Программа первого модуля: Множества и отображения

Вид материала

Программа

Подобный материал:

• Программа курса "Основы дискретной математики", 14.41kb.
• Программа по математике для поступающих в рамэк, 92.57kb.
• Программа собеседования по направлению «Информатика и вычислительная техника», 330.78kb.
• Программа вступительного экзамена в аспирантуру цэми ран по специальности 08. 00., 84.35kb.
• Α Множество всех подмножеств данного множества называется булеаном данного множества., 83.26kb.
• Вопросы к экзамену «дискретная математика» (пм-91), 26.54kb.
• Программа по курсу: Основы выпуклого анализа и линейного программирования по направлению:, 31.8kb.
• Введение в математическую логику, 29.8kb.
• Для кафедр пм и к вопросы по курсу «Дискретная математика». 19. 05. 2010г, 52.29kb.
• Лекция Понятия множества и элементы множества. Способы задания множеств, 353.91kb.

Алгебра, 2008/2009 учебный год, первый курс.
Первый модуль (лекции и упражнения) и второй модуль (упражнения, лекции читает А.Н.Рудаков).

Более подробная информация имеется на специально посвящённой этому курсу странице, поддерживаемой лекторами. Помимо авторских записок лекций (ссылки на которые приводятся ниже, и которых достаточно для успешной сдачи этого курса), мы рекомендуем следующие учебники:

1. Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
2. И.Р. Шафаревич. Избранные главы алгебры (учебное пособие для школьников). Москва, «Математическое Образование», 2000 (или любое другое издание)
3. И.Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры. Ижевск, «К & C Dynamics», 1999 (или любое другое издание)

Программа первого модуля:

• Множества и отображения.
  
  • Подсчёт числа произвольных, биективных, инъективных, сюрьективных, возрастающих, неубывающих и т.п. отображений между (конечными упорядоченными) множествами.
    
  • Мультиномиальные коэффициенты. Разбиения и диаграммами Юнга.
    
  • Отображение X-->Y = разбиение X в дизъюнктное обединение подмножеств, занумерованных некоторыми точками y из Y = задание на X подходящего отношения эквивалентности
    
• Знакомство с группами
  
  • Группа перестановок: чётность, цикловой тип, транспозиции, отражения.
    
  • Группы многогранников, стандартные гомоморфизмы с группами перестановок.
    
  • Смежные классы, индекс подгруппы, длина орбиты.
    
  • Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Простота знакопеременных групп.
    
• Знакомство с коммутативными кольцами и полями.
  
  • Комплексные числа. Гауссовы целые числа.
    
  • Алгоритм Евклида для целых чисел и многочленов. Кольца и поля вычетов Z/(p) и алгебраических чисел Q[x]/(f). Китайская теорема об остатках. Примеры конечных полей.
    
  • Корни многочленов, отыскание кратных корней и общих корней нескольких многочленов.
    
  • Неприводимость и взаимная простота элементов коммутативного кольца, НОД и НОК. Факториальность кольца целых чисел и кольца многочленов. K евклидово ⇒ K кольцо главных идеалов ⇒ K факториально.
    
  • Гомоморфизмы, идеалы и факторизация. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю.
    

Записки моих лекций:

• Множества и отображения (PDF и/или PS.GZ).
  
• Группы преобразований (PDF и/или PS.GZ).
  
• Орбиты (PDF и/или PS.GZ).
  
• Абстрактные группы и гомоморфизмы (PDF и/или PS.GZ).
  
• Нормальные подгруппы и строение гомоморфизмов (PDF и/или PS.GZ).
  
• Коммутативные кольца и поля. Комплексные числа. (PDF и/или PS.GZ).
  
• Целые числа и вычеты. (PDF и/или PS.GZ).
  
• Многочлены и алгебраические числа. (PDF и/или PS.GZ).
  
• Гомоморфизмы, идеалы и факторизация. (PDF и/или PS.GZ).
  

Задачи семинаров:

• Листок 1. Элементы комбинаторики (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся с 1 сентября.
  
• Листок 2. Перестановки (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся с 8 сентября.
  
• Листок 3. Группы. (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся с 15 сентября
  
• Листок 3 1/2 (необязательный). Дополнительные задачи про группы. (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся с 15 сентября.
  
• Листок 4. Комплексные числа (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся с 25 сентября
  
• Листок 5. Кольца и поля вычетов. (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся со 2 октября
  
• Листок 5 1/2 (необязательный). Дополнительные задачи про вычеты (квадратичный закон взаимности и первообразные корни). (PDF и/или PS.GZ) Выдаётся с 6 октября
  
• Листок 6. Делимость, многочлены, алгебраические числа и гомоморфизмы. (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся с 28 октября
  
• Листок 6 1/2 (необязательный). Обращение Мёбиуса (арифметика, круговые многочлены, конечные поля, чумы). (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся с 6 октября.
  
• Листок 7. Векторные пространства (PDF и/или PS.GZ). Выдаётся с 11 ноября.
  

Индивидуальные письменные задания:

• Задание 1. Вычисления в группе перестановок (40 вариантов, формат PS.GZ). Выдавалось 22 сентября. Срок сдачи – 29 сентября.
  
• Задание 2. Коммутативные кольца и поля (40 вариантов, формат PS.GZ). Выдавалось 14 октября. Срок сдачи – 21 октября.
  
• Задание 3: линейные уравнения, матрицы и линейные операторы (40 вариантов, формат PS.GZ). Выдавалось с 12 декабря. Срок сдачи – 16 декабря.