Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет Высшая школа экономики» Факультет Математики программа дисциплины

Вид материала

Программа дисциплины

Содержание Программа дисциплины 1Область применения и нормативные ссылки 2Цели освоения дисциплины 3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины 4Место дисциплины в структуре образовательной программы 5Тематический план учебной дисциплины 6Формы контроля знаний студентов 6.1Критерии оценки знаний, навыков 7Содержание дисциплины Раздел 2. Комбинаторика выпуклых многогранников. Раздел 3. Геометрические неравенства. Раздел 2. Применения выпуклых многогранников в математике. 8Образовательные технологии 9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента 9.1Тематика заданий текущего контроля 10Порядок формирования оценок по дисциплине 11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 11.1Базовый учебник 11.2Основная литература 11.3Дополнительная литература

Подобный материал:

• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 91.24kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 69.06kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 269.21kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 325.21kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 344.56kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 371.48kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 235.35kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 379.28kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 1212.13kb.
• Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 995.63kb.

Правительство Российской Федерации


Государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Государственный университет - Высшая школа экономики»


Факультет Математики


Программа дисциплины Выпуклые многогранники


для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра


Автор программы:

Тиморин В.А., к.ф.-м.н., vtimorin@hse.ru


Одобрена на заседании кафедры геометрии и топологии «___»____________ 2010 г.

Зав. кафедрой В.А. Васильев


Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2010 г.

Председатель С.К.Ландо


Утверждена УС факультета математики «___»_____________2010 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________


Москва, 2010

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

• ГОС ВПО;
  
• Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
  
• Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2010 г.
  

2Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Выпуклые многогранники» являются

• ознакомление студентов с основными комбинаторными структурами, связанными с теорией выпуклых многогранников
  
• освоение методов выпуклой геометрии и линейного программирования
  
• представление о диапазоне применений методов и понятий теории выпуклых многогранников как в самой математике, так и за ее пределами.
  

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

• Знать основные определения и формулировки основных теорем теории выпуклых многогранников.
  
• Уметь пользоваться симплекс-методом, вычислять комбинаторные инварианты выпуклых многогранников, применять теорию выпуклых многогранников в задачах, приходящих из других областей математики, таких как геометрия, топология, математическая физика, теория особенностей и т.д.
  
• Иметь навыки работы с комбинаторными и алгебраическими структурами (матроиды, симплициальные комплексы, диаграммы Гейла, алгебры выпуклых цепей и т.п.), связанными с теорией выпуклых многогранников
  

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы			Самостоя­тельная работа
			Лекции	Семинары	Практические занятия
	Линейная оптимизация (линейное программирование)		5	5		17
	Комбинаторика выпуклых многогранников		5	5		17
	Геометрические неравенства		5	5		17
	Применения выпуклых многогранников в математике		5	5		17
	Итого:	108	20	20		68

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год				Параметры **
		1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	*		9		письменная работа 60 минут
Итоговый	Экзамен				v	письменный экзамен 90 мин.

3, 4 модули

6.1Критерии оценки знаний, навыков

Промежуточная письменная работа: знакомство с методами линейного программирования (в особенности симплекс-методом), знание определений основных комбинаторных инвариантов выпуклых многогранников, навыки работы с симплициальными комплексами и диаграммами Гейла.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7Содержание дисциплины

Раздел 1 Линейная оптимизация (линейное программирование).

Примеры задач линейного программирования (математическая экономика, логистика и т.д.) - 1 лекция, 1 семинар. Определение выпуклого многогранника, граней, реперов — 1 лекция, 1 семинар. Основной шаг симплекс-метода (перемещение от репера к соседнему реперу), простые многогранники — 1 лекция, 1 семинар. Инициализация (выбор первого репера) — 1 лекция, 1 семинар. Комбинаторные и геометрические следствия — 1 лекция, 1 семинар.

Литература: [ЕКК]

Раздел 2. Комбинаторика выпуклых многогранников.

Определение f-вектора и h-вектора, соотношения Дена-Соммервилля — 1 лекция, 1 семинар. Циклические многогранники, теорема о максимальном числе граней — 1 лекция, 1 семинар. Комбинаторика симплициальных комплексов — 1 лекция, 1 семинар. Диаграммы Гейла — 1 лекция, 1 семинар. Примеры комбинаторных многогранников (пермотоэдры, ассоциэдры и т.д.), вычисление их комбинаторных инвариантов - 1 лекция, 1 семинар.

