Программа по математике для поступающих в рамэк

Вид материала

Программа

Содержание 2. Элементы теории конечномерных линейных пространств 3. Системы линейных уравнений 4. Матричная алгебра и системы линейных уравнений 5. Определители матриц и их применение. 6. Линейные операторы и их матрицы. 7. Типовые модели линейного программирования 8. Графическое исследование задачи линейного программирования 9. Основы симплекс- метода 10. Двойственность в линейном программировании 11. Условия оптимальности в линейном программировании 12. Транспортная задача Раздел 3. Элементы теории вероятностей и математической статистики Случайные величины. Выборочный метод. Элементы теории корреляции.

Подобный материал:

• Программа по Математике для поступающих в международную академию бизнеса и управления, 70.41kb.
• Программа вступительных испытаний по литературе для поступающих в ано впо «мги» в 2012, 63.79kb.
• Программа по русскому языку для поступающих, 513.97kb.
• Программа вступительных испытаний для лиц, поступающих на направление подготовки 050100., 78.45kb.
• Программа для поступающих в аспирантуру Уфа 2007, 359.86kb.
• Программа вступительных испытаний и правила их проведения в фгбоу впо «ргэу (ринх)», 416.67kb.
• Программа по математике, 361.56kb.
• Программа вступительного испытания по математике для поступающих в фгбоу впо «Саратовский, 73.33kb.
• Программа по дисциплине "Философия" для поступающих, 149.25kb.
• Рабочая программа по математике для 1-4 классов по программе «Начальная школа 21 века», 394.42kb.

ПРОГРАММА

ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В РАМЭК


В соответствии с учебным планом подготовки магистров поступающий в РАМЭК должен обладать прочными знаниями по основным положениям базовых математических дисциплин, составляющих методологическую основу исследования экономических процессов с применением математики: математическому анализу, линейной алгебре, теории вероятностей и статистике, математическому программированию. На экзамене по математике поступающий должен показать:

1. четкое знание и понимание определений, фактов и утверждений, предусмотренных настоящей программой;
   
2. умение точно выражать математические факты и свойства с помощью соответствующей символики в устной и письменной форме;
   
3. умение применять математические знания и навыки при решении задач.
   

Раздел 1. Элементы математического анализа.

1. Множества. Операции над множествами. Отображения и функции, способы их задания и основные характеристики.

Объединение, пересечение и разность множеств. Свойства операций над множествами. Декартово произведение множеств. Образ и прообраз отображения. Типы отображений. Функция. Основные свойства вещественных чисел. Лемма о системе вложенных отрезков. Элементарные функции и их графики. Понятия монотонной, выпуклой, обратной к данной функ­ции, сложной и неявной функции.

2. Предел числовой последовательности.

Числовые последовательности. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Число “e”. Существование частичного предела у ограниченной последовательности. Критерий Коши.

3. Предел функции.

Определения предела функции по Коши и по Гейне. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и отношения функций. Предел сложной функции. Порядок бесконечно малой функции. Нахождение асимптот к графику функции.

4. Непрерывность функции.

Свойства функций, непрерывных в точке. Замечательные пределы. Непрерывность функции на множестве. Классификация разрывов. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Понятие равномерной непрерывности. Понятия замкнутых и открытых множеств. Компакт. Свойства функций, непрерывных на компакте.

5. Дифференцирование функции одной переменной.
   

Понятие дифференцируемости функции, касательной к графику функции, дифференциала и производной. Таблица производных. Арифметические операции над производными. Дифференцирование сложных и обратных функций.

6. Анализ поведения функции с помощью первой производной.

Приближенные вычисления с помощью первого дифференциала. На­хождение промежутков монотонности функции. Теорема Лагранжа. Необходимое ус­ловие экстремума. Нахождение точек экстремума с помощью пер­вой производной. Выпуклость в терминах первой производной. При­ближенное нахождение корней функции и экстремумов итерацион­ными методами. Метод хорд и метод Ньютона.

6. Анализ поведения функции с помощью высших производных.

Понятие дважды дифференцируемой функции и второй производ­ной, геометрическая интерпретация. Понятие производных третьего и более порядков. Приближение функции с помощью фор­мулы Тейлора. Достаточные условия экстремума. Нахождение то­чек перегиба графика функции и промежутков выпуклости и вогну­тости.

