей сути любое понятие представляет собой синтез, объединение в своем составе многих сходных предметов и обобщение этого сходства именно в данном понятии. Специфика же математики состоит в том, что «чистые чувственные понятия», каковыми являются математические абстракции представляют собой обобщения по сходству действия (или построения). Например, в случае с фрегевским «направлением» таковым является действие по проверке (или обнаружению) параллельности прямых, а в случае с кантовской окружностью — действие по проверке (обнаружению) равноудаленности точек от центра. При этом в полученной абстракции это действие как бы «угасает», перемещается с поверхностного (Dfd) на глубинный (Dfn) уровень33, однако так дело обстоит для профана, который просто читает математическую символику, математик же «видит» (интуитивно «чувствует») за тем или иным понятием/символом образующее его действие. Например, в [натуральном] числе — это сумма его единиц или произведение его множителей и т.д. Тем самым кантовское конструирование понятий [в математике] состоит в их экспликации при помощи созерцаний, т.е. путем их помещения в пространственную и/или временную среду и определении тех действий, которые образуют/выявляют конструкцию данного понятия.

…

Скажем еще несколько слов о специфике математических объектов/понятий. Во-первых, рассмотренный выше принцип абстракции можно применять итеративно, порождая абстракции все более высоких уровней. С другой стороны, возникает проблема «спуска» и выявления первичных математических объектов и действий. Разные математические теории по-разному решают эту проблему. Судя по всему, предложенная в конце XIX в. теория множеств и предложенная в середине ХХ в. теория категорий претендуют на то, чтобы выявить универсальные первичные элементы, которые составляют фундамент остальных математических абстракций. Что же касается первичного математического действия, то таковым выступает символ