Назаров а. А. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

Вид материала

Документы

Содержание О невозможности разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем

Подобный материал:

• Ferma-pifagor- 2m © Н. М. Козий, 2007 Украина, А. С. №22108, №27312, №28607 доказательство, 61.13kb.
• «Загадка песчаных гор», 62.53kb.
• А. Н. Рудаков 1-2 курс Кватернионы, октавы и теорема Гурвица Литература, 8.27kb.
• Ема урока. Свойство медианы равнобедренного треугольника, 39.45kb.
• Доклад По философии на тему: Биография Пифагора Самосского, 106.58kb.
• Программа междисциплинарного государственного экзамена по специальности 090102 Компьютерная, 116.53kb.
• Карен Бликсен. Прощай, Африка!, 4654.85kb.
• Содержание: Введение, 134.15kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру математического факультета, 107.92kb.
• Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пи­фагора, 42.5kb.

где каждая строка прямоугольника Паскаля задает коэффициенты разложения 6–й степени некоторого числа, отстоящего от числа x = 5 на целое число единиц, в биноминальном базисе числа 5⁶ = 15625.


4. Комбинаторное представление преобразований


Теперь перенесемся мысленно в средние века. Например, в 1637 год, когда Пьер Ферма записал на полях сочинения Диофанта «Арифметика» сакраментальную фразу:

«… невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень, большую чем два, на степени с таким же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого, но поля книги слишком узки, чтобы вместить его».

Многие задачи с целыми числами в те времена решались опытным путем. Можно сказать – комбинаторными методами. Числа представлялись предметами, например, камешками или шарами, которые группировались в интересующем порядке, в зависимости от цели решаемой задачи. Затем по ходу поиска решения предметы перегруппировывались столько раз, сколько требовалось, и таким образом, который давал искомое решение.

Поступим аналогичным образом, небезосновательно полагая, что П. Ферма знал свойства арифметического треугольника (прямоугольника) и владел его преобразованиями.

Для определенности дальнейшего комбинаторного анализа примем n = 6, и рассмотрим прямоугольник Паскаля в конкретном «средневековом» представлении.

a0	a1	a2	a3	a4	a5	a6
							~	x6
1	2	3	4	5	6	7	~	(x + 1)6
1	3	6	10	15	21	28	~	(x + 2)6
1	4	10	20	35	56	84	~	(x + 3)6
1	5	15	35	70	126	210	~	(x + 4)6
…	…	…	…	…	…	…		…

По ячейкам второй строки (или по ящичкам второго уровня) разложено по одному шару разных цветов, а в первой строке указаны названия цветов соответствующих шаров.

Действует такое правило: в ячейках каждого столбца могут находиться только и только шары соответствующего цвета.

Для упрощения, чтобы не загромождать картинку обилием шаров, в третьей строке и так далее по ячейкам проставлены числа, указывающие на количество шаров в ячейках.

Совокупность шаров второй строки соответствует числу x⁶. Примем x > 0.

Совокупность шаров третьей строки соответствует числу (x + 1)⁶.

И так далее.

Зная принцип построения прямоугольника (повернутого треугольника) Паскаля и зная, что ячейки первой строки и первого столбца содержат ровно по одному шару, всегда можно установить совокупность шаров, соответствующую любому (x + r)⁶, где r – целое. При этом шары одного цвета оказываются строго в одной ячейке и не могут перекатываться из ячейки в ячейку вдоль строки.

То есть, зная базисную совокупность шаров для любого xⁿ, мы всегда можем разложить шары по ячейкам для любого (x + r)ⁿ = ΣC_r+iⁱa_i.

Назовем такой переход от xⁿ = ΣC_iⁱa_i = Σa_i к (x + r)ⁿ = ΣC_r+iⁱa_i сдвигом по основанию, или, строже, преобразованием сдвига по основанию.

Для преобразования сдвига xⁿ в (x + r)ⁿ по основанию достаточно добавить в каждую i–ю ячейку первой строки ровно по C_r+iⁱ – 1 шаров соответствующего a_i–го цвета.

