Секованов В. С., к ф-м н., профессор кафедры прикладной математики и информационных технологий кгу им. Н. А

Вид материала

Документы

Содержание II. Итак, вспомним решение квадратных неравенств. У каждого из вас есть лист с задачами III. Начнем исследовательскую работу Вся прямая Решений нет Объединение двух непересекающихся лучей Объединение двух непересекающихся открытых лучей Решений нет II группа Контрольная карточка Таблица заполнена верно. IV. II группа Решение I группы Решение II группы

Подобный материал:

• Обоснования в математике (от Евклида до компьютера), 49.75kb.
• Программа проведения всероссийской молодёжной школы «Прикладные методы статистического, 81.95kb.
• Программа проведения всероссийской молодёжной школы «Прикладные методы статистического, 78.37kb.
• Задачи на графах программа, 81.89kb.
• А. В. Бернштейн, заведующий лабораторией, 122.14kb.
• И. И. Мечникова Институт математики, экономики и механики Кафедра математического обеспечения, 900.66kb.
• Нечаев Дмитрий Юрьевич, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры информационных, 419.94kb.
• Токсубаева Лидия Сергеевна доцент кгу трофимов Анатолий Михайлович профессор кгу конференция, 336.82kb.
• Программа дисциплины "Прикладной экономический анализ на основе пакетов: spss и Stata", 105.49kb.
• Владимира Игоревича Соловьева, к э. н., проф кафедры прикладной математики и директора, 31.64kb.

Тема нашего занятия: «Квадратные неравенства. Задачи с параметрами».

Мы вспомним решение квадратных неравенств, проведем исследовательскую работу, подводящую нас к решению задач с параметрами в этой теме и рассмотрим один из подходов к решению неравенств с параметрами.

II. Итак, вспомним решение квадратных неравенств. У каждого из вас есть лист с задачами. Ваша задача – решить восемь неравенств и ответить на вопрос девятого задания. Справа от предложенных заданий запишите ответы.

Решите неравенства	Ответ	Для записей
х2 -6х + 8 <0
х2 + 5х + 4 ≥ 0
(х – 2)2 > 0
(х + 7)2 ≤ 0
х2 ≤ 7
х2 > 5
2x2 + x + 19 <0
2x2 + x + 19 >0
9. f(x) = ax2+bx+c, a≠0 Определить знак a и D (D=в2-4ас)

Контрольная карточка

Решите неравенства	Ответ	Для записей
1. х2 -6х + 8 <0	(2; 4)
2. х2 + 5х + 4 ≥ 0	(-∞; -4] [-1;+∞)
3. (х – 2)2 > 0	(-∞; 2) (2;+∞)
4. (х + 7)2 ≤ 0	x=-7
5. х2 ≤ 7
6. х2 > 5	(-∞;)(;+∞)
7. 2x2 + x + 19 <0	
8. 2x2 + x + 19 >0	(-∞;+∞)
9. f(x) = ax2+bx+c, a≠0 Определить знак a и D (D=в2-4ас) г) д)	а) а>0; D>0 б) а>0; D=0 в) а>0; D<0 г) а<0; D>0 д) а<0; D=0 е) а<0; D<0

Сверим ответы. Проанализируем работу.

Итак, неравенства вида ax²+bx+c v 0, а≠0 – квадратные неравенства.

Если Вы решаете неравенство графически, то используете эскиз графика квадратичной функции и в задании № 9 вспомнили, что возможны шесть положений параболы (служащей графиком квадратичной функции) относительно оси ОХ. Эти положения зависят от старшего коэффициента а и дискриминанта квадратного трехчлена D.

III. Начнем исследовательскую работу.

- Сколько видов квадратных неравенств по знаку существует?

Ответ: четыре

-Какие это неравенства?

Ответ: ax²+bx+c≥0 (1)

ax²+bx+c≤0 (2)

ax²+bx+c>0 (3)

ax²+bx+c<0 (4)


- Какие виды ответов (как числовые множества) могут быть в квадратных неравенствах? Назовите их, используя подготовительную работу. Посовещайтесь в группах. При ответе используйте графическую модель и символическую запись.

Ответ:

1	Отрезок	5	Точка х=х1
2	Интервал	6	Вся прямая без одной точки
3	Объединение двух непересекающихся лучей	7	Вся прямая
4	Объединение двух непересекающихся открытых лучей	8	Решений нет 

где х₁ и х₂ – корни уравнения ax²+bx+c=0 , а≠0, х₁ < х₂


-Четыре вида неравенств и восемь видов ответов связаны между собой старшим коэффициентом квадратного трехчлена а и дискриминантом D. Попробуем найти эту взаимосвязь.

Составим и заполним таблицу. На Ваших столах лежат листы с заготовкой для таблицы.

В верхней строке запишем четыре вида квадратных неравенств по знаку, в левом столбце – восемь видов ответов.

		ax2+bx+c≥0	ax2+bx+c≤0	ax2+bx+c>0	ax2+bx+c<0
1	Отрезок
2	Интервал
3	Объединение двух непересекающихся лучей
4	Объединение двух непересекающихся открытых лучей
5	Точка х=х1
6	Вся прямая без одной точки
7	Вся прямая
8	Решений нет 

Задание:

I группа заполняет столбец для (1) неравенства,

II группа заполняет столбец для (2) неравенства,

III группа заполняет столбец для (3) неравенства,

IV группа заполняет столбец для (4) неравенства,

Работаете в группах, совещаетесь, чтобы прийти к верному решению.

Если группа готова – представитель от группы заполняет свой столбец на доске (на доске подготовлена таблица).

Контрольная карточка

		ax2+bx+c≥0	ax2+bx+c≤0	ax2+bx+c>0	ax2+bx+c<0
1	Отрезок			-	-
2	Интервал	-	-
3	Объединение двух непересекающихся лучей			-	-
4	Объединение двух непересекающихся открытых лучей	-	-
5	Точка х=х1			-	-
6	Вся прямая без одной точки	-	-
7	Вся прямая
8	Решений нет 

После групповой работы каждый поработает самостоятельно – заполнит остальные столбцы таблицы, сверит свои записи с записями на доске.

Таблица заполнена верно.

IV. Используем результаты исследовательской работы.


Предлагается задача с параметром.

Решите неравенство: ах² + (2a-3)x + а +1≤0 для каждого действительного значения параметра а.

Разобьем решение задачи на случаи.

I группа определит, при каких значениях а множеством решений неравенства является объединение двух непересекающихся лучей.

II группа – отрезок

III группа – точка (и найти значение х)

IV группа рассмотрит два случая: множеством решений является вся прямая и неравенство не имеет решений.

Группы совещаются, находят ответ на вопрос.


Решение I группы

Множеством решений данного неравенства является объединение двух непересекающихся лучей, если выполняются условия . Найдём дискриминант

. Подставим значение дискриминанта в систему и получим . Решением системы является множество значений .

Найдём корни уравнения ах² + (2a-3)x + а +1=0. , .

Найдём разность и сравним её с нулём в данном случае.



Если то

Ответ I группы: при а <0 множеством решений данного неравенства является объединение двух непересекающихся лучей, то есть (- ∞; х₂] [х₁;+∞), где , .


Решение II группы

Множеством решений данного неравенства является отрезок, если выполняются условия . Подставим значение дискриминанта D= 9-16а в систему и получим

. Решением системы является множество значений а  (0; 9/16). Из предыдущего решения (решения I группы) следует, что .

Если а  (0; 9/16), то