Завдання ІІ (районного) етапу Всеукраїнських олімпіад

Вид материала

Задача №1 (5 балів)
2. Наведіть розрахунки MC
Завдання ІІ (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
Відповіді до олімпіади з математики
Ответ. Улов 36 рыб и 34 рыбы.

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Задача №1 (5 балів)

Використовуючи наступні дані (в млрд. грош. од.), визначте обсяг валового внутрішнього продукту (ВВП), чистого внутрішнього продукту (ЧВП) і національного доходу (НД):

(млрд. грош. од.)

Заробітна плата 70

Імпорт 12

Експорт 15

Процент 21

Дивіденди 34

Державні видатки 57

Прибутки корпорацій 80

Валові внутрішні інвестиції 92

Чисті внутрішні інвестиції 50

Непрямі податки 28

Рентні платежі 36

Споживчі витрати 93

Прибутки від власності 10

Задача №2 (10 балів)

Функція попиту на товар задана формулою Q_D= 250 - 5P, а пропозиції Q_S = 40+2Р.

1) Визначте параметри рівноваги: ціну і кількість.

2) Побудуйте графіки попиту і пропозиції.

3) Як зміняться параметри рівноваги, якщо держава надає виробнику дотацію у розмірі 5 грн. за одиницю товару? Як ця дотація розподіляється між покупцями та виробниками?

Задача №3 (15 балів)

1. Заповніть таблицю:

Q	FC	VC	TC	AFC	AVC	ATC	MC
0			110
5						30
10					13
15							22
20
25						32	40

2. Наведіть розрахунки MC₅; VC₁₅ , TC₁₅; АVC₂₀, TC₂₅

3. Який обсяг виробництва приносить фірмі максимум прибутку в умовах досконалої конкуренції, якщо ціна одиниці товару дорівнює 50 грн.? Чому дорівнює цей прибуток?

Харківська академія неперервної освіти

Завдання ІІ (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6 клас

1. Знайдіть увсі числа, які рівні подвоєній сумі своїх цифр

2. В одній чверті лісу зрубали 20% дерев, у решті - 10% дерев. Який відсоток дерев порубали в усьому лісі?

3. Чи можливо розлити 50 л бензину по трьох діжках так, щоб в першої діжці було на 10 л більше, ніж у другій, а після переливання 26 л з першої діжки в третю в третьої діжці стало стільки ж бензину, скільки у другій? Відповідь обґрунтуйте.

4. Чи можна закласти фігурками виду шахову дошку розміром 5х6? Відповідь обґрунтуйте.

7 клас

1. Розв’яжіть рівняння

для всіх значень параметра а.

2. У ставку водяться карасі и окуні. Два рибалки піймали 70 риб, причому 5/9 улову першого рибалки складали карасі, а 7/17 улову другого - окуні. Скільки риб спіймав кожний рибалка?

3. Послідовність чисел починається з 7. Далі кожне наступне число це сума цифр квадрата попереднього числа збільшеного на 1. Знайти число, яке буде написане на 2010-му місці.

4. Учитель намалював на дошці шестикутник, сторони якого дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5 та 6 см (не обов’язково саме у такому порядку). Чи могло трапитися так, що всі кути такого шестикутника виявилися рівними між собою? Відповідь обґрунтуйте.

8 клас

1. Розв’яжіть рівняння

для всіх значень параметра т.

2. У скриньці розбійника лежать коштовні каміння (але не більше 1000). Відомо, що 2/9 всіх каменів складають алмази, 4/11 - рубіни, 1/7 - сапфіри, а решта - смарагді. Скільки смарагдів в цієї скриньці?

3. Довести, що

4. Чи можна накрити фігурками виду шахову дошку розміром 6х6? Відповідь обґрунтуйте.

9 клас

1. Знайдіть кількість коренів рівняння

в залежності від параметра а.

2. Два торговця купили у місті однакову кількість товару по одній і тій же вартості та повезли кожен в своє село продавати. Перший продавав товар в два рази дорожче закупочній ціни. Другий спочатку підняв ціну на 60%, продав четверту частину товару, потім підняв ціну ще на 40% и продав решту. Хто з них отримав більше грошей? Відповідь обґрунтуйте.

3. Дано рівносторонній трикутник АВС зі стороною а. Точка D знаходиться від вершини А відстані а. Знайдіть величину кута BDC.

