Семинаре по философии
| Вид материала | Семинар |
- Доклад на семинаре в Институте философии ран 3 декабря 2009 г. (16. 00, к. 520), 417.22kb.
- Учебно-методический комплекс дисциплины «философия», 512.67kb.
- На семинаре освещаются следующие вопросы: Аккредитация, 53.92kb.
- Отчёт о семинаре "Основы медиа-активизма: web, 142.88kb.
- В. Н. Сагатовский Яхочу пояснить тезис, заявленный в заглавии, на примере статьи, 91.35kb.
- Программа лекционного курса по общей философии Крючков Ст. В., к ф. н., ассистент кафедры, 97.49kb.
- Курс Философии и Философии Истории, а также Философии Искусства и Философии Науки XXI, 172.66kb.
- План цивилизационные особенности становления философии. Место и роль философии в культуре., 134.55kb.
- М. В. Ломоносова (митхт) Кафедра философии и основ культуры Программа, 415.27kb.
- Требования к обязательному минимуму содержания основных образовательных программ, 16.62kb.
Закон потока делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые, дополнительный закон сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты. Закон потока должен удовлетворять следующим условиям:
1. Пустой кортеж <…> является допустимым;
2. Для любого допустимого кортежа
3. Для любого допустимого кортежа
Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел {ak}, для которых при любом n кортеж
Теперь определим отрезок [0, 1] как следующий поток рациональных отрезков:
1. Закон потока: Допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны 1 или 2;
2. Дополнительный закон: Пустому кортежу ставится в соответствие отрезок [0, 1]. Далее, если кортежу
Элементы этого потока (точнее: последовательности вложенных рациональных отрезков) называются действительными числами.
Приведенный алгоритм максимально точно задает понятие действительного числа, но для того чтобы сделать понятнее и нагляднее предложенный алгебраический алгоритм потока должен быть соотнесен с созерцанием, т.е. с вторичной остенсивной конструкцией. Это делается в завершающем описании алгоритма следующим образом (шаг 3), поскольку поток может быть представлен двоичным деревом, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого навешен тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел, т.е. бесконечные десятичные дроби, с помощью которых представляются действительные числа, можно представить в виде бесконечных путей в таком дереве.
Приложение. Фрагменты из Канта:
«Математическое знание есть знание посредством конструирования понятий. Но конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание. Следовательно, для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единичный объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие. Так, я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия59, для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника» ([1, 423]; выделено жирным и подчеркиванием нами. — С.К.).
«Математика конструирует не только величины (quanta), как это делается в геометрии, но и величину как таковую (quantitas), как это делается в алгебре, совершенно отвлекающейся от свойств предмета, который должно мыслить согласно такому понятию величины. Она избирает себе при этом определенные обозначения для всех конструирований величин вообще (чисел), каковы сложение, вычитание, извлечение корня и т. д.; затем, обозначив общее понятие величин в их различных отношениях, она изображает в созерцании соответственно определенным общим правилам все операции, производящие и изменяющие величину, когда одна величина должна быть разделена другой, она соединяет их знаки по обозначающей форме деления и т. п. и таким образом с помощью символической конструкции, так же как геометрия с помощью остенсивной, или геометрической, конструкции (самих предметов) достигает того, чего дискурсивное познание посредством одних лишь понятий никогда не может достигнуть» ([1, 425]; выделено жирным нами. — С.К.).
1 Мы даем свой вариант перевода, который в большей степени высвечивает развиваемый здесь ракурс трансцендентализма.
2 Воображение Кант относит к чувственности и выделяет в нем репродуктивное воображение (или память) и продуктивное воображение (или фантазию).
3 Постулировать или даже предполагать природный (реальный) статус математических предметов (объектов) противоестественно даже для обыденного рассудка.
4 Реальный в каком-то смысле является синонимом природного, о котором мы говорили чуть выше.
5 В этой связи кантовская концепция может быть названа трансцендентальным конструктивизмом.
6 Подробнее об этом мы говорим в наших статьях «Онтология и трансцендентальный метод» (Питер, июнь 2010) и Катречко С.Л. Трансцендентальная аргументация Канта как формальная онтология //Модели рассуждений – 4: Аргументация и риторика. Калининград: Изд–во РГУ им. И. Канта, 2010 (октябрь 2010). — с. ??–?? (электронная версия: журнал Ratio № 3 2010; ссылка скрыта)
7 См. Критику: [1, 423 – 430; 124 – 125; 103, 112 и др.].
8 Кант не проводит концептуального различия между предметом и объектом, употребляя эти термины как синонимы: в частности, здесь термин предмет вполне может быть заменен на объект.
