Geum.ru

Функциональный анализ. Лекции читает Шаповаленко Василий Всеволодович

Вид материалаЛекции

Содержание


Топологическое пространство («топос» местность).
Подобный материал:
Функциональный анализ. Лекции читает Шаповаленко Василий Всеволодович.


Пространство



Метрическое пространство.

Пусть есть некое множество элементов Ω. К каждой паре (x,y) подставим  и назовем расстояние между x и y.
  1.  и , если x=y
  2.  = 
  3. ≤ + 


x,y  =│x-y│

x,y  x=(,,,…,) y=(,,…)





- Евклидова метрика



При k = |=


Любое метрическое пространство можем обозначить (Ω,).


Открытым шаром с центром в точке a радиуса r: 
 ≤r – закрытый шар.


 – сфера радиуса с окрестностью в точке а.

Окрестностью точки, а называется множество, в котором можно поместить шар. Содержится подмножество: 
с

Можно ввести понятие предела . Пусть задана последовательность  и будем говорить, что =a  при k

  




Топологическое пространство («топос» местность).


Пусть Ω - множество элементов, а топологией назовем систему подмножеств(∑), которая удовлетворяет следующим условиям:
  1.  
  2. ,
  3. ,



Если  - подмножество, то  называется более тонкой топологией, а  более грубой. Множества принадлежащие  называются открытыми.

Окрестностью точки x будет любое множество, что  и x.

x

U(x) любое  и x


Пример1: Пусть задано множество Ω. Рассмотрим топологию ∑={Ω,}.


Окрестностью является все множество Ω. Пример 1 – самая грубая топология.


Самая тонкая топология – это пространство дискретных точек.∑ - множество всех подмножеств Ω.


Пример 2: Ω={a,b}

∑= {, {a, b}, {b}-открытое множество}

{a} – замкнутое множество

Если задано метрическое пространство, то из него можно построить топологию.

∑={0,Ω,


Линейное пространство.


Пусть некое множество E называется линейным (или векторным) пространством, если оно удовлетворяет следующим аксиомам:
  1.  z=x+y
  1. Коммутативность: x+y=y+x
  2. Ассоциативность: (x+y)+z=x+(y+z)
  3. : x+0=x
  4.  ”: x+(-x)=0
  1.  

 


Нормированные пространства.

Получается из линейного введением норм.

Пространство  называется нормированным пространством, если

 задана -норма , которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1)  и  (невырожденность)

2)  (однородность)

3) (Неравенство треугольника)


  



Норму можно трактовать как длину элемента.

Пример: Введем  



 


Пространство последовательности


: 



: 



: 

 – пространство непрерывных на  функций.