Учебное пособие г. Пермь, 2009 Оглавление Глава Понятие и сущность рисков Понятие риска Классификация рисков Подходы к обнаружению рисков

Вид материала

Методы теории игр.
Критерии оптимальности
Платежная матрица
Выбор оптимального плана методом построения деревьев событий
С помощью дерева решений рассмотрим задачу выбора оптимального проекта реконструкции фабрики — химчистки.

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Методы теории игр.

Теория игр является теорией математических моделей принятия решений в условиях конфликтов. Методы принятия решений в играх с природой зависят от того, известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или неопреденности.

П

остроена следующая платежная матрица игры с природой:

П₁П₂ … П_n

P₁ e₁₁e₁₂ … e₁_n

E= Р₂ e₂₁e₂₂… e₂_n

Р_m e_m₁ e_m₂… e_mn

Здесь игрок 1 имеет m возможных ситуаций P₁, P₂, P_m, а у природы имеется n возможных сотояний (стратегий) П₁,П₂ , … П_n

Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей. Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды.

, где при заданном j.

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую стратегию игрока, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими.

Критерии оптимальности.

Показатель	Формула	Название
Наибольшая осторожность		Критерий гарантированного результата (Вальда)
Наименьшая осторожность		Критерий оптимизма
Крайняя осторожность		Критерий пессимизма
Минимальный риск		Критерий Сэвиджа
Компромисс в решении		Критерий Гурвица

Задача. По данным наблюдений за предшествующее 11 лет предприятие в течении апреля – мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов, 2000 платьев и 300 плащей в условиях прохладной погоды 1000 костюмов, 500 платьев и 800 плащей в условиях рбычной погоды 800 костюмов 1100 платьев и 600 плащей. Затраты на единицу продукции в течении указанных месяцев составили: костюмы 40 ден. ед., платья 10 ден. ед., плащи 15 ден. ед. Цена реализации костюмы 50 ден. ед., платья 20 ден. ед., плащи 28 ден. ед. Определить выпуск продукции с учетом максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды.

Задача рассматривается как игра с природой. Ее отличительная особенность состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников (предприятие), называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре. Первоочередной задачей является построение платежной матрицы. Предприятие располагает тремя чистыми стратегиями: стратегия Р, с расчетом на теплую погоду, стратегия Р₂ с расчетом па прохладную погоду и стратегия Р₃ с расчетом на обычную погоду. Природа, рассматриваемая как второй игрок, также располагает тремя стратегиями: обычная погода (стратегия П,), прохладная погода (стратегия П₂) и теплая погода (стратегия П₃).

Если предприятие выберет стратегию Р„ то в случае обычной погоды (стратегия природы П,) доход составит: (50 - 30) 600 + (20 - 10) 1100 + (28 - 15) 300 - (20 - 10) (2000 - 1000)= 17900 ден. ед.,

в случае прохладной погоды (стратегия природы П₂) доход будет равен:

20 600 + 10 500 + 13 300 – 10 (2000 - 500) = 5900 ден. ед.,

и в случае теплой погоды (стратегия природы П₃) имеем доход, равный:

20 600 + 10 2000 + 13 300 = 35 900 ден. ед.

Если предприятие выберет стратегию Р₂, то реализация продукции в условиях обычной погоды дает доход:

20 800 + 10 500 + 13 600 – 20 (1000 - 800) - 13(800 - 600) = 22200 ден. ед.,

в условиях прохладной погоды доход будет:

20 1000 + 10 500 + 13 800 = 35400 ден. ед.,

а в условиях теплой погоды имеем доход:

20 600 + 10 500 + 13 300 – 20 (1000 - 600) – 13 (800 - 300) = 6400 ден. ед.