9 Заметим, что последняя характеристика отсылает к кантовскому концепту априорного.
10 [прим. Канта] « Полнота означает ясность и достаточность признаков; границы означают точность в том смысле, что признаков дается не более чем нужно для полного понятия; первоначальное означает, что определение границ ниоткуда не выводится и, следовательно, не нуждается в доказательстве…» [там же, 430].
11 Кант называет такое применение категорий, выходящее за пределы опыта, трансцендентальным, хотя такое применение точнее надо бы назвать трансцендентным.
12 Ср. с уже приводившимся выше замечанием Канта о «действиях чистого мышления» [1, 73].
13 Вот что пишет сам Д. Юм в «Трактате о человеческой природе» (ч.1, гл.3, пар.1, т.1, с.128): «Когда два числа составлены таким образом, что каждая единица в одном из них всегда отвечает каждой единице в другом, мы признаем их равными…» Algebra and arithmetic [are] the only sciences, in which we can carry on a chain of reasoning to any degree of intricacy, and yet preserve a perfect exactness and certainty. We are possessed of a precise standard, by which we can judge of the equality and proportion of numbers; and according as they correspond or not to that standard, we determine their relations, without any possibility of error. When two numbers are so combined, as that the one has always a unit answering to every unit of the other, we pronounce them equal; and it is for want of such a standard of equality in [spatial] extension, that geometry can scarce be esteemed a perfect and infallible science. (I. III. I.)
14 Посредством скобок (α)/(β) в формуле обозначается квантор всеобщности. Подробнее о принципе абстракции см. например: ссылка скрыта.
15 Ср. с различением «поверхностная vs. глубинная информация» у Хинтикки [Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. — М., Прогресс, 1980. разд. 2 «Дистрибутивные нормальные формы и их эпистемологические приложения»; ссылка скрыта].
16 Неслучайно, что Платон рассматривает идею «равенства» как одну из ключевых идей человеческого сознания. Можно сказать, что эта идея, в своей процедурной развертке как «способность сравнивать» выступает как сущность человеческого познания, особенно математического.
17 Безличность (недоопределенность) математических объектов в современной литературе получила название проблемы Юлия Цезаря. Оно восходит к Г. Фреге, который в § 56 своих «Основоположений арифметики» писал, что, если мы используем абстрактное определение числа, то никогда не сможем однозначно решить соответствует ли этому понятию такой объект как Юлий Цезарь или же нет.
19 Linsky В., Zalta E. Naturalized PI at onism versus Platonized Naturalism H Journal of Philosophy. - 1995. - V. xcii, n. 10. — P. 525 – 555 (ссылка скрыта).
20 Указание на неполноту математических абстракций представляет интерес с точки зрения решения проблемы универсалий, точнее отличения универсалий от абстракций. Абстрактные объекты являются, скорее, не общими (= универсальные), а неопределенными а–объектами (здесь а — неопределенный артикль английского языка) и моделируется в математике посредством переменных (которая, в конечном итоге, должна быть заменена индивидом, т.е. полноценным определенным the–объектом).
21 Точнее, подобное совпадение выступает как идеал, к которому должны стремиться математические ефиниции. Ср. с кантовским определением выше математической дефиниция [1, 430].
22 Здесь и далее мы будем ориентироваться на англоязычную философию математики (набор тем, проблем, концепций), которая несколько отличается от ее российского аналога. См. по этому поводу, например, статью из ссылка скрыта: ссылка скрыта.
23 См., например: Field H., Realism, Mathematics & Modality, 1989.
24 Представителями современного неологицизма/неофрегианства выступают, наряду с Э. Залта (Zalta) и Б. Линским (Linsky), также К. Райт (Wright), Р. Хэйл (Hale), Дж. Булос (Boolos) и др. Например, Залта основал в Стэнфордском университете Лабораторию Метафизических исследований (Metaphysics Research Lab: ссылка скрыта), задача которой — исследование мета-физических (математических и логических) сущностей. Это показывает, что современный платонизм развивается в концептуальном диапазоне понимания абстракций от объектов до свойств.
25 Идеологом данного подхода в 70-е годы ХХ в. выступил П. Бенацерраф, автор известной статьи «Чем числа не могут быть?» (Benacrrraf P., What Numbers Could not Be?, 1965). Подробнее о структурализме см.: ссылка скрыта. Крупными представителями [умеренного] структурализма выступают С. Шапиро (S. Shapiro) и М. Резник (M. Resnik). Подробнее о разных версиях структурализма см., например: Shapiro S., Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology, 1997.
26 В концептуальном отношении это третья из возможных онтологических позиций: понимание математических абстрактов не как объектов и свойств, а как отношений.
