Геометрия и топология

Вид материала

Программа

Содержание Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса Содержание курса Тема 2. Основные черты топологического мышления Тема 3. Непрерывные отображения и топологические инварианты; топологические пространства и гомеоморфизмы Тема 4. Метрические пространства Тема 5. Теоремы существования и неподвижные точки Тема 6. Приложение топологии к высшей алгебре. Комплексные числа Тема 7. Приложение топологии к линейной алгебре. Матрицы и нормы. Переход к рассмотрению теорем существования решений у интеграл Тема 8. Криволинейные и поверхностные интегралы. Топологические аспекты «именных» теорем Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной Тема 10. Основные понятия комбинаторной геометрии Тема 11. Основы дискретной геометрии Тема 12. Выпуклые множества

Подобный материал:

• Шихаб геометрия тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых многообразий, 138.61kb.
• В середине XIX столетия появилось новое течение в геометрии топология. «Топология», 171.1kb.
• " Геометрия и топология "(010500) Общая трудоемкость, 12.81kb.
• Липагина Лариса Владимировна кандидат физико-математических наук, ученое звание: доцент,, 24.35kb.
• Лекция 12/09/06 Тема: «Топология вс. Обобщенная модель вс. Основные принципы построения, 47.24kb.
• Программа вступительного экзамена в магистратуру по магистерской программе «Геометрия, 98.69kb.
• М. К. Мамардашвили психологическая топология пути м. К. Мамардашвили Психологическая, 36192.47kb.
• Доклад глава 74. Право на топологии интегральных микросхем статья 1448. Топология интегральной, 357.29kb.
• Урок по теме «Первый признак равенства треугольников», 38.38kb.
• Программа разработана на основе авторской программы Белошистой А. В. Пояснительная, 96.55kb.

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

Крюковский А.С., Келлин Н.С.


Для очной формы обучения ВСЕГО 68

лекции 18

семинары 16

Всего аудиторных занятий 34

самостоятельная работа 34


Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной

образовательной программы:

Аналитическая геометрия: метод координат, прямая на плоскости, кривые второго порядка, координаты и векторы в пространстве, плоскость, прямая в пространстве, поверхности второго порядка, движения и афинные преобразования, вектор-функции одной и двух переменных, многомерная евклидова геометрия; дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, элементы топологии и римановой геометрии.


Целью изучения дисциплины является знакомство с основными понятиями, положениями и методами комбинаторной (алгебраической) топологии, получение навыков построения математических доказательств путем логически непротиворечивых рассуждений, с широким использованием идеи непрерывности, уже введенной в рамках курса математического, анализа за первый семестр, навыков решения прикладных задач.

Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса: в объёме программы «Математика» за первый-второй семестры

В результате изучения дисциплины каждый студент должен:

• иметь представление о:
  

• о месте и роли топологии в современном мире, мировой культуре и истории развития самой математики;
  
• о топологическом мышлении, о развитии идеи непрерывности и принципе неподвижной точки и основанных на нем математических доказательствах;
  
• структуре современной топологии и геометрии;
  
• об основных проблемах современной геометрии и топологии.
  

• знать:
  

• базовые понятия и теоремы общей, комбинаторной и дифференциальной топологии; комбинаторной и дискретной геометрии; выпуклого анализа.
  

• уметь:
  

• линейной алгебры и аналитической геометрии (касательные, нормали, бинормали, формулы Френе);
  
• дифференциального и интегрального исчислении функций нескольких переменны (описание экстремумов и более общо – критических точек);
  
• теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уметь находить условия существования решения основных типов дифференциальных уравнений и систем, в первую очередь линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами, автономных систем;
  
• в теории линейных операторов в линейных и, в частности, в евклидовых пространствах (решения уравнений как неподвижные точки).
  

Основные виды занятий: лекции и практические занятия.

Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы.

Основной вид рубежного контроля знаний: контрольная работа, зачет.


СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Введение

Тема 1. Топология – одна из основных частей современной математики

Топология как часть математического анализа и одновременно всей общечеловеческой культуры. Современный топологический язык. Взгляды на топологию выдающихся деятелей прошлого и настоящего, их оценка ее роли и места внутри самой математики и в решении интеллектуальных задач из различных сфер человеческой деятельности. Роль топологии в гуманитарных науках. Основные этапы становления современной топологии (различия между общей и комбинаторной топологией). Структура современной топологии (с освещением ее компьютерного аспекта).

Раздел 1.

Множества и пространства, непрерывные отображения и неподвижные точки, гомеоморфизмы и диффеоморфизмы

Тема 2. Основные черты топологического мышления

Основные черты топологического мышления, аксиоматический подход, различные системы аксиом топологического пространства. Идея непрерывного отображения и неподвижных точек. Элементы множеств и пространств; конечно- и бесконечномерные пространства; непрерывные отношения и отображения – гомеоморфизмы. Понятие размерности, фракталы – множества дробной размерности.