Литература: [ЕКК], [Б], [G], [Z]

Раздел 3. Геометрические неравенства.

Изопериметрическое неравенство и его аналоги в геометрии Минковского — 1 лекция, 1 семинар. Неравенство Брунна-Минковского — 1 лекция, 1 семинар. Неравенства на смешанные дискриминанты — 1 лекция, 1 семинар. Многочлен объема, неравенство Александрова-Фенхеля — 2 лекции, 2 семинара.

Литература: [А], [Z]

Раздел 2. Применения выпуклых многогранников в математике.

Многогранник Ньютона системы уравнений, теорема Кушниренко-Бернштейна — 2 лекции, 2 семинара. Многогранник Ньютона особенности — 1 лекция, 1 семинар. Отображения момента и многогранник моментов — 1 лекция, 1 семинар. Весовые многогранники в теории представлений — 1 лекция, 1 семинар.

Литература: [E]

8Образовательные технологии

В курсе возможны мастер-классы специалистов в различных областях математики, использующих теорию выпуклых многогранников. Возможны также презентации и математические эксперименты с использованием систем компьютерной алгебры и средств визуализации.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля

Примерные вопросы/ задания для домашних заданий и промежуточной контрольной работы:

1. Опишите все многогранники, которые одновременно простые и симплициальные.
   
2. Докажите, что многогранник, двойственный к произведению двух треугольников, является 2-смежностным, то есть любые две вершины соединены ребром.
   
3. Найдите f-вектор и h-вектор произведения двух симплексов.
   
4. Задайте n-мерный пермутоэдр системой неравенств.
   
5. Опишите все комбинаторные типы четырехмерных многогранников с 6 вершинами.
   
6. Найдите многочлены объема для симплекса и куба.
   
7. Среди всех четырехугольников с заданным периметром, опишите четырехугольники максимальной площади.
   
8. Пользуясь многогранником Ньютона, найдите число решений данной системы полиномиальных уравнений.
   

10Порядок формирования оценок по дисциплине

Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских и практических занятиях: оценивается правильность решения задач на семинаре. Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - О_{аудиторная}.

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: контрольные вопросы, короткие тесты. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – О_{сам. работа}.


Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

О_{текущий} = О_дз ;

Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где О_зачет – оценка за работу непосредственно на зачете:

О_{промежуточный} = 0,4·О_зачет + 0,4·О_{текущий} + 0,1·О_{сам. работа} + 0,1·О_{аудиторная}


Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где О_{экзамен} – оценка за работу непосредственно на экзамене:

О_{итоговый} = 0,4·О_{экзамен} + 0,4·О_{текущий} + 0,1·О_{сам. работа} + 0,1·О_{аудиторная}


На зачете студент может получить дополнительный вопрос, ответ на который оценивается в 1 балл. Таким образом, результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета, получаемая на пересдаче, выставляется по формуле

О_{промежуточный} = 0,4·О_зачет + 0,4·О_{текущий} + 0,1·О_{сам. работа} + 0,1·О_{аудиторная} + О_{доп.вопрос}


На экзамене студент может получить дополнительный вопрос, ответ на который оценивается в 1 балл. Таким образом, результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена, получаемая на пересдаче, выставляется по формуле

О_{итоговый} = 0,4·О_{экзамен} + 0,4·О_{текущий} + 0,1·О_{сам. работа} + 0,1·О_{аудиторная} + О_{доп.вопрос}


В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:

О_{дисциплина} = 0,4·О_{промежуточный} + 0,6·О_{итоговый}

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник

[ЕКК] Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К., «Многогранники, графы, оптимизация».

Москва: «Наука», 1981

11.2Основная литература

[А] Александров А.Д., «Выпуклые многогранники», Москва: ГИТТЛ, 1950

[Б] Брёнстед А., «Введение в теорию выпуклых многогранников», Москва: «Мир», 1988.

11.3Дополнительная литература

[G] B. Gruenbaum, “Convex polytopes”, Springer; 2nd edition (2003)

[Z] G. Ziegler, “Lectures on polytopes”, Volume 152 of Graduate texts in mathematics, Springer, 1995

[E] G. Ewald, “Combinatorial convexity and algebraic geometry», Volume 168 of Graduate texts in mathematics, Springer, 1996

11.4Справочники, словари, энциклопедии

ссылка скрыта

ссылка скрыта

ссылка скрыта

ссылка скрыта

ссылка скрыта