27 См. например: Field H., Science without Numbers: a defense of nominalism, 1980; Hellman G., Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation, 1989/Hellman G., Structuralism without Structures, 1996); Burgess J.P. and Rosen G., A Subject with No Object, 1999.
28 Ср. с тезисом Э.Бета: «Философия математики… есть онтология математических объектов» [Beth E. Mathematical Thought. – Dordrecht, Reidel, 1965, p.176].
29 [прим. Канта] « Полнота означает ясность и достаточность признаков; границы означают точность в том смысле, что признаков дается не более чем нужно для полного понятия; первоначальное означает, что определение границ ниоткуда не выводится и, следовательно, не нуждается в доказательстве…» [там же, 430].
30 Кант называет такое применение категорий, выходящее за пределы опыта, трансцендентальным, хотя такое применение точнее надо бы назвать трансцендентным.
31 Ср. с уже приводившимся выше замечанием Канта о «действиях чистого мышления» [1, 73].
32 Посредством скобок (α)/(β) в формуле обозначается квантор всеобщности. Подробнее о принципе абстракции см. например: ссылка скрыта.
33 Ср. с различением «поверхностная vs. глубинная информация» у Я. Хинтикки [***].
34 Неслучайно, что Платон рассматривает идею «равенства» как одну из ключевых идей человеческого сознания. Можно сказать, что эта идея, в своей процедурной развертке как «способность сравнивать» выступает как сущность человеческого познания, особенно математического.
35 Безличность (недоопределенность) математических объектов в современной литературе получила название проблемы Юлия Цезаря. Оно восходит к Г. Фреге, который в § 56 своих «Основоположений арифметики» писал, что, если мы используем абстрактное определение числа, то никогда не сможем однозначно решить соответствует ли этому понятию такой объект как Юлий Цезарь или же нет.
37 Указание на неполноту математических абстракций представляет интерес с точки зрения решения проблемы универсалий, точнее отличения универсалий от абстракций. Абстрактные объекты являются, скорее, не общими (= универсальные), а неопределенными а–объектами (здесь а — неопределенный артикль английского языка) и моделируется в математике посредством переменных (которая, в конечном итоге, должна быть заменена индивидом, т.е. полноценным определенным the–объектом).
38 Ср. с кантовским определением выше математической дефиниция [1, 430].
39 Здесь и далее мы будем ориентироваться на англоязычную философию математики (набор тем, проблем, концепций), которая несколько отличается от ее российского аналога. См. по этому поводу, например, статью из ссылка скрыта: ссылка скрыта.
40 См., например: Field H., Realism, Mathematics & Modality, 1989.
41 Представителями современного неологицизма/неофрегианства выступают, наряду с Э. Залта (Zalta) и Б. Линским (Linsky), также К. Райт (Wright), Р. Хэйл (Hale), Дж. Булос (Boolos) и др. Например, Залта основал в Стэнфордском университете Лабораторию Метафизических исследований (Metaphysics Research Lab: ссылка скрыта), задача которой — исследование мета-физических (математических и логических) сущностей. Это показывает, что современный платонизм развивается в концептуальном диапазоне понимания абстракций от объектов до свойств.
42 Идеологом данного подхода в 70-е годы ХХ в. выступил П. Бенацерраф, автор известной статьи «Чем числа не могут быть?» (Benacrrraf P., What Numbers Could not Be?, 1965). Подробнее о структурализме см.: ссылка скрыта. Крупными представителями [умеренного] структурализма выступают С. Шапиро (S. Shapiro) и М. Резник (M. Resnik). Подробнее о разных версиях структурализма см., например: Shapiro S., Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology, 1997.
43 В концептуальном отношении это третья из возможных онтологических позиций: понимание математических абстрактов не как объектов и свойств, а как отношений.
44 См. например: Field H., Science without Numbers: a defense of nominalism, 1980; Hellman G., Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation, 1989/Hellman G., Structuralism without Structures, 1996); Burgess J.P. and Rosen G., A Subject with No Object, 1999.
45 Ср. с тезисом Э.Бета: «Философия математики… есть онтология математических объектов» [Beth E. Mathematical Thought. – Dordrecht, Reidel, 1965, p.176].
46 Редактор же перевода, С.А. Яновская пишет в сноске, что «суть дела [математики] все же не в самом числовом знаке (цифре)…, а в «инвариантном факторе», который скрывается за правилами оперирования с цифрами и позволяет отражать с помощью цифр различные (прежде всего, количественные) соотношения вещей» [там же, 23].
47 Ее также используют структуралисты, подчеркивая относительность математических объектов, их зависимость от структуры, т.е. той фоновой среды, в которой формальные объекты существуют.