Тема 3. Непрерывные отображения и топологические инварианты; топологические пространства и гомеоморфизмы

Задачи, приводящие к исследованию общих непрерывных отображений (разрезание многослойного бутерброда, «ежа нельзя причесать», равновесие шарнира в поезде). Открытые и замкнутые множества; аксиоматика топологических пространств. Различные типы топологических пространств (компактные; хаусдорфовы, регулярные, нормальные; метрические, нормированные; банаховы). Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы и свойства, ими сохраняемые. Интервал, отрезок, окрестность точки, многомерные евклидовы пространства.

Тема 4. Метрические пространства

Аксиомы функции расстояния, различные метрики одного и того же пространства. Обобщение классических теорем анализа (теоремы Коши, Вейерштрасса, лемма Бореля) с применением понятия компактности. Полные пространства. Предельные точки и точки накопления. Индуктивные и проективные пределы.

Тема 5. Теоремы существования и неподвижные точки

Векторные поля на плоскости и сфере; их особые точки. Эквивалентность векторных поле и отображений. Индекс векторного поля относительно замкнутой кривой. Отображения сферы в плоскость. Векторные поля, касательные к сфере. Неподвижные точки при отображении отрезка и круга на себя. Принцип сжатых отображений.

Раздел 2.

Приложение топологических Методов доказательства к другим Частям изучаемого курса математики

Тема 6. Приложение топологии к высшей алгебре. Комплексные числа

Понятие гомотопической эквивалентности. Постоянство порядка кривой относительно точки. Доказательство основной теоремы алгебры.

Тема 7. Приложение топологии к линейной алгебре. Матрицы и нормы. Переход к рассмотрению теорем существования решений у интегральных уравнений

Различные способы задания нормы матрицы. Евклидово пространство матриц. Матрицы с нормой, меньшей 1; их обратимость. Итерационный способ решения систем линейных уравнений с подобными матрицами. Решение уравнения Вольтерра II рода с помощью резольвент. Резольвенты некоторых интегральных уравнений Вольтерра.

Тема 8. Криволинейные и поверхностные интегралы. Топологические аспекты «именных» теорем

Криволинейные интегралы первого рода; длина дуги пространственной кривой. Криволинейные интегралы второго рода, случай полного дифференциала, формула Грина. Поверхностные интегралы первого и второго рода, различие в связности для формул Стокса, и Гаусса-Остроградского. Понятие ориентируемого и неориентируемого многообразия. Классификация двумерных многообразий (гладких, замкнутых).

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.

Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Доказательство с применением теорем о неподвижной точке. Автономные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство (плоскость), фазовая кривая. Классификация типов положений равновесия автономных систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Раздел 3.

Основы дискретной и комбинаторной геометрии; теория выпуклости

Тема 10. Основные понятия комбинаторной геометрии

Представление о многообразии комбинаторных проблем геометрии. Примеры теорем (Рамсея, Кёнига Дилуорса и др.) Постановка обобщенной проблемы Эрдёша (для случаев n>6 и n < 4) и ее решение для первого нетривиального случая (n = 4).

Тема 11. Основы дискретной геометрии

Основные понятия дискретной геометрии. История (проблема Ньютона – Грегори). Основные проблемы, связанные с укладками и покрытиями. Матричные и числовые методы их формализации и приближенного решения. Прикладные задачи о паркетах и рациональном раскрое (результаты Л.В.Канторовича).

Тема 12. Выпуклые множества

Общее определение выпуклости в линейных пространствах. Выпуклые оболочки и надграфики. Выпуклые функции и выпуклые множества. Элементы теории мер Минковского: средняя ширина и др. средние. Экстремальные задачи на классах выпуклых фигур; изопериметрическая задача. Выпуклые конусы в банаховых пространствах. Результаты Красносельского о решении операторных уравнений.


ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии. М.:«Наука», 1976. (или любое другое издание).
   
2. Александров П.С., Ефремович В.А. Очерк основных идей топологии. М.:«Наука», Т.1-3, (любое издание).
   
3. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.:«Наука», 1974.
   
4. Келли Дж. Общая топология. М.:«Наука», 1968.
   
5. Д.Гильберт и С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. М.-Л., ГИТТЛ, 1951. (или любое другое издание).
   
6. Энциклопедия элементарной математики. М.:«Наука», Тт.4-5, 1963-1966.
   
7. И.Б.Листинг. Предварительные исследования по топологии. М.-Л., 1932.
   

Дополнительная:

1. Стинрод Н., Чинн У. Основные понятия топологии. М.:«Мир», 1968.
   
2. О.Оре. Графы и их применение. М.:«Мир», 1965.
   
3. Дж.Милнор, А.Уоллес. Дифференциальная топология. М.:«Мир», 1972.
   
4. Г.Рингель. Теорема о раскраске карт. М.:«Мир», 1977.
   
5. Дж.Торп. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.:«Мир», 1982.
   
6. Г.Хадвигер, Г.Дебруннер. Комбинаторная геометрия плоскости. М.:«Наука», 1965.
   
7. Л.Фейеш-Тот. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. М., ИЛ, 1958.
   
8. Дж.Рокафеллар. Выпуклый анализ. М.:«Мир», 1985.
   
9. М.А.Красносельский. Положительные решения операторных уравнений. М.:«Наука», 1962.