7. Первообразная как действие, обратное к дифференцированию.

Понятие первообразной. Таблица первообразных. Простейшие дей­ствия над первообразными. Интегрирование по частям. Замена пе­ременной. Интегрирование рациональных функций.

8. Определенный интеграл и его приложения.

Понятие интеграла Римана. Связь с первообразными с по­мощью формулы Ньютона-Лейбница. Теоремы о среднем значении интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Геометрические и экономические приложения опреде­ленного интеграла. Приближенные методы интегрирования.

9. Основные характеристики функций нескольких переменных и геометрическая интерпретация их свойств.

Понятие графика функции многих переменных. Геометрия линий уровня. Непрерывность функции нескольких переменных. Выпук­лость и вогнутость. Свойства линий уровня непрерывных и выпук­лых (вогнутых) функций. Классификация точек локального макси­мума и локального минимума функции многих переменных. Понятие седловой точки.

10. Анализ поведения функции нескольких переменных с помощью производных первого порядка.

Понятие дифференцируемости функции многих переменных и гра­фическая интерпретация. Понятие и геометрическая интерпрета­ция частных производных и полного дифференциала. Градиент функции, его свойства и графическая интерпретация. Понятие производной по направлению, ее связь с градиентом функции. Поня­тие векторного поля. Производная сложной функции. Дифференци­рование функций, заданных неявно. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Необходимые условия экстре­мума.

11. Анализ поведения функции нескольких переменных с помощью производных второго порядка.

Понятие и геометрическая интерпретация свойств дважды диф­ференцируемой функции. Понятие гессиана и формулы Тейлора для функции нескольких переменных. Достаточные условия безуслов­ного экстремума функций нескольких переменных.

12. Нахождение условных экстремумов функций нескольких переменных.

Понятие функции Лагранжа. Необходимые условия существования экстремума функции нескольких переменных при наличии ограниче­ний в виде равенств. Достаточные условия экстремума при наличии ограничений в виде равенств. Понятие об итерационных методах нахождения условных экстремумов функций нескольких перемен­ных.

13. Числовые и функциональные ряды.

Определение сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости. Критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Понятия функционального и степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда.

14. Дифференциальные уравнения.

Основные понятия. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение с разделяющимися переменными. Однородное уравнение. Линейные дифференциальные уравнения.

Литература

1. Высшая математика для экономистов\ под ред. Н.Ш.Кремера.
   
2. Шипачев В.С. Курс высшей математики.
   

2. Шолохович Ф.А., Васин В.В. Основы высшей математики
   
3. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа.
   
4. Демидович Б.П., Кудрявцев Л.А. Краткий курс высшей матема­тики.
   
5. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.
   
6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
   

Раздел 2. Элементы линейной алгебры и математического программирования.

1. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.

Векторы и действия над ними. Коллинеарные и ортогональные векторы. Понятие аффинной системы координат на плоскости и в пространстве. Формулы деления отрезка в данном отношении и длины отрезка. Основные виды уравнений прямой в плоскости и в пространстве. Основные виды уравнения плоскости в аффинной системе координат. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

^ 2. Элементы теории конечномерных линейных пространств.

Понятие линейного пространства. Линейные комбинации элементов линейного пространства. Свойства линейных оболочек. Понятие базиса линейного пространства как минимальной по включению порождающей данное пространство системы элементов. Понятие линейной зависимости и линейной независимости систем элементов линейного пространства. Условия сохранения линейной независимости (линейной зависимости) при сокращении или расширении системы векторов. Базис как максимальная по включению линейно независимая система векторов. Размерность линейного пространства. Ранг системы элементов. Однозначность разложения по базису. Изоморфность линейных пространств.

^ 3. Системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Элементарные преобразования метода Гаусса. Общее решение системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретация общего решения. Соотношение между общим решением совместной системы линейных уравнений и общим решением соответствующей ей однородной системы. Фундаментальная система решений как базис пространства решений однородной системы уравнений. Условия существования решений и условия единственности решения при данных (или любых) правых частях в терминах ранга матрицы коэффициентов.