48 Каковы и шахматы, посредством которых интеллектуально моделируются военные действия людей.
49 Выше мы уже проводили сопоставление математических аксиом с законами науки, а математических действий с физическими экспериментами.
50 «Незаконность» этого, как его назвал П. Дюгем, «гибридного рассуждения» в том, что оно является не чистым мышлением, а представляет собой «помесь» мышления и ощущения (мнения). Прокл же называет этот «гибрид» наших познавательных способностей фантазией, или воображением. Соответственно, пространство выступает как фантазийная среда существования мат.объектов.
51 Несмотря на преемственность Прокла Платону, обратим внимание на существенную концептуальную разницу между платоновским пространством и прокловской геометрической материей. В первом случае можно сказать, что математические объекты находятся в… , во втором — состоят из… Нам ближе первая (платоновская) позиция, которая является более слабой в онтологическом отношении.
52 Как это предлагается в программе эрлагенского конструктивизма.
53 Цитируется по книге П.П. Гайденко [13] (которая, сама цитирует книгу A Szabo).
54 Введенные выше концепты среды и/или материи математических объектов накладывает ряд дополнительных ограничений на приемлемость придуманных математических действий с математическим объектами. Например, приемлема ли процедура выбора объектов из множеств, постулируемая аксиомой выбора? Выше мы подчеркивали, что математические действия (как наши ментальные конструкции) надо отличать от физических. Однако это отличие следует понимать обоюдно, поскольку не любое физическое действие (например, «движение тел») приемлемо для математического универсума. В этом смысле нужно внимательнее отнестись к используемым в математике физическим понятиям, поскольку они зачастую используются как метафоры. Более того, в силу неоднородности математического универсума [рассуждений] не любое математическое действие из одной области математики можно автоматически (без особой проверки) использовать в других областях.
55 В структурном плане любое действие может быть представлено как пара представлений «начальное состояние — конечное состояние (результат действия)». В этом смысле любое действие является синтетичным (= соединяет два представления).
56 См. кантовское описание этого и других примеров [1, 39 – 40].
57 В данном случае, при геометрическом доказательстве происходит «синтез» исходного понятия треугольника и вспомогательного (но необходимого для построения) понятия прямой, которое и позволяет получить новое знание о сумме углов треугольника, отсутствующее в исходном понятии (треугольника). Точнее, абстрактное понятие треугольника при конструировании рассматривается как «синтез» более простых абстракций: прямых и углов (треугольник «состоит» из отрезков прямых и углов), следовательно оно может быть «расщеплено» и далее соотнесено с дополнительными прямыми и дополнительными углами (углы треугольника раны этим углам), что и дает искомое доказательство теоремы. Однако в этом случае это является примером, скорее, не геометрического построения, а математического доказательства в своем геометрическом модусе.
Ср. с описанием этого док-ва в статье В. Шульпекова « Инструментальная структура математических построений»: Рассмотрим доказательство геометрической теоремы: сумма углов любого прямолинейного треугольника ABC на евклидовой плоскости составляет 180 градусов. Для доказательства выбирается какая-либо сторона треугольника, например AB, и через противолежащую ей вершину C проводится параллельная выбранной стороне прямая, далее, каждая сторона треугольника трактуется как прямая, что позволяет перейти к рассуждениям только о соотношениях прямых и углов с ними связанных. А именно, имеются две параллельные прямые, которые секутся двумя прямыми, являющимися продолжениями сторон треугольника, прилегающих к выбранной. Затем происходит обращение к свойствам накрест лежащих внутренних углов, из чего истинность теоремы усматривается непосредственно после возврата к исходному треугольнику. В указанном построении применяется инструмент в форме транзакции, который можно условно назвать «прямые». От треугольника и его свойств рассуждение переходит исключительно к свойствам и взаимоотношениям прямых. То есть происходит интерпретация первоначальных объектов – треугольника, его сторон и углов в терминах прямых и углов между ними. Восходящая интерпретация возвращает рассуждения к свойствам углов треугольника. Инструмент «прямые» не выходит за рамки самой геометрической теории, но его свойства совершенно независимы от свойств треугольников, т.е. составляют подтеорию. Теория эвклидовой плоскости неоднородна, в ней реализованы независимые инструменты, и именно эта неоднородность является предпосылкой построения достаточно богатой теории» (есть пересечение с поим подходов, но есть и новые моменты!).
58 Доказательство было приведено аспирантом мехмата С. Шашковым (2008) в его докладе по статье Л.Э.Я. Брауэра «Сознание, философия и математика» [см. ссылка скрыта].
59 Ср. с приведенными ранее словами Канта о трансцендентальном как «…действиях чистого рассудка».