Рабочая программа курса "симметрия и интегрируемые системы" (специальность физика 010400) Томск 2000
| Вид материала | Рабочая программа курса |
СодержаниеА.В. Шаповалов Цель курса Объем курса Симметрия и интегрируемые системы Тематический план дисциплины Симметрия и интегрируемые системы Аннотация курса Программа курса |
- Рабочая программа курса "архитектура компьютера и операционные системы " (специальность, 189.16kb.
- Программа курса элементы общей теории относительности объем: лекции 50 часов Кафедра, 56.38kb.
- Рабочая программа Механика Специальность 010400 физика направление 510400-физика, 113.05kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины «политология» Специальность 010400-Физика, направление, 231.04kb.
- Рабочая программа Молекулярная физика Специальность 010400 физика, направление 510400-физика, 92.73kb.
- Рабочая программа математический анализ наименование дисциплины Специальность 010400-Физика,, 146.14kb.
- Рабочая программа по курсу «Отечественная история» для специальность 010701 и направлению, 485.4kb.
- Рабочая программа «Механика и основы механики сплошных сред» Специальность 010400 физика,, 141.09kb.
- Программа по дисциплине Физика элементарных частиц для специальности 010400 «Физика, 115.04kb.
- Рабочая программа по «Эмиссионному спектральному анализу» для специальности 010201, 118.22kb.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
"УТВЕРЖДАЮ"
Декан физического факультета
________________Кузнецов В.М.
"____"_________________2000г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА
"СИММЕТРИЯ И ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ"
(специальность физика - 010400)
Томск – 2000
Программа обсуждена на заседании кафедры теоретической физики
Зав. кафедрой теоретической физики
профессор
А.В. Шаповалов
Одобрено методической комиссией физического факультета
Председатель методической комиссии
доцент
В.М. Вымятнин
Рассмотрено и одобрено Ученым советом физического факультета
Протокол № от "____"______________________2000
Цель курса
Программа предназначена для магистрантов физического факультета
После изучения курса студент должен:
- овладеть основными идеями и методами группового и алгебраического анализа систем дифференциальных уравнений,
- уметь применять групповой и алгебраический анализ к решению основных уравнений теоретической и математической физики,
Требования к разделам программы определяются государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования к уровню подготовки выпускника по специальности 010400-физика .
Курс рассчитан на один семестр.
Объем курса
| Раздел | Семестр | Объем в часах | Форма контроля | ||||
| | | Лекции | Прак-тика | Лабора- тория | Лекции | Прак-тика | Лабора- тория |
Симметрия и интегрируемые системы | 11 | 52 | 16 | | зачет | Контр.раб. | |
Тематический план дисциплины
«Симметрия и интегрируемые системы»
| | | Всего часов по учебному плану | В том числе аудиторных | ||||
| № п/п | Наименование разделов и тем | | Всего часов | Лекций | Практические занятия, семинары | Контрольные работы | Самостоятельная работа |
| | Симметрия и интегрируемые системы | 102 | 68 | 52 | 16 | 1 | 34 |
| 1 | Инвариантные многообразия | 15 | | 8 | 2 | | 5 |
| 2 | Расслоение струй. | 15 | | 8 | 2 | 1 | 5 |
| 3 | Алгебры функций на расслоении струй. | 15 | | 8 | 2 | | 5 |
| 4 | Алгебра симметрий системы дифференциальных уравнений и законы сохранения. | 18 | | 8 | 4 | | 6 |
| 5 | Инвариантные и частично инвариантные решения. | 9 | | 4 | 2 | | 3 |
| 6 | Линейные уравнения | 30 | | 16 | 4 | | 10 |
Аннотация курса
Курс посвящен широкой области исследований современной теоретической и математической физики – теории симметрии дифференциальных уравнений и ее приложениям. В основу изложения положена геометрическая трактовка системы дифференциальных уравнений как подмногообразия в многообразии струй. Генераторы преобразований инвариантности системы приводят к фундаментальному понятию алгебры системы уравнений. Изучение свойств алгебры системы позволяет строить законы сохранения и классы точных решений. Важность таких исследований была осознана со времен Ньютона и не утратило своего значения до настоящего времени. Симметрийный подход обладает важным методологическим достоинством – универсальностью, применимостью к широким классам многомерных линейных и нелинейных систем. Различные методы точного интегрирования линейных и нелинейных уравнений математической физики при внимательном рассмотрении оказываются связанными с алгеброй симметрии. В данном курсе рассмотрен метод разделения переменных и его
Модификации, непосредственно связанные с алгеброй симметрии.
