Geum.ru

Решение задач по стереометрии

Вид материалаРеферат

Содержание


Перпендикулярным сечением
Подобный материал:
Министерство образования и воспитания республики Марий Эл

Институт образования республики Марий Эл

Муниципальное учреждение отдела образования администрации г. Волжска


РЕФЕРАТ


«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ»


Выполнила: Баранова Светлана

Анатольевна,

учитель математики 1 категории средней школы 10

Рецензент: учитель математики 1

категории Дорофеева Л.И.


Марий Эл г. Волжск 2002

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Решение задач на вычисление и доказательство по стереометрии с применением тригонометрических и алгебраических методов является для многих поступающих в вузы настоящим камнем преткновения, хотя предлагаемые на вступительных экзаменах по математике задачи такого рода никогда не выходят по своему содержанию за пределы школьной программы. Неумение решать такие обычные проверочные задачи можно объяснить многими причинами, из которых можно выделить две основные:
  • недостаточный запас знаний из теоретической
    части и неактивное владение им;
  • незнание основных, т. е. наиболее часто
    применяемых методов решения стереометрических
    задач, что вытекает из недостаточно развитого
    логического мышления в приложении к задачам.

Активное владение же запасом теоретических знаний возможно только при систематическом решении самых разнообразных задач. Некоторые наиболее часто употребляемые методы решения стереометрических задач рассмотрены на соответствующих примерах моего реферата. Данный реферат предназначен помочь готовящимся к поступлению в вузы, в которых предъявляются повышенные требования по математике, овладеть простым методом построения логического мыслительного процесса, приспособленного к решению именно стереометрических задач. Это так называемый аналитико-синтетический метод решения задач по геометрии, применяемый неосознанно практически каждым учащимся, основан на анализе схемы мышления человека при решении задач.

Каждый знает, что даже одну и ту же геометрическую задачу можно решить разными путями, иногда существенно. Но среди этих возможных путей решения задачи есть одно решение, самое короткое. Такое решение, требующее минимум затрат времени и минимум затраченной мыслительной энергии, принято называть "красивым" или "оригинальным", хотя оно должно быть самым естественным. Можно ли относительно быстро научиться находить решение задачи, если и не самое короткое, то хотя бы близкое к нему? Опыт показывает, что можно. Можно, если овладеть приёмами построения

определённой последовательности рассуждений, т. е. овладеть приёмами нахождения такой последовательности использования известных теорем и правил, чтобы довольно быстро и без ошибок получить решение поставленной задачи. Такие простые приёмы и содержит предлагаемый аналитико-синтетический метод.

Но читатель должен понимать, что единого универсального метода для решения даже школьных задач по стереометрии нет и быть не может. Решение даже и не очень трудной геометрической задачи - сам по себе достаточно сложный процесс. Никакие рекомендации не могут предусмотреть всех возможных случаев, возникающих при решении задач. Поэтому рекомендуемый ниже для усвоения, овладения и неоднократного воспроизведения аналитико-синтетический метод решения геометрических задач не будет служить некоей волшебной палочкой на все случаи жизни. Ибо процесс творчества вообще, в том числе и математического творчества, элементарным примером которого служит и самостоятельное решение геометрических задач, невозможно в принципе загнать в жёсткие и неизменные рамки холодной логической схемы. Однако рассматриваемый здесь аналитико-синтетический метод, как показывает опыт его применения, оказывается весьма эффективным при решении подавляющего большинства простых обучающих, контролирующих задач того типа, которые обычно на вступительных экзаменах. Гибкое и уверенное владение этим методом в комбинации с другими методами решения геометрических задач позволяет решить любую задачу по элементарной геометрии, если для её решения не требуется специфические или выходящие за рамки школьной программы приёмы.

Предварительно вкратце рассмотрим логическую схему процесса решения некоей задачи, которая в данном случае является объективным отображением творческого процесса решения.










На рисунке 15 изображена данная пирамида, D и Е соответственно середины рёбер АВ и ВС.










Спроектируем пирамиду на плоскость, перпендикулярную CD(рис.16): можно считать, что она содержит ребро АВ. При этом D проектируется в точку D1, точка Е - в Е1 - середину отрезка B'D'. Очевидно, B1D1=A1B1/2=AB/2=2√2, S1D1 ┴ S1D1 и S1D1=SC=2.

Искомое расстояние равно расстоянию от точки D1 до прямой SE1, т.е. равно высоте в прямоугольном треугольнике S1D1E1, проведённой к гипотенузе S1E1.

Имеем E1D1=√2, SE=√(SD)2+ (ED)2 = √6.

Итак, искомое расстояние равно

(S1D1●E1D1)/S1E1=2√2/√6=2/√3.

Поскольку SE=√SC2+CE2 = √12, то можем найти α - искомый угол между прямыми SE и SD:

sin α = SE/SE = √6/√l2 = √2/2, α = π/4.

Ответ: π/4


ЗАДАЧА № 10


Через ось конуса проведены две перпендикулярные между собой плоскости. Найти радиус шара, вписанного в одну из образовавшихся частей, если радиус основания конуса равен r, а угол наклона образующих к плоскости основания равен α.

РЕШЕНИЕ.

Если х - радиус искомого шара, то расстояние от его центра до центра основания конуса равно x√3 . В самом деле, пусть проведённые плоскости и плоскость основания конуса являются координатными плоскостями (осями являются линии пересечения этих плоскостей). При соответствующем выборе направления осей центр шара Q будет иметь координаты (х, х, х) значит, OQ=х√3.

Проведём сечение через центр шара и ось конуса (рис.17,18).










На рисунке 18 изображён треугольник SOA, представляющий собой "половину" этого сечения. D - точка касания шара с плоскостью основания, угол QAD= α/2, AD=xctg α/2, OD=x√2 .

Поскольку OD+DA=r, то х (√2 +ctg α /2)=r.

О т в е т: r/(√2+ctg α/2).

ЗАДАЧА №11

Радиус основания конуса равен R. Шар касается плоскости основания конуса и делит каждую образующую на три равные части. Определить объём конуса.

РЕШЕНИЕ.

Это типичная задача на круглые тела, только положение шара необычно. Как и во всех круглых телах, выполним осевое сечение (читателю нужно только доказать для себя, что центр этого шара находится на высоте конуса, т.к. он делит каждую образующую на три равные части), оно изображено на рис.19 . Радиус основания известен, для решения задачи надо найти лишь DK - высоту конуса, используя условия: AB=BC=CD.

Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, который получается при пересечении призмы плоскостью, проведенной перпендикулярно боковому ребру. Стороны перпендикулярного сечения служат высотами соответствующих боковых граней, отрезок MN - высота грани BB1С1C.

Для прямой призмы перпендикулярным сечением служит основание, площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней

и может быть вычислена по формуле:

Sбп=pl

где р - периметр перпендикулярного сечения, 1 – длина бокового ребра, для любой призмы р- периметр основания.

Площадь полной поверхности призмы поверхности призмы и двух ее оснований.

Объем призмы вычисляется по формуле:

V=Sпl

где S - площадь перпендикулярного сечения, l - длина боковой грани

или по формуле:

V=SH

где S - площадь основания, Н- длина высоты.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм, следовательно, у параллелепипеда противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и каждая делится этой точкой пополам.



Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называется прямоугольным. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и

d2 = a2 + b2 + c2

d - длина диагонали, а, b, с - длины трех ребер, выходящих из одной вершины прямого параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда можно вычислить по формуле:

V=аbс.

Прямоугольный параллелепипед, гранями которого служат квадраты, называется кубом.