Geum.ru

Пособие предназначено для учащихся 11 классов математического, физико-математического, информационно-технологического профиля. Введение

Вид материалаДокументы

Содержание


1. Численные методы решения нелинейных уравнений
1.1. Отделение корней
1.2. Уточнение корней
1.3. Метод деления отрезка пополам
1.4. Метод хорд
1.5. Метод касательных (ньютона)
2. Решение нелинейных уравнений средствами excel
2.1 Отделение корня
2.2. Уточнение корня методом деления отрезка пополам
2.3. Метод хорд
2.4. Расчет уточнения корня методом касательных
2.5. Решение нелинейных уравнений методом подбора параметра
Пример Найти корень уравнения х-cosx=1 на интервале изоляции корня [1,2;1,3]. Решение
Подобный материал:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Физико-математический лицей №131Вахитовского района г.Казани»


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ EXCEL


Бастракова Нина Вадимовна

учитель информатики и ИКТ


Казань, 2008


Аннотация

Тема «Численные методы решения нелинейных уравнений и их реализация в табличном процессоре Excel» входит в раздел «Методы прикладной математики и построение математических моделей при решении задач на ПК», что соответствует программе по информатике для школ с углубленным изучением математики и физики.

В пособии изложены способы и алгоритмы решения наиболее распространенных задач вычислительной математики, применяющихся при математическом моделировании. Целью пособия является усвоение и закрепление навыков путем выполнения практических заданий. Предлагаемые методы снабжены подробными примерами реализации вычислительных алгоритмов.

В пособии приводятся варианты индивидуальных заданий для учащихся, рекомендации по их выполнению и контрольные вопросы.

Пособие предназначено для учащихся 11 классов математического, физико-математического, информационно-технологического профиля.

ВВЕДЕНИЕ


При изучении численных методов решения задач математического моделирования в школе с углубленным изучением математики и физики возможно использование различных средств.

Все вычисления можно производить по детально разработанным алгоритмам.

Во-первых, можно разработать алгоритм и запрограммировать его на одном из языков программирования. Преимуществом такого выбора является непосредственная работа с алгоритмом метода, который постоянно находится в центре внимания. Учащийся тратит часть времени на отладку программы, что развивает его навыки программирования и умение решать задачи с использованием численных методов.

Во-вторых, можно использовать какой-нибудь специализированный математический ППП, например, MathCAD. Однако, несмотря на свои широкие возможности применения для решения подобных задач, или вернее благодаря им, эти ППП неудобны для учебного процесса, а более подходят для научных расчетов специалистов. Действительно, они являются отличным инструментом для научно-исследовательской работы, но слишком быстро приводят к результату, к ответу, зачастую скрывая алгоритм его получения от пользователя, что не позволяет достигнуть хорошего усвоения алгоритмов численных методов. При таком подходе этап моделирования явно будет преобладать над этапом алгоритмизации. Этап же программирования вообще будет отсутствовать.

Таким образом, наиболее удобным для преподавания численных методов решения задач математического моделирования является табличный процессор Excel. Он имеет средство с удобным графическим интерфейсом, обладает наглядными и интуитивно понятными средствами для представления алгоритма метода решения задачи, отображает все промежуточные вычисления в виде таблицы, имеет возможность автоматически пересчитывать все вычисления, например, при других исходных данных или при обнаружении и исправлении ошибки в какой-либо формуле.

В ходе практических работ, учащиеся изучают численные методы, учатся применять табличный процессор Excel для решения математических задач. При их решении от учащихся требуется подобрать один или несколько численных методов для решения нелинейных уравнений, оценить погрешность каждого метода и сделать вывод об эффективности методов для решения данной задачи.

Реализация данного подхода в преподавании позволяет прийти к следующим выводам. Среда Excel позволяет лучше отработать алгоритмы, использующие численные методы решения задач математического моделирования и автоматизировать получение результата вычислений вместе с промежуточными вычислениями.

Настоящее учебно-методическое пособие включает следующие основные темы:
  1. Численные методы решения нелинейных уравнений

1.1. Отделение корней

1.2. Уточнение корней

1.3. Метод деления отрезка пополам

1.4. Метод хорд

1.5. Метод касательных (Ньютона)
  1. Решение нелинейных уравнений средствами Excel

2.1 Отделение корня

2.2. Уточнение корня методом деления отрезка пополам

2.3. Уточнение корня методом хорд

2.4. Расчет уточнения корня методом касательных

2.5. Решение нелинейных уравнений методом подбора параметра

Перечисленные темы охватывают широкий спектр методов и являются минимумом, необходимым для дальнейшего успешного решения различных задач математического моделирования, возникающих при исследовании реальных объектов.

В результате изучения тем учащийся должен:
  • уметь выбирать и владеть конкретными численными методами решения различных задач на ПК с помощью языка программирования и электронной таблицы;
  • составлять алгоритм и программу численного метода;
  • решать одну и ту же задачу различными методами и средствами;
  • знать различные методы численного решения одной и той же задачи, правила учета погрешностей.

Особое внимание в пособии уделено реализации вычислительных алгоритмов на ПК, то есть технологии вычислительных работ с опорой на современные технические и программные средства

Общие требования и методические рекомендации по выполнению практических работ содержатся в Приложении 1.

Пособие содержит варианты индивидуальных заданий (Приложение 2) для выполнения практических работ, с целью закрепления численных методов решения нелинейного уравнения.

Контрольные вопросы по данной теме приведены в Приложении 3.

Пример готовой работы приведен в Приложении 4.


1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
  • точные методы;
  • итерационные методы.

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение выше четвертой степени. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Рассмотрим реальную алгебраическую задачу – решение нелинейного уравнения с одним неизвестным.

f(х)=0 (1)
  1. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.
  2. Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a)f(b) < 0).
  3. Первая и вторая производные f' (x) и f'' (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Решение уравнения проводят численно в два этапа. На первом этапе производится отделение корней - поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

Далее будут рассмотрены несколько численных методов и приведены алгоритмы нахождения корней уравнений

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)f(b) < 0, то в указанном промежутке содержится хотя бы один корень.

В общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни, и осуществляют "прогулку" по этому диапазону.

Идеи методов второго этапа можно сгруппировать по трем основным направлениям. В первом – поиск корня с заданной погрешностью сводится к перебору всех возможных значений аргумента с проверкой наличия решения. Во втором – поиск корня нелинейной функции заменяется поиском корня той или иной более простой функции (линейной), близкой к исходной нелинейной; как правило, процесс поиска осуществляется итерационными процедурами (однотипными, последовательно повторяющимися).

При решении конкретных задач важными являются две цели решения:
  • обеспечение близости к нулю функции f(x) (f(х)0);
  • обеспечение точности нахождения решения х.


1.1. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ


Отделение корней может производиться графически (путем построения графика функции f(x)) или аналитически. Для аналитического отделения корней находят все критические точки функции f(х), т.е. точки, в которых производные равны нулю или не существуют.

Пример

Дано уравнение: 5х - 6х - 3 = 0. Построить график функции и определить интервалы изоляции корня.

Решение
  • Обозначим: y =5х - 6х - 3.
  • На интервале [-1;1,8] вычислим значения функции y.
  • Результаты расчета занесем в таблицу 1.1
  • Построим график функции в табличном процессоре Excel используя, Мастер диаграмм.

График функции: y =5х - 6х - 3 представлен на рисунке 1.1

Таблица 1.1

Расчет значений функции y =5х - 6х - 3

х
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
1,8

y
3,20
0,45
-2,00
-3,76
-4,00
-0,82
4,32



Рисунок 1.1 График функции: у = 5х - 6х - 3

По графику определяем, что корни заключены в следующих промежутках:

x1[-0,5;0]; x2[1,5;1,8].


1.2. УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ


Рассмотрим методы уточнения корней и их основные идеи. Отметим следующий момент: при прочих равных условиях, тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден за меньшее число раз вычисления функции f(x).


1.3. МЕТОД ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ


Простейшим из методов уточнения корней является метод деления отрезка пополам, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде функции f(x)=0.

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)f(b) < 0 (рис. 1.2), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.



Рисунок 1.2 Графическая интерпретация метода деления отрезка пополам


Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)f(c) < 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b. Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a)< .

Блок-схема алгоритма решения уравнения методом деления отрезка пополам приведена на рисунке 1.3



Рисунок 1.3 Блок-схема метода половинного деления

С точки зрения машинной реализации этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

Пример

Дано уравнение: х3-0,2x2+0,5x+1,5=0. Уточнить корень с погрешностью  =0,001.

Решение

Запишем: f(х)=х3-0,2x2+0,5x+1,5.

Проведем процедуру отделения корней, используя табличный процессор Excel.

Таблица 1.2

Расчет значений функции f(х)=х3-0,2x2+0,5x+1,5

x
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1
-1,1
-1,2

f(x)
1,6
1,549
1,5
1,447
1,384
1,305
1,204
1,075
0,912
0,709
0,46
0,159
-0,2
-0,623
-1,116


Построим график функции, используя табличный процессор Excel.



Рисунок 1.4 График функции: f(х)=х3-0,2x2+0,5x+1,5

По графику определяем, что корень заключен в промежутке: [-1; -0,5], то есть
а =-1, b = -0,5.

Применим алгоритм метода деления отрезка пополам.

Программа, записанная на языке программирования Паскаль, будет выглядеть следующим образом:

Program Metod1;

Var a,b,e,c:real;

function f(x:real):real;

begin

f:=x*x*x-0.2*x+0.5*x+1.5

end;

Begin

read(a,b,e);

repeat

c:=(a+b)/2;

if f(c)*f(a)<0 then b:=c else a:=c;

until abs(a-b)

write(c)

End.

Ответ: х-0,94653.

1.4. МЕТОД ХОРД


В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [а,b] заменяется линейной, в качестве которой берется хорда – прямая, стягивающая концы нелинейной функции. Вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится "хорда", соединяющая точки (a,f(a)) и (b,f(b)).

При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b] на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a,f(a)) и (b,f(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс, точка c (рис. 1.5). Если при этом f(a)∙f(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |f(c)|< ε.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (a,f(a)) и (b,f(b)):



(2)



Рисунок 1.5 Графическая интерпретация метода хорд

Прямая заданная уравнением (2), пресекает ось Х при условии у=0. Найдем точку пересечения хорды с осью Х.





итак

Далее необходимо вычислить значение функции в точке с.

Блок-схема алгоритма решения уравнения методом хорд приведена на
рисунке 1.6



Рисунок 1.6 Блок-схема метода хорд

Пример

Дано уравнение: х3-0,2x2+0,5x+1,5. Уточнить корень с погрешностью =0,001.

Решение

Запишем: f(х) =х3-0,2x2+0,5x+1,5.

Проведя процедуру отделения корней, используя табличный процессор Excel, получим, что корень находится в промежутке [-1; -0,5], т.е. а =-1, b = -0,5.

Применим алгоритм метода хорд

Программа, записанная на языке программирования Паскаль, будет выглядеть следующим образом:

Program Metod2;

Var a,b,e,c:real;

function f(x:real):real;

begin

f:=x*x*x-0.2*x*x+0.5*x+1.5

end;

Begin

read(a,b,e);

repeat

c:=a-(f(a)/(f(b)-f(a)))*(b-a);

if f(c)*f(a)>0 then a:=c else b:=c;

until abs(f(c))

write(c)

End.

Ответ: х-0,94653.


1.5. МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (НЬЮТОНА)


Идея, на которой основан метод касательных, аналогична той, которая реализована в методе хорд, только в качестве прямой берется касательная, проводимая в текущей точке последовательности к данной функции f(x).

В одной из точек интервала изоляции корня [a;b], например с, проведем касательную (рис. 1.7)



Рисунок 1.7 Графическая интерпретация метода касательных


Уравнение этой прямой у=кх+m.

Так как данная прямая является касательной, и она проходит через точку (с,f(c)), то к=f'(c).

Отсюда следует:

у= f '(c)х+ m, f(c)= f '(c)с+ m, m= f(c)- f '(c)с,

у= f '(c) х+ f(c)- f '(c)с, у= f '(c) (x-с)+ f(c).

Найдем точку пересечения касательной с осью Х:

f '(c) (x-с)+ f(c)- f '(c)с=0,

(3)

Если |f(x)|< , то точность достигнута, и х – решение; иначе необходимо переменной с присвоить значение х, провести касательную через новую точку с и так продолжать до тех пор, пока |f(x)|< .

Осталось решить, что выбрать в качестве начального приближения с.

В этой точке должны совпадать знаки функции и ее второй производной. А так как нами сделано допущение, что вторая и первая производные не меняют знак, то можно проверить условие f(х) f''(х)>0 на обоих концах интервала и в качестве начального приближения взять ту точку, где оно выполняется. Условие f(х) f''(х)>0 характеризует сходимость метода, но не является обязательным. Действительно, если пересечение касательной с осью ОХ окажется в интервале (a,b), независимо от того, какую из точек мы выбрали в качестве первого приближения, то сходимость будет обеспечена.

Блок-схема алгоритма решения уравнения методом касательных приведена на рисунке 1.8




Рисунок 1.8 Блок-схема метода касательных


Пример

Дано уравнение: х3-0,2x2+0,5x+1,5. Уточнить корень с погрешностью =0,001.

Решение

Запишем f(х) = х3-0,2x2+0.5x+1,5

Проведя процедуру отделения корней, получим, что корень находится в промежутке [-1;-0,5], т.е. а =-1, b=-0,5.

Находим первую производную: f'(х) = 3х2 - 0,4x + 0,5.

Программа, записанная на языке программирования Паскаль, будет выглядеть следующим образом:

Program Metod1;

Var a,b,e,c:real;

function f(x:real):real;

begin

f:=x*x*x-0.2*x*x+0.5*x+1.5

end;

function g(x:real):real;

begin

g:=3*x*x-0.2*x+0.5

end;

Begin

read(a,b,e);

if a-f(a)/g(a)

repeat

c:=c-f(c)/g(c);

until abs(f(c))

write(c)

End.

Ответ: x-0,9464.


2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ EXCEL


Постановка задачи

Дано нелинейное уравнение: х-cosx-1=0. Необходимо решить его методами: половинного деления, хорд, касательных и методом подбора параметра с точностью =0,001.


2.1 ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЯ


Приведем уравнение: х-cosx-1=0 к следующему виду: х-1=cosx.

Обозначим у1= х –1 и у2= cosx. Для функций у1 и у2 построим графики и определим интервал, где они пересекаются, а также построим график зависимости
у=х-cosx-1. Результаты расчетов приведены в таблице 2.1

Таблица 2.1

Результаты расчетов функций у1 и у2

х
у1
у2

1
0
0,54030231

1,1
0,1
0,45359612

1,2
0,2
0,36235775

1,3
0,3
0,26749883

1,4
0,4
0,16996714

1,5
0,5
0,0707372

1,6
0,6
-0,02919952

По данным таблицы 2.1 строятся графики этих функций (рис. 2.1).



Рисунок 2.1 Графики функций у1 и у2


Построим график функции у=х-cosx-1.

Расчеты функции: у=х-cosx-1 приведены в таблице 2.2.


Таблица 2.2

Расчеты функции у=х-cosx-1

х
у

1
-0,540302

1,1
-0,353596

1,2
-0,162358

1,3
0,032501

1,4
0,230033

1,5
0,429263

1,6
0,6292

1,7
0,828844

1,8
1,027202

1,9
1,22329


По данным таблицы 2.2 строится график функции у=х-cosx-1 (рисунок 2.2).



Рисунок 2.2 График функции у=х-cosx-1


Как видно из графиков на рисунках 2.1 и 2.2, интервал нахождения корня [1,2;1,3].

Ответ: [1,2;1,3] интервал изоляции корня для уравнения х-cosx-1=0.


2.2. УТОЧНЕНИЕ КОРНЯ МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ


Для вычисления применяем формулу: х=(a+b)/2

Если f(a)·f(x)>0, то а = х. Если f(a)·f(x)<0, то b = х.

Используя встроенные функции Excel заполняем таблицу.

Результаты расчета приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Расчет уточнения корня методом деления отрезка пополам

a
b
x
f(a)
f(x)
f(a)*f(x)
Точность

1,2
1,3
1,25
-0,162357754
-0,065322362
0,010605592
0,1

1,25
1,3
1,275
-0,065322362
-0,016501685
0,001077929
0,05

1,275
1,3
1,2875
-0,016501685
0,007977906
-0,000131649
0,025

1,275
1,2875
1,28125
-0,016501685
-0,004267466
7,04204E-05
0,013

1,28125
1,2875
1,284375
-0,004267466
0,00185384
-7,9112E-06
0,006

1,28125
1,28438
1,2828125
-0,004267466
-0,00120716
5,15151E-06
0,003

1,28281
1,28438
1,28359375
-0,00120716
0,000323254
-3,90219E-07
0,002

1,28281
1,28359
1,283203125
-0,00120716
-0,000441974
5,33534E-07
0,001



Из таблицы находим корень нашего уравнения с заданной точностью.

Ответ: корень x=1,283203125


2.3. МЕТОД ХОРД


Занесем в определенные ячейки значения исходных данных (рис.2.5)



Рисунок 2.3

Применим метод хорд, результаты занесем в таблицу 2.6

Таблица 2.4

Результаты расчетов уточнения корня методом хорд

a
b
x
f(a)
f(b)
f(a)*f(b)
f(x)
Точность

1,2
1,3
1,283321
-0,1623578
0,0325012
-0,005277
-0,0002117
0,001

Ответ: корень x=1,28321


2.4. РАСЧЕТ УТОЧНЕНИЯ КОРНЯ МЕТОДОМ КАСАТЕЛЬНЫХ


Занесем в отдельные ячейки значения интервала изоляции корня, точность и начальное приближение с (рис. 2.4)



Рисунок 2.4

Применим метод касательных, результаты занесем в таблицу 2.6


Таблица 2.5

Результаты расчетов уточнения корня методом касательных

c
f(c)
f'(c)
Точность

1,28345
0,0000373714
1,9589987
0,001

Ответ: корень x=1,28345


2.5. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОДБОРА ПАРАМЕТРА


Используя возможности табличного процессора Excel можно находить корни нелинейного уравнения в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:
  1. Уравнение представляется в виде функции одной переменной;
  2. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;
  3. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;
  4. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

Рассмотрим последовательность нахождения корней нелинейного уравнения на примере.

Пример

Найти корень уравнения х-cosx=1 на интервале изоляции корня [1,2;1,3].

Решение

1.Представим уравнение в виде функции у = х-cosx-1

Известно, что корни исходного уравнения находятся в точках пересечения графика функции с осью Х.

2. На свободном участке рабочего листа, как показано на рисунке 2.5, в ячейки B7 введем начальное приближение, а в ячейке С7 вычислим значение данной функции в этой точке.




Рисунок 2.5

3. Выполним команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления установим относительную погрешность вычислений E=0,001, а число итераций N=1000, установим флажок Итерации.

4. Выполним команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне заполним следующие поля:
  • установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;
  • значение: в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);
  • изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.



  • после щелчка на ОК получим значение корня:1,283426



Ответ: корень x=1,283426.


ЛИТЕРАТУРА

  1. Турбо Паскаль 7.0 / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова, В.Р. Павлыш, Славинская Л.В. – М.: ООО «Издательство АСЕ»: Издательство «НТ Пресс», 2004
  2. Программирование на языке Бейсик / Г.Б. Покровский, Н.П. Ананьева. – Издательство Казанского университета, 1987
  3. Начала информатики / А.С. Абрамов, Е.В. Зима. – М.: Наука, 1989
  4. Изучение основ информатики и вычислительной техники: Метод. Пособие для учителей и преподавателей сред. учеб. заведений . В 2-х ч.Ч. I / А.П. Ершов, В.М. Манахов, А.А. Кузнецов и др.; Под ред. А.П. Ершова, В.М. Монахова. – М: Просвещение, 1985
  5. Амелина Н.И., Мачулина Л.А., Чердынцева М.И. Электронные таблицы. Задачи и упражнения. - Ростов-на-Дону: Ростовский гос. ун-т, 2000. - 24 с. ссылка скрыта
  6. Данилова С.Д., Дамбаева С.В., Евдокимова И.С. Табличный процессор Microsoft EXCEL: Методические указания. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2001. - 51 с.

ссылка скрыта

Copyright © 2023. All rights Reserved.