Arch процессы. Определение, модели, приложения
Вид материала | Документы |
2.3 Обобщенный метод моментов ОMM оценки асимптотически более эффективны, чем оценки МКМП |
- Служебные программы : очистка диска, восстановление системы (точки отката), дефрагментация, 21.88kb.
- Эконометрика2 Лекция 6 arch, garch модели, 12.91kb.
- Определение системы. Сложные системы. Системный подход, 23.24kb.
- Лекция: Спецификация функциональных требований к ис: Процессные потоковые модели. Процессный, 308.8kb.
- Программа дисциплины Многомерные модели для волатильности и их приложения в финансовых, 97.34kb.
- Шкаберин В. А. Определение математической модели. Преимущества математического моделирования., 66.58kb.
- Лекция №2 Тема: «Алгоритм информационная модель явления, процесса или объекта», 95.01kb.
- Программа заседаний Секции Математической экономики Международной школы семинара «Методы, 32.87kb.
- Краткое содержание: Прямая задача динамики машин. Понятие о динамической модели машины, 252.59kb.
- Математическое моделирование и методы оптимизации Общая трудоемкость изучения дисциплины, 22.02kb.
2.3 ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД МОМЕНТОВ
Обобщенный метод моментов (ОMM) обладает следующими достоинствами:
- не требует явных предположений относительно плотности условного распределения и допускает присутствие ненулевых куртозиса и асимметрии;
- использует лишь производные первого порядка функций
и
и позволяет избежать тем самым применения методов численного дифференцирования;
- асимптотически более эффективен, чем МКМП. Проверка метода на выборочных данных, демонстрирующих экстремально высокие коэффициенты асимметрии и куртозиса, свидетельствует о значительном выигрыше в эффективности.
Дополним модель (М.1)-(М.4) предположениями относительно третьего и четвертого моментов распределения

(М.5)

(М.6)

где




Спецификация (М) обеспечивает две группы уравнений, идентифицирующих истинные значения параметров. Пусть

– строка из двух элементов, которую далее будем обозначать, опуская аргументы




(3.19)

идентифицирует истинный вектор параметров. Определим условные матрицу ковариации и якобиан


(3.20)

(3.21)

Класс оценок ОММ порождается различными наборами инструментальных переменных, выбор которых ограничен последовательностью

Пусть l инструментов могут быть организованы в матрицу




(3.21)

Матрица условной ковариации эмпирических моментов в точке

(3.22)

Если l=m, то оценки

(3.23)

если l>m, то минимизацией критериальной функции – квадратичной формы, построенной из (3.21) и (3.22):
(3.24)

При любом выборе инструментов оценки, определяемые (3.23) или (3.24), состоятельны и асимптотически нормальны с асимптотической матрицей ковариации
(3.25)


Инструменты W, такие что

(3.26)

Асимптотическая матрица ковариации таких оценок меньше, чем при любом ином выборе инструментов:
(3.27)

Воспользуемся матрицами








между обращенными матрицами ковариации, относящимися к оптимальному и произвольному наборам инструментов, соответственно. Если симметричная 2n 2n матрица такова, что


Эта матрица положительно полуопределена, поскольку матрица в больших скобках идемпотентна. Отсюда немедленно следует положительная полуопределенность

Оптимальные в классе ОMM оценки асимптотически более эффективны, чем оценки МКМП. Достаточно показать, что асимптотическая матрица ковариации последних приводима к виду (3.25) с помощью какого-либо набора неоптимальных инструментов. Вклад наблюдения t в этот набор инструментов представляет собой матрицу


(3.28)

Если коэффициенты асимметрии и куртозиса действительно равны нулю, то такой набор инструментов является оптимальным. Следовательно, при верной гипотезе (N) методы моментов и максимального правдоподобия асимптотически эквивалентны.
Выбор инструментов (3.28) приводит к следующим совпадениям:
- эмпирических моментов и градиента критериальной функции