Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Національний університет “Львівська політехніка”

Вид материалаАвтореферат

Содержание


Рис. 1. Представлення випадкових процесів перетинами.
Рис.2. "Стрижнева" модель (а) та еволюція розподілу (б) ВП в околі точки стійкої рівноваги.
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7

Рис. 1. Представлення випадкових процесів перетинами.


Абстрагуючись від форми розподілу, можна описати густину імовірності одним перетином (точки x1 та x2 на рис. 1 б), який відображає основні характерні риси роз­поділу – його положення і розмір. В роботі показано, що найпрості­ше сформулювати умови стаціонарності для перетину, який задовольняє наступ­но­му означенню.

Означення. Характерний перетин розподілу імовірності – перетин на рівні 1/е2 від макси­маль­ного значення.

Для нормального розподілу P(x) точки характерного перетину x1 та x2 є кванті­ля­ми p*0,023 та p*0,977 відповідно, тобто їх координати становлять m±2σ, де m і σ – серед­нє значення та СКВ розподілу.

Характерному перетину стаціонарного розподілу притаманна наступна властивість.

Властивість 1. Значення потенціальної функції в усіх точках усталеного характер­но­го перетину дорівнює енергії збудження.

Поняття характерного перетину дає можливість мо­делювати випад­ко­вий процес, описаний рівнян­нями (1) і (2), не поведінкою усього об’єму важкого газу на потен­ці­альному рельєфі, а поведін­кою одного масив­но­го пружного стрижня, кінці яко­го відповідають точкам харак­тер­ного пере­тину. Кінці стрижня невідривно ковзають без тертя по по­тенціаль­ному рельєфу (рис. 2 а) і відштовхуються один від одного тим силь­ніше, чим менша відстань між ними і чим більша енергія збурен­ня N. Зав­дяки масивності стрижень намагається зайняти якомога нижче положення на потен­ціаль­но­му рельєфі. Рівновага, у відповідності до Властивості 1, наступає за ви­ко­нання умови U(x1,2) = N. Приклад застосування стрижневої моделі для опису стохастичної пове­дін­ки лінійної ДС зі стійким станом рівноваги і коефіцієнтом зносу F(x) = a·x при a>0 наведено на рис. 2 для трьох різних початкових положень стрижня.

б)

Рис.2. "Стрижнева" модель (а) та еволюція розподілу (б) ВП
в околі точки стійкої рівноваги.


Порівняння з розв’язками рівняння Фокера-Планка (рис. 2 б), отриманими число­вим інтегруванням (2) у часткових похідних для різних початкових розподілів, по­ка­зує, що стрижнева модель якісно вірно описує еволюцію розподілу. Для кількісного опису використано кумулянтний аналіз, який дає можливість перейти від рівняння (1) до детермінованих рівнянь еволюції кумулянтів:

, (4)

де m – середнє значення, D – дисперсія процесу x(t). І графічна побудова на рис. 2 а і розв’язок (4) приводять до відомого виразу для СКВ , що під­тверджує адекватність моделі.

У випадку лінійної ДС з нестійким станом рівноваги, тобто коефіцієнтом зносу F(x) = a·x при a<0, стрижнева модель та її аналітичний опис (4) показують наявність біфуркації, що сформульовано у вигляді наступної теореми.

Теорема 1. Характерний перетин з початковим нульовим розміром може до­сяг­ти точки нестійкої рів­но­ваги тоді і тільки тоді, якщо різниця значень потенціальної функ­ції у не­стійкій точці і центрі початкового розподілу менша від енергії збурення.

Якісно справедливість Теореми 1, доведеної у дисертації, підтверджують як реа­лі­зації, отримані розв’язуванням (1), так і нестаціонарні розподіли імовірності (рис. 3). Але за умови N>0 завжди існує скінчена (хоч і мала) імовірність перетину як завгодно великого потенціального бар’єру, а Теорема 1, яка є основою розвитку теорії стохас­тич­них біфуркацій, описує умови, за яких характерний перетин ніколи не перетне потенціального бар’єру.

Для з’ясування питання, чи є описана біфуркація наслідком спрощень стриж­не­вої моделі, чи відображує якісні особливості ВП, була розрахована залежність уста­ле­ного значення ймовірності перетину потенціального бар'єру від його висоти (рис. 4 а), яка має різний характер за умов U(x0)0)>N. З рис. 4 б видно, що та са­ма умова є ознакою подолання бар’єру характерним перетином, який є квантілем p*0,977.

а) б) в)

г) ґ) д)

Рис.3. "Стрижнева" модель (а, г), еволюції розподілу (б, ґ) та реалізації (в, д) ВП
з малою (а–в) та великою (г–д) енергією збурення в околі точки нестійкої рівноваги.

Це означає, що характерний перетин не тільки є зручним для опису випадкових процесів, оскільки для нього виконуються досить прості енергетичні співвідношен­ня, описані Властивістю 1, – зміна поведінки характерного перетину означає суттєві змі­ни у імовірнісних залежностях, зокрема є індикатором подолання випадковим про­це­сом енергетичного бар’єру, що описує Теорема 1.

а) б)

Рис. 4. Імовірність перетину бар'єру (а) і часові залежності квантіля p*0,977(б).

Отже, опис ВП за допомогою кумулянтного метода підтвердив висновки стриж­не­вої моделі про основні якісні особливості поведінки характерного перетину роз­поділу ВП в околі точок стійкої і нестійкої рівноваги лінійної ДС, дав можливість отрима­ти аналітичні вирази для кількісного аналізу характеристик ВП та визначення біфур­ка­цій­них значень інтенсивності випадкового збурення.

ВП у двовимірних лінійних ДС запропоновано описувати характерним перети­ном дво­ви­мірного розподілу густини імовірності, який, згідно з означенням, є замкненою кри­вою (для нормального розподілу – еліпсом). Всі точки усталеного характерного пе­ре­тину мають однаковий потенціал, який згідно із Властивістю 1, дорівнює енергії збуд­ження.

Знаходження потенціальної функції ДС другого порядку вимагає афінних пере­тво­рень, які маскують фізичну сутність фазових змінних. Тому в теорії коливань стан ДС другого порядку зображують траєкторіями точки на фазовій площині. Стан стохастич­ної ДС на фазовому портреті відображає поведінка характерного пере­ти­ну, яка є склад­нішою, ніж поведінка точки. Для опису перетину необхідні коор­ди­на­ти центру (положення), характерні відхилення вздовж осей (розміри), нахил голов­них осей еліп­са. Ці параметри однозначно пов’язані зі статистичними характе­ристи­ками двовимір­ного розподілу, поведінку яких кількісно описують рівняння дрей­фу кумулянтів, які для ДС другого порядку мають вигляд:

, (5)

де mx , my – середні значення, – дисперсії складових ВП, κ=rσxσy, r – коефіцієнт кореляції.