Geum.ru

Базовая учебная программа дисциплины элементы вейвлет анализа для студентов специальностей «Математика»

Вид материалаПрограмма дисциплины

Содержание


Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины
Объём в часах
II часть. Теория помехоустойчивых кодов
Всего аудиторных часов
I часть. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа
Контрольные мероприятия
Основная литература
М.: мцнмо.
Дополнительная литература
Подобный материал:

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский Государственный Университет

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе


_________________________


РЕГ №___________________


От «___» ___________200__г.


Базовая учебная программа дисциплины


ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЙВЛЕТ - АНАЛИЗА


Для студентов специальностей «Математика»

(научно-производственная деятельность)


Минск, 200__


Автор: Рогозин С.В. – доцент кафедры теории функций БГУ


Рецензент:


ОДОБРЕНА на заседании кафедры теории функций БГУ протокол № 8 от 14 декабря 2007 г.


ОДОБРЕНА на заседании Ученого совета механико-математического факультета протокол № 4 от 18 декабря 2007 г.


Ответственный за редакцию:


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Современная цивилизация характеризуется переходом в информационную эпоху. Этот переход начался со второй половины 20-го века взрывным развитием теории и практики современных цифровых систем связи, развитием нанотехнологий и всеобщей компьютеризацией. Теоретические основы современных телекоммуникационных систем связи и компьютерных сетей вытекают из результатов современной алгебры и математической логики. Поэтому осмысление последних достижений в теории и практике современных цифровых систем связи, средствах и системах защиты информации возможно лишь на пути совместного изучения новейших результатов алгебры, теории чисел, математической логики и их прикладных аспектов.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ



Целью преподавания дисциплин цикла «современная прикладная алгебра» является знакомство с теоретико-числовыми и алгебраическими алгоритмами защиты информации от помех и несанкционированного доступа.

Преподавание дисциплины решает следующие задачи:
  1. Познакомить студентов с прикладными аспектами теории чисел, теории групп, теории конечных полей. Показать непосредственную взаимосвязь теоретических положений и результатов с современными алгоритмами в системах цифровой связи и защиты информации.
  2. Научить студентов современным алгоритмам исправления ошибок в телекоммуникационных системах, историческим и действующим алгоритмам защиты информации.
  3. Сформировать базовые навыки для теоретической и практической работы при эксплуатации и разработке современных систем телекоммуникаций и информационной безопасности.



В результате изучения дисциплины студенты должны:

1. Знать
  • методы работы с большими числами, методы формирования больших простых чисел, алгоритмы защиты информации;
  • методы формирования конечных полей и вычислений в них;
  • методы коррекции ошибок в линейных кодах;

2. Уметь
  • формировать системы защиты информации;
  • применять синдромные и норменные алгоритмы;

3. Иметь представление
  • о наиболее современных тенденциях развития теории и практики помехоустойчивого кодирования, криптологии и криптографии;
  • о технических и программных средствах.

Тематический план курса дисциплины специализации

"Элементы вейвлет - анализа"



№

раздела
№

темы
Наименование раздела, темы
Объём в часах

ЛК
ЛБ







I часть. Введение в вейвлеты.






1
1
Базовые идеи приводящие к вейвлет - конструкциям
2
2

1
2
Кольцо классов вычетов.
2
2

1
3
Элементы теории групп
2
2

1
4
Введение в криптографию
2
2

1
5
Криптографические системы
2
2

1
6
Проблема определения простоты числа
2
2

1
7
Китайская теорема об остатках.
2
2

1
8
Алгоритм Диемитко.
2
2

1
9
Перспективы развития современной криптографии.
1
1







Всего

17
17







II часть. Теория помехоустойчивых кодов






2
1
Теория конечных полей.
6
6

2
2
Помехоустойчивые коды.
4
4

2
3
Коррекция ошибок в помехоустойчивых кодах.
4
4

2
4
Циклические коды и коды БЧХ.
6
6

2
5
Теория норм синдромов.
4
4

2
6
Применения теории норм синдромов.
4
4







Всего

28
28




































Всего аудиторных часов
45
45






ИТОГО
90



Тематическое содержание курса " Современная прикладная алгебра "