Следующее преобразование – это сдвиг по степени, или, строже, преобразование сдвига по показателю степени.

a0	a1	a2	a3	a4	a5
							~	x5
1	2	3	4	5	6		~	(x + 1)5
1	3	6	10	15	21		~	(x + 2)5
1	4	10	20	35	56		~	(x + 3)5
1	5	15	35	70	126		~	(x + 4)5
…	…	…	…	…	…			…

Так, в нашем примере сдвиг по степени от 6 к 5 означает удаление 6–го столбца.

Опираясь на знание устройства прямоугольника Паскаля, мы утверждаем, что количество и распределение по ячейкам шаров цветов с a₀ по a₅ для x⁵ вписано однозначно и позиционно (по ячейкам) в количество и распределение шаров цветов с a₀ по a₆ для x⁶.

Это означает, что удалив или исключив из рассмотрения одновременно все полосатые (цвета a₆) шары, мы перешли к рассмотрению соотношений 5–х степеней в биноминальном базисе того же самого x.

Ясно, что базис x⁵ = Σa_i может отличаться от базиса x⁶ = Σa_i не только по числу, но и по величине элементов. Можно было, например, к элементам базиса x⁵ = Σa_i добавить индексы, которые бы отличали их от одноименных индексов базиса x⁶ = Σa_i. Однако мы решаем комбинаторную задачу. И здесь важно, что мы имеем основания утверждать, что шары 7–ми различных цветов, размещенные по 7 ячейкам одной строки с помощью прямоугольника Паскаля, однозначно соответствует степени 6 некоторого числа вида (x + r). А эти же шары, но 6–ти различных цветов без удаленных шаров цвета a₆, оставшиеся на своих же местах в своих же 6–ти ячейках, однозначно соответствуют степени 5 того же самого числа вида (x + r).

Или то же самое, но короче.

Распределение шаров в ячейках прямоугольника Паскаля для (x + r)ⁿ в биноминальном базисе числа xⁿ однозначно определяет распределение шаров для (x + r)^n-1 в базисе x^n-1.

Собственно всё.

Теперь мы готовы рассмотреть «поистине удивительное доказательство» Пьера Ферма.

2. О невозможности разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем
   

Прежде всего, необходимо сказать несколько слов об авторе «поистине удивительного доказательства». Хотя о Великом математике известно многое, нам хотелось бы подчеркнуть именно те бесспорные обстоятельства и факты творчества Ферма, которые снимут сомнения в справедливости нашей реконструкции основной идеи доказательства, послужившей поводом к восклицанию: удивительное доказательство!

Ферма Пьер (1601 – 1665) – французский математик.

Известен своими трудами, послужившими, совместно с трудами Паскаля, основаниями появления комбинаторного анализа, как самостоятельного раздела математики.

Это первое обстоятельство.

Пьер Ферма прекрасно владел приемами исследования числовых последовательностей. Их описание в приращениях составило основу разработки метода исчисления бесконечно малых и правил дифференцирования степенных функций.

Это второе обстоятельство.

Поэтому нет сомнений, что изложенные в предыдущем разделе положения в той или иной мере являлись предметом творческой деятельности Ферма, были ему хорошо известны и послужили достаточным основанием для открытия того, что он назвал «удивительным доказательством».

А «удивительность», не известная ранее особенность математических решений задач, состояла в том, что Ферма, пожалуй, одним из первых увидел, что можно работать не с отдельными числами или классами чисел, но можно оперировать с системами, полями и пространствами в целом, независимо от математического содержания элементов, их составляющих. Внутренние свойства элементов проявлялись в общих свойствах системы, единичное – через всеобщее.

Ферма приоткрыл завесу будущего и увидел, как работают группы, как преобразуются пространства, как трансформируются математические тела и т.п. Было чему удивиться.

Теперь продолжим обсуждение задачи.

Вернемся к примеру предыдущего параграфа.

Допустим, что для некоторого x справедливо

a0	a1	a2	a3	a4	a5	a6
							~	x6
1	2	3	4	5	6	7	~	(x + 1)6
1	3	6	10	15	21	28	~	(x + 2)6
1	4	10	20	35	56	84	~	(x + 3)6
1	5	15	35	70	126	210	~	(x + 4)6 = y6
1	6	21	56	126	252	462	~	(x + 5)6 = z6