Программа элективного курса по математике «Линейные и квадратные уравнения, системы уравнений с параметрами»

Вид материала

Программа

Содержание Требования к знаниям и умениям Учебно-тематический план. Содержание работы

Подобный материал:

• Задачи данного элективного курса заключаются в следующем: предоставить возможность, 63.74kb.
• Программа элективного курса по теме: «Уравнения и неравенства с параметрами», 149.59kb.
• А Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне, 58.12kb.
• Методика изучения уравнений в курсе алгебры 7-9 классов Примерное содержание, 12.53kb.
• Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с модулями и параметрами», 98.16kb.
• Программа элективного курса Показательные, логарифмические, иррациональные уравнения, 113.96kb.
• Программа элективного курса для учащихся 11 классов «Решение задач с параметрами», 107.67kb.
• Методические разработки по теме, модулю, разделу преподаваемого предмета». Тема: «Квадратные, 420.13kb.
• Медведева Нина Петровна 2011-12 учебный год программа, 88.26kb.
• Элективный курс по математике для учащихся 9 класса тема: «уравнения и неравенства,, 248.15kb.

Муниципальное образовательное учреждение « Покровская средняя общеобразовательная школа №2


Программа элективного курса по математике

« Линейные и квадратные уравнения, системы

уравнений с параметрами» 9класс


Составитель:

Забнева Н.В.- учитель математики

МОУ Покровской СОШ №2

Петушинского района


2009 г.


Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс «Решение уравнений с параметрами»(17 часа) является предметно-ориентированным и предназначен для реализации в 9-11 классах для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Решение уравнений, содержащих параметры,- один из труднейших разделов школьного курса.

Цель курса:

-расширение и углубление курса математики по теме «Решение уравнений с параметрами

На занятиях элективного курса учащимся предоставляется возможность:

- освоить приёмы решения уравнений с параметром;

- формировать умение решать и исследовать уравнения, системы уравнений;

- применять рациональные приемы тождественных преобразований;

- развивать умение правильного и четкого использования математического языка терминологии.


Требования к знаниям и умениям

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

- значение математической науки для решения уравнений, возникающих в теории и практике;

- значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки; историю развития понятий числа;

- универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Уметь:

- решать линейные уравнения, квадратные уравнения, системы уравнений с параметрами;

- использовать для решения уравнений графический метод;

- применять теоретические знания при решении уравнений с параметрами.

Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- построения и исследования простейших математических моделей.


Учебно-тематический план.

№	Тема	Кол-во часов	Лекции	Практика	Форма контроля
1.	Линейные уравнения. Уравнения, приводимые к линейным.	2 ч.	1	1
2.	Системы уравнений.	3 ч.	1	1	Контр. Раб. 1 ч.
3.	Квадратные уравнения.	4 ч.	1	1	Сам. Раб. 2 ч.
4.	Соотношения между корнями квадратных уравнений (теорема Виета).	2 ч.	1	1
5.	Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений.	3 ч.	1	1	Сам. Раб. 1 ч.
6. 7.	Уравнения, приводимые к квадратным. Итоговая контрольная работа.	2 ч. 1 ч.	1	1

Всего: 17 часов.


Содержание работы

Тема 1. Линейные уравнения.

Уравнения вида ax = b, где a,b . R, называется линейным относительно неизвестного x.

Возможны три случая:

1. a ≠ 0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение
   

x = b/a.

2. a = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0 * x = 0, решениями являются все x . R.

3. a = 0, b ≠ 0. Уравнение 0 * x = b решений не имеет.

Ответ: x = b/a при a ≠ 0, b . R; x . R при a = 0, b=0.


Пример 1. Решить уравнение a² x – a = 4x + 2.

Пример 2. Решить уравнение x + 3/a³ = 1/a² (9x + 1).


Пример 3. При каких a уравнения 1) 6(ax - 1)+a = 3(a - x)+7, 2) 2/3(x - 1) = 4/3 + a(3 - x) имеют бесконечно много решений?


Пример 4. При каких a уравнения 1) 2(3x – 2a) = 2 + ax, 2) a² x = a(1 + 5x) – 2 – 6x не имеют решений?


Пример 5. При каком a уравнение 2ax+5 = 3x имеет корень, равный -1?

Пример 6. При каком a прямая y = 2ax – 3 проходит через точку A(1;-6)?


Пример 7. При каких b уравнение (a – 3)x = b + 2a имеет решения для любого a ?


Пример 8. При каких а уравнение 3(x – 2a) = 4(1 – x) имеет отрицательное решение?