Если предприятие выберет стратегию Р₃, то в случае обычной погоды доход будет равен:

20 800 + 10 1100 + 13 600 = 34800 ден. ед.,

при прохладной погоде имеем доход, равный:

20 800 + 10 500 + 13 600 – 10 (1100 - 500) = 22800 ден. ед.,

и в случае теплой погоды доход составит:

20 600 + 10 1100 + 13 300 – 20 (800 - 600) – 13 (600 - 300) = 19000 ден. ед.

Результаты вычислений сведены в табл.

Платежная матрица

	Обычная П₁,	Прохладная П₂	Теплая П₃
Теплая — Р₁,	17 900	5 900	35 900
Прохладная — Р₂	22 200	35 400	6 400
Обычная — Р₃	34 800	22 800	19 000

Платежная матрица рассматриваемой производственной ситуации имеет вид:

Е =

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие «природа»). В данной ситуации платит само предприятие, получая меньшую или большую прибыль.

Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так называемой матрицы рисков R = или матрицы упущенных возможностей. Величина риска — это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрицу R построим на основе матрицы выигрышей Е . Риском игрока при использовании им стратегий Р₁ , Р₂ или Р₃ и при состоянии природы П₁, П₂ или П₃ будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он узнал, что состоянием среды будет П₁, П₂ или П₃ и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Для матрицы риска имеем = 34 800, = 35 400, = 35 900.

Получаем матрицу рисков: R =

Для определения критериев эффективности построим Вспомогательная таблица

	П₁,	П₂	П₃
Р₁	17 900	5900	35 900	5900	35 900
Р₂	22 200	35 400	6400	6400	35 400
Р₃	34 800	22 800	16 000	16 000	34 800

Для предприятия лучшими являются стратегии: по критерию гарантированного результата:

= max {5900, 6400,16000} = 16000 - Р₃;

по критерию оптимизма:

= max{35900, 35400, 34800} = 35900-Р₁,

по критерию пессимизма:

= min {5900, 6400,16000} = 5900 – Р₁

по критерию Сэвиджа, исходя из матрицы рисков:

=min{29500, 29500,19900} =19900-Р₃;

по критерию Гурвица при коэффициенте оптимизма к = 0,6

= mах{17900, 18000, 23520} = 23520-Р₃.

Стратегия Р₃ повторяется в качестве оптимальной по трем критериям выбора из пяти критериев, а стратегия Р₁, — по двум критериям. Однако, преимущество дал критерий Гурвица, зависящий от коэффициента оптимизма к и, если принять к = 0,9, то по критерию Гурвица оптимальной будет стратегия Р₂. Поэтому к практическому применению можно рекомендовать как стратегию Р₁, так и стратегию Р₃.

В данном случае видно, что однозначного ответа о выборе оптимальной стратегии, исходя из критериев оптимальности, дать нельзя.

Задание Компания «Российский сыр» - небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов – сырная паста – поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течении месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течении месяца будет 6,7,8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3;0,5;0,1. Затраты на производство одного ящика равны 45$. Компания продает каждый ящик по цене 95$. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портиться и компания не получает дохода, Сколько ящиков следует производить в течение месяца.

Решение. Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Российский сыр») являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков.

Вычислим, например, показатель прибыли, которую получит производитель, если он произведет 8 ящиков, а спрос будет только на 7. Каждый ящик продается по 95 дол. Компания продала , а произвела 8 ящиков. Следовательно, выручка будет 7*95, а издержки производства 8 ящиков 8*45. Итого прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна: 7*95 - 8*45 = =305 дол. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой . Наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна 352,5 дол. Она отвечает производству 8 ящиков. ( В скобках приведена вероятность спроса на ящики.)

Спрос на ящики Производство ящиков	6 (0,1)	7 (0,3)	8 (0,5)	9 (0,1)	Средняя ожидаемая прибыль
6	300	300	300	300	300
7	255	350	350	350	340,5
8	210	305	400	400	352,5
9	165 .	260	355	450	317

На практике чаще всего в подобных случаях решения принимаются исходя из критерия максимизации средней ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых издержек. Следуя такому подходу, можно остановиться на рекомендации производить 8 ящиков, и для большинства ЛПР рекомендация была бы обоснованной. Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднего квадратичного отклонения как индекса риска,

мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависимыми от склонности к риску ЛПР.