4. Чи може число, сума цифр якого дорівнює 2010, бути квадратом цілого числа? Відповідь обґрунтуйте.

10 клас

1. Знайдіть всі значення параметра а, при яких система рівнянь

має єдиний розв’язок.

2. Дана трапеція АВСD (ВС || DA). Через середину М бічної сторони АВ проведена пряма, яка паралельна основам. Бісектриса кута АВС перетинає цю пряму в точці О. Доведіть, що АО - бісектриса кута BАD.

3. Знайдіть усі трійки дійсних чисел х, у, z, які задовольняють рівняння

.

4. На дошці записано два числа a и b (a>b). Їх стирають та замінюють числами (a+b)/2 і (a–b)/2. З новими числами чинять аналогічно. Чи є правильним таке твердження: після декількох стирань різниця між числами, що записані на дошці, стане менше 1/2011? Відповідь обґрунтуйте.

11 клас

1. Розв’яжіть нерівність

.

2. Чи правильне таке твердження, якщо a, b, c - непарні числа, то хоча б одне з чисел ab–1, bc–1 або ac–1 ділиться на 4. Відповідь обґрунтуйте.

3. У рівнобедреному трикутнику АВС, величина /ABC=36^o та АВ=ВС=1. Бісектриси АK и СM перетинаються у точці О. Знайдіть периметр трикутника АМО.

4. Дотична до графіка функції

ділить чотирикутник ABCD на дві рівновеликі (за площею) частини. Складіть рівняння цієї дотичної, якщо відомі координати вершин чотирикутника A(1; 3), B(–1,5; –0,5), C(–0,5; –2,5), D(2; 1)

Відповіді до олімпіади з математики

(Відповіді надані ХАНО)

6 класс

1. Серед чисел більше, як двоцифрові таких нема. Одноцифрових теж нема. Отже розглянемо двоцифрові.

 10a+b=2a+2b  8a=b 

. Відповідь: 18.

2. Подсчитаем долю деревьев, срубленных во всём лесу: (1/4)*(1/5)+(3/4)*(1/10)=(2/40)+(3/40)=5/40=1/8. Ответ. 12,5%

3. Нехай у другому баці х літрів бензину, тоді в першому х+10, а в третьому 40-2х. Отже можна скласти рівняння х=40-2х+26х=22, але 40-222<0, що неможливо.

4. Не можна, бо 56=30 не ділиться на 4.

7 класс

1. параметры

2. Количество рыб, пойманных вторым рыбаком, кратно 17, следовательно, оно может быть равно: 17, 34, 51 или 68. Количество рыб, пойманных первым, может равняться (соответственно) 53, 36, 19 или 2. Но количество рыб, пойманных первым, должно быть кратно 9, откуда получим ответ: первый рыбак поймал 36 рыб, второй - 34.

Заметим, что для данного решения несущественно, что в озере не водится иных рыб, кроме карасей и окуней. Ответ. Улов 36 рыб и 34 рыбы.

3. Розглянемо декілька перших членів даної послідовності 7, 5, 8, 11, 5, 8,11, …, очевидною є повторюваність її членів через кожні три члени. А оскільки 2010 кратне 3, то на 2010-му місці стоїть число 8.

4. Могло. Розглянемо рівносторонній трикутник зі стороною 9 см і відріжемо у ньому від однієї вершини рівносторонній трикутник зі стороною 1 см, від другої вершини – рівносторонній трикутник зі стороною 2 см, а від третьої вершини – рівносторонній трикутник зі стороною 3 см. Отримали шуканий шестикутник з рівними кутами.

8 класс

1. параметры

2. (2/9)+(4/11)+(1/7)=505/693. Число 693 - единственное возможное среди чисел, не превосходящих 1000. Поэтому, общее число камней - 693. Доля изумрудов составляет 1-(505/693)=188/693. 188 изумрудов

3.

4. Розфарбуємо дошку, як показано на малюнку. Як би не клали на дошку 6х6 задану фігурку вона накриватиме непарну кількість чорних клітинок. Щоб закласти всю дошку потрібно 9 фігурок. Вони накриватимуть непарну кількість чорних кліток, а всіх кліток парна кількість. Протиріччя (отже не можна).

