Шкаберин В. А. Определение математической модели. Преимущества математического моделирования. Требования к математическим моделям. Классификация математических моделей
| Вид материала | Документы |
- Лекции по дисциплине «Математическое моделирование» для студентов и магистрантов специальности, 21.92kb.
- Построение и применение динамических межотраслевых моделей 13 Типы прикладных динамических, 88.67kb.
- Программа курса «Основы математического моделирования» Осень 2007, 25.35kb.
- Тематический план учебной дисциплины, 52.63kb.
- План изучения дисциплины № п/п, 155.57kb.
- Программа по курсу " Моделирование систем управления, 30.71kb.
- Задачи : 1 дать понятие математической модели, раскрыть суть метода математического, 187.03kb.
- 1. Введение. Основные понятия моделирования Общая характеристика проблем моделирования., 38.29kb.
- Темы лекционных занятий Принципы и методы математического моделирования. Базовые модели., 42.45kb.
- Курс «Основы математического моделирования» реализуется в рамках специальностей 0647, 117.15kb.
Шкаберин В.А.
Определение математической модели.
Преимущества математического моделирования. Требования к математическим моделям. Классификация математических моделей.
(фрагмент лекции, 2007)
- Определение математической модели. Требования, предъявляемые к математическим моделям.
Математическая модель – совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств и др.) и отношений между ними, которая адекватно отображает некоторые (существенные) свойства проектируемого технического объекта. Математические модели могут быть геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и др.
Главные требования к математическим моделям в САПР:
- адекватность представления моделируемых объектов;
Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью и оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности – область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых приделах.
- экономичность (вычислительная эффективность) – определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели (затраты машинного времени, используемая память и др.);
- точность – определяет степень совпадения расчетных и истинных результатов (степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели).
К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований:
- Вычислимость, т.е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).
- Модульность, т.е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).
- Алгоритмизируемость, т.е. возможность разработки соответсвующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.
- Наглядность, т.е. удобное визуальное восприятие модели.
2. Преимущества математического моделирования
Математическое моделирование – процесс построения математических моделей. Включает следующие этапы:
- постановка задачи;
- построение модели и ее анализ;
- разработка методов получения проектных решений на модели;
- экспериментальная проверка и корректировка модели и методов.
Качество создаваемых математических моделей во многом зависит от правильной постановки задачи. Необходимо определить технико-экономические цели решаемой задачи, провести сбор и анализ всей исходной информации, определить технические ограничения. В процессе построения моделей следует использовать методы системного анализа.
Процесс моделирования, как правило, носит итерационный характер, который предусматривает на каждом шаге итераций уточнение предыдущих решений, принятых на предшествующих этапах разработки моделей.
По сравнению с натурным экспериментом математическое моделирование имеет следующие преимущества:
1) экономичность (сбережение ресурсов реальной системы);
2) возможность моделирования гипотетических, т.е. нереализованных в природе объектов;
3) возможность реализации опасных или трудновоспроизводимых в природе режимов (критический режим ядерного реактора, работа систем ПРО);
4) возможность изменения масштаба времени;
5) большая прогностическая сила вследствие возможности выявления общих закономерностей;
6) универсальность технического и программного обеспечения производимой работы.
3. Классификация математических моделей
В табл. показаны виды математических моделей по различным признакам классификации.
Таблица. Классификация математических моделей
| Признаки классификации | Виды математических моделей |
| 1. Принадлежность к иерархическому уровню |
|
| 2. Характер отображаемых свойств объекта |
|
| 3. Способ представления свойств объекта |
|
| 4. Способ получения модели |
|
| 5. Особенности поведения объекта |
|
Приведенная классификация математических моделей может быть применена по отношению к любым объектам. Рассмотрим особенности различных видов моделей применительно к объектам (процессам) в машиностроении.
Математические модели на микроуровне производственного процесса отражают физические процессы, протекающие, например, при резании металлов. Они описывают процессы на уровне перехода.
Математические модели на макроуровне производственного процесса описывают технологические процессы.
Математические модели на метауровне производственного процесса описывают технологические системы (участки, цехи, предприятие в целом).
Структурные математические модели предназначены. для отображения структурных свойств объектов. Например, в САПР ТП для представления структуры технологического процесса, расцеховки изделий используется структурно – логические модели.
Функциональные математические модели предназначены для отображения информационных, физических, временных процессов, протекающих в работающем оборудовании, в ходе выполнения технологических процессов и т.д.
Теоретические математические модели создаются в результате исследования объектов (процессов) на теоретическом уровне. Например, существуют выражения для сил резания, полученные на основе обобщения физических законов. Но они не приемлемы для практического использования, т.к. очень громоздки и не совсем адаптированы к реальным процессам обработки материалов.
Эмпирические математические модели создаются в результате проведения экспериментов (изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерения его параметров на входе и выходе) и обработки их результатов методами математической статистики.
Детерминированные математические модели описывают поведение объекта с позиций полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей : формулы физических законов, технологические процессы обработки деталей и т.д.
Вероятностные математические модели учитывают влияние случайных факторов на поведение объекта, т.е. оценивают его будущее с позиций вероятности тех или иных событий. Примеры таких моделей: описание ожидаемых длин очередей в системах массового обслуживания, ожидаемых объемов выпуска сверхплановой продукции производственным участком, точности размеров в партии деталей с учетом явления рассеяния и т.д.
Аналитические модели - численные математические модели, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов системы записываются в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных, конечно-разностных и других соотношений и логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:
1) аналитическим, когда стремятся найти явные зависимости для искомых характеристик;
2) численным, когда получают численные значения выходных параметров для заданных входных параметров.
Аналитические решения удается обычно получить только при упрощающих предположениях и они сильно зависят от особенностей модели. Чаще применимы численные методы, но они дают лишь частные результаты, которые трудно обобщить.
Алгоритмические математические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.
При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени и в пространстве, причем имитируются составляющие процесс элементарные явления с сохранением его логической и временной структуры. Имитационное моделирование не имеет ограничений на класс решаемых задач.
Имитационные математические модели – это алгоритмические модели, отражающие развитие процесса (поведение исследуемого объекта) во времени при задании внешних воздействий на процесс (объект). Например, это модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.
Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. Существенной характеристикой таких моделей является структурное подобие объекта и модели. Это значит, что каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставится в соответствие элемент модели. При построении имитационной модели описываются законы функционирования каждого элемента объекта и связи между ними.
Работа с имитационной моделью заключается в проведении имитационного эксперимента. Процесс, протекающий в модели в ходе эксперимента, подобен процессу в реальном объекте. Поэтому исследование объекта на его имитационной модели сводится к изучению характеристик процесса, протекающего в ходе эксперимента.
Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени. Динамический процесс в имитационной модели протекает в так называемом системном времени. Системное время имитирует реальное время. При этом пересчет системного времени в модели можно выполнять двумя способами. Первый способ заключается в «движении» по времени с некоторым постоянным шагом. Второй способ заключается в «движении» по времени от события к событию, при этом считается, что в промежутках времени между событиями в модели изменений не происходит.