D и M- символы дисперсии и математического ожидания

Проводя соответствующие вычисления для случаев производства 6, 7, 8 и 9 ящиков, получаем:

6 ящиков

7 ящиков

8 я щи ков

9 ящиков

Вывод. Из представленных результатов расчетов с учетом полученных показателей рисков - средних квадратичных отклонений - очевидно, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесообразно, ибо средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше, чем для 8 ящиков (352,5), а среднее квадратичное отклонение (76) для 9 ящиков больше аналогичного показателя для 8 ящиков (63,73). А вот целесообразно ли производство 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 - неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков ( = 63,73) больше, чем при производстве 7 ящиков ( = 28,5) и тем более 6 ящиков, где, = 0. Вся информация с учетом ожидаемых прибылей и рисков налицо. Решение должен принимать генеральный директор компании «Российский сыр» с учетом его опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Учитывая все приведенные числовые характеристики случайной величины - прибыли, рекомендуется производить 7 ящиков (не 8, что вытекает из максимизации прибыли без учета риска!).

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА МЕТОДОМ ПОСТРОЕНИЯ ДЕРЕВЬЕВ СОБЫТИЙ

Специфическим графическим инструментом анализа проблемных ситуаций являются, так называемые, деревья решений. Термин получил свое название от древообразующей структуры схемы.

С помощью этого метода решается целый ряд задач, когда имеются два или более последовательных множества решений, причем, последующие решения основываются на результатах предыдущих состояний среды, т.е. появляется цепочка решений, вытекающих одно из другого. Подобные задачи проще решать с использованием дерева решений, которое представляет собой графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для всевозможных комбинаций.

Для упрощения применения этого метода разобьем его на несколько этапов.

На первом этапе формулируем задачу. Отбрасываем не относящиеся к проблеме факторы, а оставшиеся подразделяем на существенные и несущественные. Далее, определяем возможности сбора информации для экспериментирования и реальных действий; составляем перечень событий, которые с определенной вероятностью могут произойти: устанавливаем временной порядок расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.

На втором этапе строим дерево решений. Оно состоит из двух основных частей: «решений» и «вероятностных событий». Они представлены квадратами. Эти решения и вероятностные события связаны, что видно из последующих примеров.

Суть третьего этапа состоит в оценке вероятностей состоянии среды, т.е. сопоставлении шансов возникновения каждого конкретного события.

Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) состояний среды составляют четвертый этап.

На пятом этапе решается задача.

Дерево решений состоит из ряда узлов и исходящих из них ветвей. Квадраты обозначают пункты принятия решений (или возможные события), а дуги соответствуют переходам между логически связанными решениями и случайными событиями. Из вершин — решения (квадратов) исходит столько дуг, сколько имеется вариантов (альтернатив), выбор конкретной дуги (вариант решения) осуществляется ЛПР. Из вершины — события также может исходить несколько дуг. Но здесь уже выбор осуществляется случайным образом в соответствии с заданными вероятностями отдельных исходов.

После того, как дерево решения построено, оно анализируется справа налево, т.е. начинать надо с последнего принятого решения. Для каждого решения выбирается альтернатива с наибольшим показателем отдачи (или с наименьшими затратами). Если за принятием решения следует несколько возможных вариантов событий, то выбирается альтернатива с наибольшей предполагаемой прибылью (или с наименьшей предполагаемой величиной затрат).

С помощью дерева решений рассмотрим задачу выбора оптимального проекта реконструкции фабрики — химчистки.

Руководство компании решает реконструировать фабрику — химчистки по одному из трех проектов. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния

Blog

Учебное пособие г. Пермь, 2009 Оглавление Глава Понятие и сущность рисков Понятие риска Классификация рисков Подходы к обнаружению рисков