9 класс

1. Побудуємо графік функції

2. Пусть стоимость всего купленного товара - x рублей, тогда, первый торговец продал весь товар за 2x рублей. Второй - сначала продал четверть товара, подняв цену на 60%, то есть, получил за это 1,6*0,25x рублей. Затем продал остальное, подняв новую цену еще на 40%, то есть получил 1,6*1,4*0,75x рублей. Получается, что второй продал весь товар за 1,6*0,25x + 1,6*1,4*0,75x = 0,4x + 1,68x = 2,04x(рублей). Это больше, чем 2x, значит, второй выручил больше денег.

3. Рассмотрим окружность с центром в точке А и радиусом а. Точки В, С и D лежат на этой окружности, следовательно, угол BDC - вписанный. Значит, в зависимости от расположения точки D, величина этого угла равна 30^o или 150^o. Ответ. 30^o или 150^o

4. Не может. Предположим, что это не так, и заметим, что данное число делится на 3, но не делится на 9 (признаки делимости). Но, если произвольное натуральное число n разложить на простые множители, то в аналогичное разложение числа n2 эти множители войдут с четными показателями степеней. Значит, если квадрат целого числа делится на 3, то он делится и на 9. Получено противоречие, следовательно данное число не является квадратом никакого целого числа.

10 класс

1. Перепишемо задану систему рівнянь у вигляді:

Отримали систему із рівнянь двох кіл, відстань між центрами яких дорівнює 5. Ця система матиме єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли такі кола дотикатимуться одне до одного, тобто коли сума або різниця їх радіусів дорівнюватиме 5. Звідси знаходимо або

2. Пусть K - точка пересечения BK и AD Так как /AKB = /CBK = /ABK, то DABK - равнобедренный (AB = AK). O - середина BK (по теореме Фалеса), значит, АО - медиана DABK, которая одновременно является и биссектрисой. Следовательно, АО - биссектриса угла BАD, ч. т. д. Суть приведенного решения не изменится, если AD будет меньшим основанием трапеции. Также возможны схожие рассуждения, связанные с доказательством равнобедренности треугольников BМО и АМО.

3. Введемо таке позначення

. Тоді задане рівняння можна переписати у вигляді

, звідси

, отже, , , .

4.

11 класс

1. Відмітимо, що х  n, n. Використовуючи формули подвійного та потрійного кутів отримаємо (2cosx +1)²≥ 0, що виконується при всіх допустимих значеннях х. х  n, n.

2. Остаток от деления нечетного числа на 4 может быть либо 3, либо 1. Если среди чисел a, b, c есть хотя бы два числа, остатки от деления которых на 4 равны 1, то их произведение при делении на 4 также даёт остаток 1. Следовательно, разность этого произведения и единицы делится на 4, ч. т. д. В противном случае, среди данных найдутся хотя бы два числа, остатки от деления которых на 4 равны 3. Так как (4m + 3)*(4n+ 3) - 1 = 16mn + 12m+ 12n + 8 = 4(4mn + 3m + 3n + 2), то разность произведения этих чисел и единицы делится на 4, ч. т. д.

3. Так как треугольник АВС - равнобедренный и /ABC = 36^o, то /BАC = /BСA = 72^o

Так как АK и СM - биссектрисы треугольника, то /ВАK = /CAK = /BCM = /ACM = 36^o.

/AВK = /BAK, значит, DАВК - равнобедренный (АК = ВК). DАМС = DСКА (по II признаку равенства треугольников), значит, АК = СM и СK = АМ, тогда, ВМ = ВК. DАОС - равнобедренный, значит, АО = ОС, так как АК = МС, то МО = ОК.

Р_DАМО = АО + ОМ + АМ = АО + ОК + АМ = AK + AM = ВK + АМ = ВМ + АМ = АВ = 1.

4. Легко бачити, що цей чотирикутник – паралелограм, точка перетину діагоналей т.О(0,25;0,25). Будь-яка пряма, що проходить через точку перетину діагоналей паралелограма поділяє його на дві рівновеликі частини. Рівняння дотичної має вигляд у=(1–4х₀)(х–х₀)+х₀–2х₀², тапроходить через т.О(0,25;0,25). Звідси маємо х₀=0 та х₀=–0,375. Тобто одно з рівнянь дотичної у=х та .

Відповіді до олімпіади з географії

(Відповіді надані ХАНО)

7 клас

Blog

Завдання ІІ (районного) етапу Всеукраїнських олімпіад

Задача №1 (5 балів)