Пример 9. При каких а уравнение a(4x – a) = 12x – 9 имеет одно положительное решение?


Пример 10. Найти все а, для каждого из которых решение уравнения 10x – 15a = 13 – 5ax + 2a больше 2.


Пример 11. При каких а каждый корень уравнения 3(x + a) = 6 – a удовлетворяет условию x€ . [2;4] ?


Упражнения

1. При каких а сумма корней уравнения
   

Х² +(2-а-а²)х-а +3=0 равно 0?

2.При каких а сумма квадратов корней уравнения

Х²+3х+2а=0 равна 1?

3.при каких а разность корней уравнения

Х²-ах+2=0равна 1?

4. При каких а разность квадратов корней уравнения

3х² -5х+а=0 равна 5/9?

5.При каких а уравнения:

а)2х² –(3а+2)х+12=0 и 4х ²–(9а-2)х+36=0

имеют общий корень?

6. При каких а корни уравнения 4х +(3а²-5 а +2)х-3=0

Равны по модулю?

7.При каких а разность корней уравнения

2х² –(а+2)х +(2а-1)=0 равна их произведению?

8.При каких а один из корней уравнения х²– 15/4х+а=0 равен квадрату другого?


9.При каких а отношение корней уравнения

Х²-(а+2)х+а² -1=0 равно 3?


10.При каких а отношение корней уравнения

Х² –(3а+2)х+а² =0 равно 9?


11.При каких а отношение корней уравнения

Ах² –(а+3)х+3=0 равно3/2?


12.При каких а корни уравнения х² +(а+1)х+2а-4=0

Удовлетворяют соотношению 2х –х =-6?


13.При каких а сумма квадратов двух различных корней уравнения

ах² -7х+5=0 меньше 39?


14.При каких а сумма кубов двух различных корнейуравнения

х ²-6х+2а-1=0 меньше 72?


Тема 2. Системы уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

a x + b y = c (1)

a x + b y = c, a + b ≠ 0, a + b ≠ 0


может иметь единственное решение, бесконечно много решений и не иметь решений, что геометрически интерпретируется соответственно как пересечение, совпадение и параллельность прямых, являющихся графиками уравнений системы.

Если a /a ≠ b /b , то эти прямые пересекаются в одной точке; если a /a = b /b = c /c , то прямые совпадают; если a /a = b /b ≠ c /c , то прямые параллельны и не совпадают.

Отсюда следует, что система (1) имеет единственное решение, если a /a ≠ b /b , имеет бесконечно много решений, если a /a = b /b = c /c , не имеет решений, если a /a = b /b ≠ c /c .


Пример 1. Решить систему уравнений { ax + 2y = 5

2x + ay = 3

Пример 2. Решить систему уравнений 2x + (9a - 2)y = 3a

x + y = 1


Пример 3. При каких а система уравнений ax + 4y = 4 имеет решения?

{ 3x + y = 1


Пример 4. При каких а система уравнений { ax + y = 2 имеет единственное решение?

x – y = 3


Пример 5. При каких а система уравнений { 3x + (a – 1)y = a + 1 не имеет решений?

(a + 1)x + y = 3


Пример 6. Найти а, при которых решения системы { 2x – y = 5 удовлетворяют

x + 3y = a + 1

неравенству x < y.


Пример 7. Решить систему { 3ax – 4y = b

2x – y = 3.


Тема 3. Квадратные уравнения.

Уравнения вида ax + bx + c = 0, где a, b, c . R, a ≠ 0 называется квадратным уравнением. D = b - 4ac – дискриминант квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D > 0, то уравнение имеет два различных корня


x = -b ± √D/2a;


если D = 0, то уравнение имеет один корень x = -b/2a.


Пример 1. Решить уравнение a(a + 1)x² + x – a(a – 1) = 0.

Пример 2. Решить уравнение (a² - b² )x² - 2ax + 1 = 0.

Пример 3. Решить уравнение 4a/(x² - a² +( x – a)/x(x + a) = 1/x(x – a).


Пример 4. Решить уравнение x² - (a + 1)x – (a + 2)/(x + 2)(x – 3a) = 0.


Пример 5. При каких а разность квадратов корней уравнения 5x² - 7x + a = 0 равна 7/25?


Пример 6. При каких а разность корней уравнения 2x² - (a + 1)x + (a – 1) = 0 равна их произведению?


Пример 7. Пусть x и x - корни уравнения 3x² -ax+2a-1 = 0. х³+х³


Пример 8. При каких a сумма кубов двух различных корней уравнения

X²- 4x – 2a + 6 = 0 меньше 24 ?