I часть. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа


  1. Делимость целых чисел. НОД. Алгоритм Евклида. Соотношение Безу. Простые числа и их свойства:бесконечность количества, распределение по ряду натуральных чисел и по арифметическим прогрессиям, проблема близнецов, числа Мерсена и Ферма. Основная теорема арифметики. .
  2. Сравнения. Классы вычетов и их свойства. Обратимые элементы в кольце классов вычетов по натуральному модулю. Малая теорема Ферма. Функция Эйлера и ее свойства. Теорема Эйлера. Обращение теоремы Эйлера и числа Кармайкла. Сложность проверки на простоту и разложения на простые множители.
  3. Алгебраические системы. Группы: определение, примеры, основные классы групп. Подгруппы: центральные, циклические, нормальные. Смежные классы по подгруппе и их свойства. Теорема Лагранжа о подгруппах конечных групп. Простые группы. Симметрическая и знакопеременная группы, их свойства. Действие группы на множестве. Циклическая классификация двоичных векторов.
  4. Краткая история криптографии. Шифры Цезаря и Вижинера. Криптосистема RSA.
  5. Криптосистемы Рабина, Эль Гамаля, DES. Современный международный криптографический стандарт шифрования AES.
  6. Вероятностные и детерминированные алгоритмы проверки числа на простоту. Числа Ферма и Мерсена.
  7. Китайская теорема об остатках. Формула Гарнера. Работа с большими числами.
  8. Алгоритм Диемитко и его применение в белорусских и российских стандартах шифрования.
  9. Перспективы развития современной криптологии и криптографии. Квантовая криптография.


II часть. Теория помехоустойчивых кодов


  1. Характеристика поля. Минимальное поле. Алгебраические расширения полей. Характерные свойства конечных полей. Норма и лед. Проблема решения алгебраических уравнений над конечными полями. Метод Ченя.
  2. Модель числовой системы связи.
  3. Теорема Шеннона. Линейные коды. Порождающая и проверочная матрицы кода. Эквивалентные и систематические коды. Метрика Хемминга.
  4. Минимальное расстояние кодов и методы его определения. Исправление ошибок по таблицам смежных классов или с помощью синдромов. Декодирующие возможности кодов Хемминга.
  5. Определение и полиномиальное задание циклических кодов. Различные варианты оределения класса кодов БЧХ. Полиномиальное и матричное задание кодов БЧХ и их основные свойства. Синдромное декодирование кодов БЧХ и алгебраические уравнения.
  6. Гамма-орбиты ошибок линейных кодов, их свойства и количество. Синдромные спектры гамма-орбит и их свойства. Нормы синдромов, их осноные свойства и специфика для различных классов линейных кодов.
  7. Норменное декодирование линейных кодов. Применение норм синдромов к решению алгебраических уравнений над полями Галуа.



КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ

Рекомендуется проведение не менее двух контрольных работ либо коллоквиума в течение каждого семестра.

ЛИТЕРАТУРА


№

Автор

Название
Издательство
Год

Основная литература

1.
Липницкий В.А.
Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа
Минск, БГУИР
2005, 2006

2.
Ноден П., Китте К.
Алгебраическая алгоритмика
Москва, Мир.
1999

3.
Черемушкин А.В.
Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии.
М.: МЦНМО.
2002

4.
Липницкий В.А., Конопелько В.К.
Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраических уравнений.
Минск, Издательский центр БГУ
2007

5.
Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.ДЖ.А.
Теория кодов, исправляющих ошибки.
М.: Связь.
1979

6.











Дополнительная литература

1.
Виноградов И.М.
Основы теории чисел.
М.: Наука.
2006

2.
Конопелько В.К., Липницкий В.А.
Прикладная теория кодирования. Том 1,2.
Минск, БГУИР
2004

3.













Методическая литература для проведения лабораторных работ может быть представлена в электронном виде.