Множество и логичный закон

Вид материала

Закон

Содержание Несовместные события Вероятность суммы двух несовместимых событий Бином Ньютона

Подобный материал:

• Беременность и torch-инфекции, 69.9kb.
• Лекция 1, 53.81kb.
• Социальная сеть это множество социальных объектов и определенное на нем множество отношений, 287.87kb.
• Поляризация света. Виды поляризации. Закон Малюса. Поляризация света при отражении, 83.94kb.
• Операции над множествами, 57.55kb.
• Забытая цивилизация, 11895.43kb.
• Эффективность управления и производства в аспекте управляемости строительной фирмы, 72.29kb.
• Программа курса (авторизированная) по изучению основ пользования компьютером «Мой друг, 1282.19kb.
• Iii. Численные методы алгебры. Лекция, 64.34kb.
• Лекция 12 Геометрическое строение молекул, 23.45kb.

Несовместные события
Два случайных события А и В называются несовместимыми, если произведение является невозможным событием, то есть А*В =	При бросании игрального кубика рассматривают события: А – выпало четное число очков, В – выпало 1 очко, С – выпало число очков, кратное 3. События А и В и события В и С – несовместимы (не могут происходить одновременно). События А и С – совместимые (могут происходить одновременно, если выпадет 6 очков)
Вероятность суммы двух несовместимых событий
Если события А и В несовместимые, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В), то есть вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

4. Бином Ньютона
   

Бином Ньютона

 =  +  x +    +    + … +    + … + a  +  Поскольку 1 =  =  и = 1, =1 (при х0 и а0), то формула бинома Ньютона можно записать еще так: =  +    +    + … +    + … +    Общий член разложения степени бинома имеет вид =  (где К = 0, 1, 2, …, n). Коэффициенты  называют биномиальными коэффициентами.

Свойства биномиальных коэффициентов

Число биномиальных коэффициентов ( а следовательно, и число слагаемых в разложении n –й степени бинома) равно n+1. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца разложения, равны между собой ( поскольку  = ). Сумма всех биномиальных коэффициентов равна   +  +  + + … +  =  . Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах. 5.Для вычисления биномиальных коэффициентов можно воспользоваться треугольником Паскаля, в котором вычисления коэффициентов основываются на формуле  =  + .

Упражнения

Размещения.

Задача 1. На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4х100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Задача 2. Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе не повторяются.

Задача 3. Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, если цифры в числе не повторяются.

Задача 4. Решите уравнение. _=6.

Задача 5. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

1. Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?
   
2. Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?
   

Задача 6. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора?

Задача 7. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если цифры в числе не повторяются?

Задача 8. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, если цифры в числе не повторяются?

Перестановки.

Задача 1. Найдите, сколькими способами можно восемь учащихся построить в колонну по одному.

Задача 2. Найдите количество разных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 3, 7, 9 (цифры в числе не повторяются).

Задача 3. Есть десять книг, из которых четыре – учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?

Задача 4. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Задача 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

1. 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
   

Задача 6. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составит из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).

Сочетание.

Задача 1. Из 12 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Задача 2. Из вазы с фруктами, в которой лежит 10 разных яблок и 5 разных груш, требуется выбрать 2 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Задача 3. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Задача 4. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек. Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

Задача 6. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, без их повторения?

Бином Ньютона.

1. Найдите разложение степени бинома.
   

1. (х+а)⁶; 2)(х+с)⁴; 3) (х+2)⁵; 4) (1+а)¹².
   

2. Найдите:
   

1. четвертый член разложения (а+3)⁷;
   
2. девятый член разложения (а+_ )¹²;
   

3 . Найдите член разложения бинома:

1. (х+у)⁹, содержаий х⁷;
   
2. (_+b)⁹, содержащей а³;
   
3. (_+_)²⁰, содержащий а⁷;
   
4. (_-_)¹², содержащий _;
   
5. член разложения (_ + _)¹⁷, не содержащий а;
   
6. член разложения (_-_)¹⁵, не содержащий а.
   

Классическое определение вероятности

1. Какова вероятность того, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков равное:
   

1. двум;
   
2. пяти;
   
3. четному числу;
   
4. числу кратному 6?
   

2. Представь себе, что в классе, в котором ты учишься, разыгрывается одна бесплатная туристическая поездка в Париж. Какова вероятность того, что ты поедешь именно ты?
   
3. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта:
   

1. туз;
   
2. червовый туз?
   

Применение формул комбинаторики для вычисления вероятности событий

1. Среди 30 деталей 8 бракованных. Какова вероятность того, что взятые наугад 5 деталей будут без дефекта?
   
2. Из колоды в 36 карт наугад выбирают две карты. Какова вероятность того, что выбранные карты – два туза?
   
3. На экзамене по математике выносят 40 вопросов. Ученик подготовил только 35. Билет состоит из четырех вопросов. Какова вероятность того, что ученик получит отличную оценку?
   

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

1. Три опытных хирурга делают сложные операции. Вероятность отрицательного результата операции у первого хирурга составляет 0,05, у второго – 0,09, у третьего – 0,1. Больной наугад выбирает врача. Какова вероятность положительного результата?
   
2. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку - 0,1, в восьмерку – 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберет: 1) не менее девяти очков; 2) не менее восьми очков; 3) меньше восьми очков?
   
3. В коробке лежат 5 красных, 8 синих, 3 зеленых, 4 желтых шариков. Из коробки наугад взяли один шарик. Какова вероятность того, что этот шарик не будет синим?
   
4. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха 0,4, а чувства ритма – 0,1. Какова вероятность положительного тестирования?
   

Теорема умножений вероятностей независимых событий.

1. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка в цель составляет 0,7, второго – 0,8, третьего – 0,6. Какова вероятность того, что было: 1) три попадания; 2) три промаха; 3) ровно одно попадание?
   
2. В одном ящике лежат 5 красных, 9 белых, 8 черных шариков, а в другом - 3 красных, 7 белых, 10 черных шариков. Наугад из каждого ящика берут по одному шарику. Какова вероятность того, что они будут одного цвета?