Требования к разделам программы определяются государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования к уровню подготовки выпускников по специальностям физика по направлению – теоретическая физика.
ПРОГРАММА КУРСА
Раздел 1. Инвариантные многообразия.
Группы Ли преобразований гладкого многообразия. Инвариантные множества в многообразии. Касательное пространство к инвариантному многообразию и алгебра Ли. Инварианты группы в многообразии. Инфинитезимальный критерий инвариантности. Группа симметрии системы алгебраических уравнений. Определяющее уравнение ивариантного многообразия. Условие инфинитезимальной инвариантности многообразия. Нахождение инвариантов группы. Задание инвариантного многообразия инвариантами группы. Дефект многообразия.
Раздел 2. Расслоение струй.
Различные подходы к определению струй. Многообразие струй. Структура расслоения. Представление системы дифференициальных уравнений на многообразии струй. Преобразования, сохраняющее структуру дифференциального уравнения. Инфинитезимальное допустимое преобразование. Структура генератора группы 1-параметрических преобразований. Конечномерные инвариантные относительно допустимых преобразований подмногообразия в многообразии струй.
Раздел 3. Алгебры функций на расслоении струй.
Алгебры допустимых векторных полей на многообразии струй. Функции на многообразии струй. Алгебра Ли гладких функций на многообразии струй.
Раздел 4. Алгебра симметрий системы дифференциальных уравнений
и законы сохранения.
Симметрии системы дифференциальных уравнений, алгебра симметрий. Определяющие уравнения алгебры симметрий. Тривиальные симметрии дифференциального уравнения. Идеал в алгебре симметрии. Определяющие уравнения алгебры симметрии эволюционного уравнения. Примеры вычисления точечных групп симметрии (уравнение теплопроводности, уравнение Кортевега де- Вриза, волновое уравнение). Группы Ли-Бэклунда. Вычисление группы Ли-Бэклунда уравнения Кортевега де- Вриза (КдВ). Законы сохранения и симметрии. Определяющие уравнения законов сохранения. Примеры вычисления законов сохранения для нелинейных эволюционных уравнений.
Раздел 5. Инвариантные и частично инвариантные решения.
Решения дифференциальных уравнений, порождаемые симметриями. Инвариантные решения. Частично инвариантные решения. Оптимальные системы подалгебры симметрии и частично инвариантные решения. Примеры построения инвариантных решений.
Раздел 6. Линейные уравнения.
Свойства алгебры симметрии линейного уравнения. Интегрируемость по Лиувиллю.
Разделение переменных. Разделение переменных в дифференциальном уравнении второго порядка с помощью координантых преобразований, необходимые и достаточные условия. Разделение переменных в системах дифференциальных уравнений. Уравнение Дирака. Некоординатное разделение переменных. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений. Метод K-орбит и гармонический анализ.
Литература
1.Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
2.Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике, М.,: Наука1983.
3.Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.
4.Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.
5.Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли.М.: Наука, 1990.
6.Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1989.
7.Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики.М.:Наука, 1990.
8.Gaeta G. Nonlinear symmetries and nonlinear equations. KluwerAcad. Publ., Dordrecht, Boston, London, 1994.
Программу составил А.В. Шаповалов