Geum.ru

Мельников Олег Владимирович пояснительная записка Специальный курс «Теория полей» это изложение

Вид материалаИзложение

Содержание


Пояснительная записка
“теория полей”
Тематический план курса “Теория полей”
Содержание курса
Подобный материал:
+


Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет

Механико-математический факультет

Кафедра высшей алгебры


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

________________________

Рег.№ __________________

«____» ______________ 2007 г.


Базовая учебная программа дисциплины


«ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ»

для студентов специальности 1-31 03 01-01 «математика (научно-производственная деятельность)»


Минск

2007


Автор:


Мельников О.В. — доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей алгебры ММФ, БГУ


Рецензент:


Тавгень О.И. — доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей алгебры ММФ, БГУ


Одобрена на заседании кафедры

___________________________

протокол № 12 от 19 июня 2007 г.


Одобрена на заседании Ученого совета механико-математического факультета протокол № 7 от 20 июня 2007 г.


Ответственный за редакцию: Мельников Олег Владимирович


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Специальный курс «Теория полей» — это изложение ряда общих понятий и фактов, касающихся строения произвольных расширений полей. Сама теория полей является (наряду с теорией групп) примером алгебраической теории, в которой исследования, начатые еще в XIX в., активно продолжаются по настоящее время. В этой теории накоплен практически необозримый объем результатов. В курсе предполагается изложение только базисных понятий теории полей, причем таким образом, чтобы появление каждого нового понятия было логически обосновано предыдущим материалом и поддержано несколькими фундаментальными результатами, использующими это понятие. Основной принцип отбора при построении курса заключается в том, чтобы после его прослушивания у студентов была возможность более или менее легко освоиться с исследованием в большей части разделов современной теории полей.


“ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ”


Цель курса “Теория полей ” :

Основной принцип отбора при построении курса заключается в том, чтобы после его прослушивания у студентов была возможность более или менее легко освоиться с исследованием в большей части разделов современной теории полей.


Тематический план курса “Теория полей”



№ темы
Количество часов

Содержание курса
Лекции
Семинарские и практические

Тема 1. Характеризация полей в классе коммутативных колец с единицей.



1. Характеризация полей в классе коммутативных колец с единицей.
2
2

Тема 2. Простое подполе и характеристика поля.



1. Простое подполе и характеристика поля.
2
2

Тема 3. Степень расширения.



1. Степень расширения, ее свойства.
2
2

Тема 4. Простое алгебраическое расширение.



1. Строение простого алгебраического расширения.
2
2

Тема 5. Теорема о продолжении гомоморфизма.



1. Теорема о продолжении гомоморфизма.
2
2

Тема 6. Конечные поля.



1. Алгебраическое замыкание.
2
2

Тема 7. Сепарабельные расширения.



1. Сепарабельные расширения.
2
2

Тема 8. Совершенные поля.



1. Теорема о примитивном элементе.
2
2

Тема 9. Сопряженные элементы и подполе.



1. Сопряженные элементы и подполе.
2
2

Тема 10. Автоморфизмы.



1. Автоморфизмы алгебраического замыкания поля.
2
2

Тема 11. Расширения Галуа.



1. Рсширения Галуа и группы Галуа.

2
2

Тема 12. Группы Галуа.



1. Группы Галуа простейших расширений.
2
2

Тема 13. Основная теорема теории Галуа.



1. Основная теорема теории Галуа.
2
2

Тема 14. Свойства соответствия Галуа.



1. Дополнительные свойства соответствия Галуа.
2
2

Тема 15. Разрешимость уравнения в радикалах.



1. Разрешимость уравнения в радикалах и группы Галуа.
2
2

Тема 16. Теорема Гаусса об n-угольнике.



1. Построения циркулем и линейкой. Теорема Гаусса об n-угольнике.
2
2

Тема 17. Теорема о нормальном базисе.



1. Теорема о нормальном базисе и ее связь с основной теоремой.
2
2

Итого:
34
34



Тема 1. Характеризация полей в классе коммутативных колец с единицей.


1. Характеризация полей в классе коммутативных колец с единицей.


Тема 2. Простое подполе и характеристика поля.

  1. Простое подполе и характеристика поля. Поле частных области целостности.


Тема 3. Степень расширения.

  1. Степень расширения, ее свойства. Простое трансцендентное расширение.


Тема 4. Простое алгебраическое расширение.

  1. Строение простого алгебраического расширения. Свойства минимального многочлена.


Тема 5. Теорема о продолжении гомоморфизма.

  1. Критерий алгебраичности элемента. Теорема о продолжении гомоморфизма.


Тема 6. Конечные поля.

  1. Алгебраическое замыкание: его существование и единственность. Конечные поля.


Тема 7. Сепарабельные расширения.

  1. Сепарабельные расширения, приведенная степень расширения.


Тема 8. Совершенные поля.

  1. Совершенные поля. Теорема о примитивном элементе.


Тема 9. Сопряженные элементы и подполе.

  1. Сопряженные элементы и подполе. Нормальные расширения.


Тема 10. Автоморфизмы.


1. Автоморфизмы алгебраического замыкания поля.


Тема 11. Расширения Галуа.


1. Расширения Галуа и группы Галуа.


Тема 12. Группы Галуа.

  1. Группы Галуа простейших расширений (циклотомического и циклического).


Тема 13. Основная теорема теории Галуа.


  1. Основная теорема теории Галуа. Понятие о топологии Крулля.


Тема 14. Свойства соответствия Галуа.

  1. Дополнительные свойства соответствия Галуа, ее подгруппы и факторгруппы.


Тема 15. Разрешимость уравнения в радикалах.


1. Разрешимость уравнения в радикалах и группы Галуа.


Тема 16. Теорема Гаусса об n-угольнике.


1. Построения циркулем и линейкой. Теорема Гаусса об n-угольнике.


Тема 17. Теорема о нормальном базисе.


1. Теорема о нормальном базисе и ее связь с основной теоремой.


ЛИТЕРАТУРА


ОСНОВНАЯ:
  1. Ленг С. Алгебра.
  2. Ван-дер-Вандер Б.Л. Алгебра.



ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:


1. Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы.