Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Національний університет “Львівська політехніка”

Вид материалаАвтореферат

Содержание


Рис.9. Стаціонарні значення СКВ фазової похибки, розраховані за стрижневою моделлю (а), кумулянтним методом (б) та за рівнянням
а) б) Рис.11. Еволюція характерного перетину густини імовірності похибки синхронізації у ФАПЧ 2-го порядку за малих (а) та велик
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7

Рис.9. Стаціонарні значення СКВ фазової похибки, розраховані за стрижневою моделлю (а), кумулянтним методом (б) та за рівнянням Фокера – Планка (в).


Залежності СКВ фазової похибки від інтенсивності шуму N і початкової розс­трой­ки γ, розраховані за стрижневою моделлю, кумулянтним методом та за рів­нян­ням Фокера – Планка наведені на рис. 9.

Рис.10. Гранична інтенсивність шуму. 1–кумулянтний аналіз, 2– дані експерименту, 3 – рівняння Фокера -Планка [1], 4 – стрижнева модель.
Порівняння показує, що похибка наближених ме­тодів у широкому діапазоні па­ра­мет­рів не перевищує 5%, і тільки поблизу гра­ниці працездатності сягає 30% для стри­ж­невої та 10% для кумулянтної моделей. Пере­ва­гою наближених моделей є значно (на два по­рядки) менша обчислювальна склад­ність. Крім того, наявність чи відсутність ста­ціонар­ного роз­в’яз­ку рівнянь (7) є індикато­ром досягнення гра­нич­но допустимого рів­ня шуму, тоді як ви­користання рівняння (2) та рис.9 в вимагає для визначення шумового порогу до­дат­кового роз­ра­хунку кількості про­ковзувань фази і апрі­ор­ного завдання значень гранично допустимого СКВ. Гранично допустимі рівні шуму, розра­хо­вані за кумулянтною моделлю, зо­бра­жено на рис. 10 і їх порівняння з результатами, отрима­ними іншими методами, показує придат­ність кумулянтної моделі до потреб інженерної практики.

Процес синхронізації у ФАПЧ 2-го порядку з пропорційно-інтегруючим фільт­ром (ПІФ) описує двовимірний ВП (φ,y), який задовольняє систему стохастичних рівнянь

(8)

де φ – фазова похибка синхронізації, τ – нормований до сталої часу ПІФ час, y – нор­мо­ва­на до смуги утримання частотна похибка, β – нормована до смуги утримання смуга ПІФ, γ – нормована до смуги утримання розстройка сигналу і керованого гене­ра­тора (КГ), m – параметр ПІФ, Φ(t) – внутрішні збурення, викликані кутовою модуля­ці­єю, керу­ючи­ми впливами або завадами у петлі керування КГ, ρ – відношення сигнал / шум у смузі ПІФ.

Отримані з (8) рівняння дрей­фу кумулянтів, аналогічні до (5), мають вигляд

(9)

де mφ , my – середні значення, – дисперсії фазової та частотної по­хи­бок, κ11 – взаємний кумулянт, який характеризує кореляцію похибок. Приклади роз­в’яз­ків математичної моделі (9) за умови Φ(t)=0 та віддаленого від точки рівно­ваги початкового δ-подібного розподілу наведені на рис. 11 у вигляді поведінки характер­но­го перетину (еліпсу) на фазовому портреті незбуреної системи. Параметри еліпсу однозначно пов’язані зі значеннями фазових змінних системи (9).


а) б)

Рис.11. Еволюція характерного перетину густини імовірності похибки синхронізації у ФАПЧ 2-го порядку за малих (а) та великих (б) рівнів шуму.


Числове розв’язування системи рівнянь (9) показало, що залежно від початкових умов та параметрів пристрою і завад можливі три типи розв’язків.

1. За малих рівнів шуму або початкової розстройки після перехідного процесу вста­новлюються усталені роз­міри і положення ха­рактерного перетину в околі точки стійкої рівноваги, при­чому існують як завгодно віддалені початкові умови, за яких перехідний процес від­бувається без торкання вхід­них сепаратрис (рис. 11 а). Се­ред­нє значення усталеної частотної похибки дорівнює нулеві.

2. За більших рівнів шуму усталений характерний перетин існує, але до­сяг­ннути його можна лише за початкових умов з обмеженої області поблизу точки стійкої рів­но­ваги. Вибір віддалених початкових умов призводить до торкання вхід­них сепа­ра­трис (рис. 11 б) з подальшим необмеженим зростанням розмірів еліпсу. Се­ред­нє значення усталеної частотної похибки відрізняється від нуля.

3. За ще більших рівнів шуму не існує усталений характерний перетин. Навіть при виборі початкових умов у стійкій точці розміри характерного перетину (тобто дис­персії похибок) необмежено зростають, а середня частотна похибка є скінченою.

На підставі визначених типів розв’язків у роботі запроваджені означення, які сто­су­ються про­стору параметрів пристроїв синхронізації за наявності шуму та характе­ризують їх працездатність.

Означення.1 Шумова смуга утримання (ШСУ) – діапазон значень гранич­ної по­чаткової розстройки частот сигналу і керованого генератора, для якої існує ста­ці­онарний характерний перетин розподілу похибки синхронізації.

Означення. Шумова смуга схоплення (ШСС) – об­ласть простору пара­метрів, для якої область притягання стійкого характерного перетину необме­же­на.

Рис. 12. Залежність ШСУ та ШСС від інерційності ФАПЧ.
Значне зменшення обчислювальної складності математичної моделі (9) у порів­нян­ні з моделлю (8) та рівнянням Фокера-Планка для двовимірного розподілу уможли­ви­ло повний перебір параметрів ФАПЧ 2-го порядку і завади та виявлення для кож­ного набору параметрів умов існування та об­меженості області притягання уста­ле­ного ха­рак­терного перетину. За допомогою спеціально розробле­ної програми були розраховані гра­нич­ні значення ШСУ та ШСС ФАПЧ з інтегру­ю­чим фільтром (при m=0) у вигляді залежностей γ = f (β), які на­ведені на рис.12 для різних зна­чень ВСШ ρ. ШСУ по­зна­чена на рис. 12 гори­зон­таль­ними лініями (у випадку m=0 ШСУ не залежить від нормо­ва­ної сму­ги фільтра β). Шу­мова смуга схоплення автономного ФАПЧ за відсутності шу­му (N = 0) показана верхньою кривою на рис. 12 і аналогічна до відомої кри­вої Трікомі. ШСС завжди менша від смуги схоп­лення автономної сис­теми. Це озна­чає, що характерний перетин у вигляді еліпса при деяких значеннях ін­тен­сив­ності шуму 1/ρ>0 не може досягнути стану рівноваги на глобально стійкому фа­зо­вому пор­треті автономної системи. Як видно з рис. 12, іс­ну­ють значен­ня інтен­сив­ності шуму, за яких ширина ШСС дорівнює ну­ле­ві, хоча смуга схоп­лення авто­номної системи та ШСУ мають значну ширину. Це означає, що за пе­ревищення деякого рівня шуму стає неможли­вим схоп­лення в ФАПЧ навіть за точного збігу середніх частот сигналу і ке­ро­ваного генератора.

Отримані результати є корисними для практики проектування пристроїв фазової син­хронізації. Однак, ку­му­лянтна модель є на­бли­женою, тому статистичний та фізичний зміст ШСУ та ШСС був додатково з’ясований шляхом безпосереднього інте­грування стохастичних рівнянь (8). За умов вибору параметрів у межах ШСУ типові реа­лізації ВП є розривно-стаціонарним процесом (рис. 13 а), у якому тривалі проміжки стаціонарних флуктуацій в околі одного зі станів рівноваги чергуються з коротко­три­валими проковзуваннями в окіл іншого стану рівноваги. Поза межами ШСУ інтервали стаціонарності не спостерігаються (рис. 13 б).

Імовірність PС квазісинхронного режиму, обчислена як відношення тривалості ста­ціонарних флуктуацій до тривалості реалізації, показана на рис. 13 в для різних набо­рів параметрів і демонструє збіг кривої PС=0,8 з визначеною границею ШСУ. В межах ШСУ імовірність одночасних проковзувань ци­к­лів в різних реалізаціях дуже мала (при PС=0,8 імовірність синхронізму хоча б в од­ній з трьох реалізацій ста­но­вить 99%), що уможливлює забез­пе­чення впевненої синхронізації з носійною частотою багато­ка­наль­ним прийманням. За межами ШСУ (рис. 13 б) імовір­ність збігу в часі перехідних процесів у різних реалі­заціях є великою і багато­канальність не гаран­туватиме неперервного синхроніз­му.

а) б) в)