^ 4. Матричная алгебра и системы линейных уравнений.

Основные операции над матрицами и их свойства. Матрицы элементарных преобразований метода Гаусса и их свойства. Обратная матрица и ее единственность. Свойства обратных матриц. Матричное решение квадратной системы линейных уравнений.. Нахождение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса. Эквивалентность существования обратной матрицы и невырожденности квадратной матрицы.

^ 5. Определители матриц и их применение.

Определение детерминанта квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Определитель обратной матрицы. Определитель треугольной матрицы. Вычисление определителей методом Гаусса. Эквивалентность равенства нулю определителя и вырожденности квадратной матрицы. Вычисление обратной матрицы посредством определителей. Формула Крамера.

^ 6. Линейные операторы и их матрицы.

Понятие линейного оператора. Образ и ядро линейного оператора. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и его матрицы. Экономическая интерпретация задачи о собственных значениях.

^ 7. Типовые модели линейного программирования

Модель оптимального планирования производства. Модель составления рациона. Транспортная модель. Модель оптимального раскроя. Общая модель линейного программирования. Способы приведения задачи к стандартному виду. Общие геометрические свойства задач линейного программирования.

^ 8. Графическое исследование задачи линейного программирования

Графическое решение задачи линейного программирования. Исследование задачи линейного программирования по отношению к правым частям (ресурсам). Исследование задачи линейного программирования по отношению к коэффициентам целевой функции (ценам).

^ 9. Основы симплекс- метода

Особенности канонической формы задачи линейного программирования. Переход к соседней вершине с лучшим значением целевой функции. Табличная форма метода. Постоптимальный анализ задачи линейного программирования с помощью конечной симплекс-таблицы. Особые случаи применения симплекс-метода. Понятие о пакетах программ линейного программирования.

^ 10. Двойственность в линейном программировании

Способ построения двойственной задачи. Экономическая интерпретация двойственной задачи. Основные факты двойственности. Теорема двойственности. Двойственный симплекс-метод.

^ 11. Условия оптимальности в линейном программировании

Условия оптимальности. Геометрическая интерпретация условий. Экономическая интерпретация условий дополнительности. Использование условий оптимальности для проверки оптимальности точки.

^ 12. Транспортная задача

Разрешимость классической транспортной задачи. Методы нахождения начального базисного плана. Метод потенциалов.

14. Задачи выпуклого программирования

Особенности задач выпуклого программирования. Условия оптимальности Куна-Таккера в задачах выпуклого программирования.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1998.
   
2. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М., Мир, 1980.
   
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 1998.
   
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1998.
   
5. Таха Х. Введение в исследование операций. М., 2001.
   
6. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика (математическое программи­рование). Минск, 2001.
   
7. Исследование операций /под ред. Н.Ш. Кремера. М., 1998.
   
8. Высшая математика для экономистов \ под ред. Н.Ш.Кремера. М., 1999.
   
9. Ашманов С.А. Линейное программирование. М., 1981.
   
10. Беклемишев Д.В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. М.,Наука, 1999.
    
11. Фаддеев Д.К. Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М., 1999.
    

^

Раздел 3. Элементы теории вероятностей и математической статистики

1. Случайные события.
   

Определения вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

2. ^ Случайные величины.
   

Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей. Биномиальный закон и закон Пуассона.Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон больших чисел. Функция распределения и функция плотности распределения случайной величины. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Раномерное распределение. Нормальное распределение. Показательное распределение.

3. ^ Выборочный метод.
   

Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Распределение ² и распределение Стьюдента.

4. Статистические оценки параметров распределения.
   

Точечные оценки. Метод моментов. Метод наибольшего правдоподобия. Интервальные оценки.

5. Статистическая проверка гипотез.
   

Постановка задачи. Общая теория. Ошибка первого рода. Ошибка второго рода. t-критерий. F-критерий. ²-критерий.

6. ^ Элементы теории корреляции.
   

Оценка корреляционных и регрессионных характеристик по выборкам. Эмпирические коэффициенты корреляции и регрессии. Линейная корреляция. Криволинейная корреляция.


Литература

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика.
   
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
   
3. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.
   
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.