Пример 9. Найти а, при которых отношение корней уравнения x² - (2a + 4)x + a² + 4 = 0 равно 5.


Пример 10. Найти а, при которых один из корней уравнения x² - 2x + a = 0 равен квадрату другого.


Тема 5. Задачи на нахождение

наибольших и наименьших значений.

Часто встречаются задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения суммы корней (или суммы квадратов корней) квадратного уравнения. Для решения таких задач достаточно использовать теорему Виета и условие существования корней квадратного уравнения (D ≥ 0).


Пример 1. При каких а сумма корней уравнения x² + 2(a² - 3a)x – (6a³ - 14a² + 4) = 0 принимает наибольшее значение? Найти это наибольшее значение.


Пример 2. При каком а сумма квадратов корней уравнения x² + (2 – a)x – a² + 1 = 0 принимает наименьшее значение?


Пример 3. При каких а сумма квадратов корней уравнения x² - ax + a² - 1 = 0 принимает наибольшее и наименьшее значения?


Пример 4. При каком а сумма квадратов корней уравнения x² + x√a ² + 6a + 2a – 1 = 0 принимает наименьшее значение?


Тема 6. Уравнения, приводимые к квадратным


Пример 1. При каком наименьшем целом значении параметра а уравнение

(х²-2х)²-(а+2)(х ²-2х)+3а-3=0

Имеет четыре различных корня?

Пример 2. При каких а уравнение (х-а)² (а(х-а)² –а-1)= -1

имеет больше положительных корней, чем отрицательных?

Пример 3. Найти наибольшее целое а, при котором уравнение

8х⁴-16х² +а=0 имеет четыре различных корня?


Пример 4.При каких а уравнение (х-а)² ((х-а)² -2а-4)=-2а-3 имеет отрицательных корней больше, чем положительных?

Пример 5. При каких а уравнение 3ах ⁴+(12-а)х² -4=0 имеет четыре различных корня, причем три из них больше -1, а четвёртый меньше -2?

Пример 6. При каких а один корень уравнения ах⁴ –(а-3)х² +3а=0 меньше -2, а три остальных- больше -1?

Пример 7. При каких а четыре корня уравнения х⁴ +(а-5)х² +(а+2)² =0 являются последовательными членами арифметической прогрессии?


Упражнения

1. Найти все а из промежутка [1;∞) при каждом из которых больший из корней уравнения х² -6х+2ах +а-13=0 принимает наибольшее значение.
   
2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции
   

F(x)=(-x² +2x-1)/ (6х² -7х+3)

3. При каком а сумма квадратов корней уравнения х ²+х√ а ²-4а-а-2=0
   
4. Найти сумму корней уравнения х² +2(а² +2а)х+4а³ -2а² +40=0 и указать, при каких а эта сумма принимает наибольшее значение.
   
5. Найти а, при котором наименьшее значение функции
   

у= х ³+(22а+12)х+116а ²+135а+27

6. При каких а сумма корней уравнения х² +(2-а-а² )х-а² +3=0 равна 0?
   
7. При каких а сумма квадратов корней уравнения х² +3х+2а=0 равна 1?
   
8. При каких а разность корней уравнения х² –ах+2=0 рана 1?
   
9. При каких а разность квадратов корней уравнения 3х² -5х+а=0 равна 5/9?
   
10. При каких уравнения 2х² –(3а+2)х+12=0 и 4х² –(9а-2)х+36=0 имеют общий корень?
    

Литература

1. Амелькин, В.В Задачи с параметрами.[Текст│/В.В Амелькин, В.Л. Рабцевич.-М,: Асар,1996
   
2. Вавилов, В. Задачи с параметром[ Текст│/В. Вавилов// Квант.-1997.-№5.-С.38-42
   
3. Дорофеев, Г.В. Решение задач, содержащих параметры.Ч.2 [Текст│/Г.В. Дорофеев, В.В. Затакавай.-М.: Перспектива,1990.-С.2-3
   
4. Егерман, Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика. -2003. - №1. – С. 18-20.
   
5. Ерина, Т. М. Линейные и квадратные уравнения с параметром [Текст] / Т. М. Ерина // Математика для школьников. – 2004. - №2. – С. 17-28.
   
6. Кривчикова, Э. Тема «Уравнения и системы уравнений» в курсе алгебры 11 класса [Текст] / Э. Кривчикова // Математика. – 2004.- №37. – С. 18-37.
   
7. Цыганов, Ш. Квадратные трехчлены и параметры [Текст] / Ш. Цыганов // Математика. - 1999. - №5. – С. 4-9.