Программа учебной дисциплины «Уравнения математической физики»
| Вид материала | Программа |
- М. К. Аммосова рабочая программа дисциплины «Уравнения математической физики» (специальность, 50.63kb.
- Учебно-методический комплекс по дисциплине Линейные и нелинейные уравнения физики (Методы, 325.5kb.
- Программа курса «уравнения математической физики» для математического отделения, 34.71kb.
- Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500. 62 «Прикладная, 204.13kb.
- Содержание уравнения математической физики (нм-3) Уравнения математической физики (нп-3), 92.05kb.
- Рабочая учебная программа дисциплины Уравнения математической физики Направление подготовки, 224.86kb.
- Календарный план учебных занятий по обязательной дисциплине «Уравнения математической, 92.11kb.
- Программа учебной дисциплины методы математической физики специальность «050201 математика, 145.93kb.
- Учебно-методический комплекс по дисциплине опд. Ф. 02. Методы математической физики., 351.4kb.
- Правительство Российской Федерации Национальный исследовательский университет Высшая, 139.37kb.
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Уравнения математической физики»
Специальность-010900 «Астрономия»
ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения 2 семестра (5-6 семестры).
Общая трудоемкость 248 часов.
Всего аудиторных занятий 124 часа.
Из них: лекций 76 часов,
практических занятий 48 часов.
Самостоятельная работа студента 124 часа.
ИЗУЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ
5 семестр … лекции-34 ч., практические занятия-34ч.,
контрольная работа, зачет, коллоквиум.
6 семестр … лекции-42ч., практические занятия-14ч.,
контрольная работа, зачет, экзамен.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Раздел 1. Элементы функционального анализа.
Линейные пространства, линейные нормированные пространства, банаховы
пространства, принцип сжимающих отображений. Пространство линейных
ограниченных операторов. Гильбертовы пространства, ортонормированные
системы и ряды Фурье. Разложение гильбертова пространства в ортогональную
сумму подпространств, оператор ортогонального проектирования. Теорема Рисса
об общем виде функционала в гильбертовом пространстве. Построение
сопряженного оператора. Собственные числа и собственные векторы линейного
оператора. Предкомпактные множества, критерий предкомпактности Хаусдорфа,
предкомпактность в пространствах непрерывных и квадратично суммируемых
функций. Компактные операторы и теоремы Фредгольма. Теорема о существовании
собственного вектора и собственного числа у компактного самосопряженного
оператора, теорема Гильберта-Шмидта о разложении вектора по ортонормированной
системе собственных векторов. Интегральные операторы с непрерывным ядром,
ядром Гильберта-Шмидта, ядром со слабой особенностью, их компактность в
соответствующих функциональных пространствах. Гладкость решения уравнения
Фредгольма для интегрального оператора со слабой особенностью.
Раздел 2.Задачи вариационного исчисления.
Вариационные задачи для интегральных функционалов на отрезке: вариация функционала,
уравнение Эйлера, естественные граничные условия. Многомерная вариационная задача,
естественные граничные условия, принцип наименьшего действия. Изопериметрические
вариационные задачи. Классические задачи вариационного исчисления: задача о
брахистохроне, задача о цепной линии.
Раздел 3.Теория потенциала и гармонические функции.
Формула интегрирования по частям в многомерном случае, формула Грина.
Представление функции через потенциалы. Интеграл Гаусса, потенциал двойного слоя
и его свойства. Свойства потенциала простого слоя. Ньютонов потенциал. Гармонические
функции и их свойства. Предельные задачи для уравнения Лапласа. Исследование
интегральных уравнений теории потенциала для задач Дирихле и Неймана.
Раздел 4.Сферические функции.
Пространства однородных и однородных гармонических многочленов, сферические
функции. Оператор Бельтрами, его собственные числа и собственные функции. Полнота
ортонормированной системы сферических функций.
Раздел 5. Задача Штурма-Лиувилля.
Разрешимость задачи Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.
Полнота системы собственных функций. Разделение переменных для оператора Лапласа
в декартовых, полярных и сферических координатах.
Раздел 6 .Уравнение теплопроводности.
Начально-краевая задача, принцип максимума, теорема единственности, метод Фурье.
Задача Коши, принцип максимума, теорема единственности. Решение задачи Коши с
помощью преобразования Фурье. Бесконечная скорость теплопередачи.
Раздел 7. Волновое уравнение.
Начально-краевая задача, теорема единственности, решение методом Фурье. Задача
Коши для волнового уравнения, формула Даламбера для струны, решение трехмерной
задачи методом сферических средних, решение двумерной задачи методом спуска,
теорема единственности. Конечность скорости распространения сигнала.
Раздел 8. Обобщенные функции.
Пространства основных и обобщенных функций. Фундаментальное решение уравнения
Лапласа.
ЛИТЕРАТУРА
- Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М., Высшая школа, 1977.
- Смирнов В. И. Курс высшей математики, т.4,часть первая. М., Наука, 1974.
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., Наука, 1967.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального
анализа. М., Наука, 1972.
- Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики. М., МЦНМО, 2001.
- Пикулин И. П., Похожаев С. И. Практический курс по уравнениям математической
физики. М., Наука, 1995.
Составил программу Дергузов В. И.