Множество и логичный закон

Вид материала

Содержание

А  А = А, а также А и А = А.
3.Закон тождественности
Закон исключения среднего.
Методы решения изобретательских задач
Основные функции и области применения ТРИЗ
Основы ТРИЗ
Информационный фонд
Система приёмов
40 основных приёмов
Технологические эффекты
Физические эффекты
Химические эффекты
Биологические эффекты
Математические эффекты
АРИЗ — алгоритм решения изобретательских задач
Альтернативные подходы
Метод контрольных вопросов
Структура доказательства
Различают несколько видов аргументов
Понятие опровержения
...
Полное содержание

Подобный материал:

1 2 3 4 5

Тема 1: Множество и логичный закон

1. Множества и операции над ними

Множеством именуется некоторая совокупность элементов, объединенных по какому-либо признаку. Если есть такая совокупность, разумеется, как единое целое, говорят, что имеют дело с множеством.

Приведенное определение не может рассматриваться как математически строгое, поскольку понятие множества является исходным, на основе него строятся остальные понятия математики. Тем не менее, из при веденного определения ясно, как можно говорить с множестве, например, действительных чисел или множестве плоских фигур.

Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным. Остальные множества называются бесконечными. Для множества используются следующие обозначения:

А = {а,b,с,d}

Приведенное обозначение записано для множества А, состоящего из элементов а, Ь, с, d.

Конечные множества можно задать перечнем их элементов, бесконечные — нельзя. Обычно бесконечное множество задают, указывая на свойства, которым обладают все элементы данного множества, при этом подчеркивают, что таким свойством не обладают никакие элементы, не входящие в это множество. Такое свойство называется характеристическим для рассматриваемого множества.

Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым. Обозначается оно знаком .

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют совпадающими. Например, совпадают два конечных множества, которые отличаются друг от друга порядком их элементов. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут:

а  А.

В противном случае пишут:

а  А.

Если одно множество является частью другого множества, говорят, что первое множество является подмножеством второго. Если первое множество обозначить А, а второе В, то обозначение такое:

А  В.

Для любого множества А справедливы высказывания: множество А является подмножеством самого себя. Пустое множество является подмножеством любого множества.

В качестве примера можно привести высказывание о том, что множество всех ромбов является подмножеством множества параллелограммов.

Над множествами определяют операции, во многом сходные с арифметическими. Рассмотрим понятие таких операций только над двумя множествами А и В, которые являются разнообразными подмножествами одного и того же множества U. Последнее назовем универсальным множеством. Операции над множествами удобно интерпретировать геометрически с помощью диаграмм Эйлера-Венна (рис. 1 — 4).

Определение 1. Пересечением множеств А и В называют их общую часть С. Другими словами, пересечение множеств А и В образуют элементы, принадлежащие равно как А, так и В

Такое множество обозначают:

С = А  В

Определение 2. Объединением множеств А и В, называют множество С, составленное из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств

Определение 3. Разностью множеств А и В называют множество

С = В \ А,

составленное из элементов, принадлежащих множеству В, но не принадлежащих множеству А

Разность U \ A называется дополнением множества А до универсального множества U и обозначается: = U \ A

Геометрическая интерпретация множества

дана на следующем рисунке:

Если применять операции объединения и пересечения- к подмножествам некоторого множества D, то снова получатся подмножества того же множества D.

Операции объединения и пересечения обладают многими свойствами, похожими на свойства операций сложения и умножения чисел. Например, пересечение и объединение множеств обладают свойствами коммутативности и ассоциативности. Пересечение дистрибутивно относительно объединения, то есть для любых множеств А, В и С верно соотношение:

А  (В и С) = (А  В)и (А  С).

В то же время операции над множествами имеют ряд свойств, у которых нет аналогов в операциях над числами. Так, для любого множества А верны равен ства:

А  А = А, а также А и А = А.

И также

А и (В  С) = (А и В)  (А и С)

Примеры множеств. Примеров множеств можно привести сколько угодно. Так, можно говорить о множестве всех букв книги, причем одна и та же буква на разных страницах или разных строках одной страницы считается за два различных элемента множества, о множестве всех людей земного шара, причем надо сделать предположение, что в рассматриваемый момент времени никто не рождается и не умирает, о множестве молекул воды в данном стакане и т. д.

Все это - конечные множества. Приведем некоторые примеры бесконечных множеств, кроме упоминавшихся выше множеств натуральных чисел, четных натуральных чисел, рациональных чисел, действительных чисел и др.

Пусть a и b - два действительных числа, причем a < b. Множество всех действительных чисел x, для которых

, называется отрезком с концами a, b и обозначается через [a, b]. Множество (a, b) всех x, для которых a < x < b, называется интервалом с концами a, b. Далее полуинтервалами называются множества [a, b) тех x, для которых

, и (a, b] тех x, для которых

. Введем еще два символа:

(плюс бесконечность),

(минус бесконечность). Они не являются числами и вводятся лишь для удобства записи. Тем не менее для более легкого обращения с ними условимся говорить, что

больше, а

меньше любого действительного числа. Тогда можно ввести обозначения, аналогичные приведенным выше, для бесконечных полуинтервалов и интервалов. Именно:

- множество чисел x, для которых

- множество всех действительных чисел.

Упражнения:

Записать множества, перечислить их элементы:

а) положительные числа, кратные 7 и меньше 60;

б) решите уравнение

2. Записать все подмножества М=.

3. Найти объединение и пересечение множеств решений уравнений +2=0 и .

4. Найти разность А\В и В\А, если А= и В=.

5. Пусть А – множество целых чисел, которые делятся на 4, В – множество целых чисел, которые делятся на 3. Какие из чисел 9, 0, -24, -53, 128, 1242048 входят во множество А В?

6. Пусть множество, состоящее из 20 студентов, которым нужны проездные билеты на троллейбус, В – множество проездных билетов на троллейбус. будет ли А=В? Обосновать ответ.

7. Найти сумму множеств:

а) А – , В – ;

б) М = .

8. Найти: а) пересечение множеств М= Р= ; б) разность множеств К= и L =.

9. Запишите с помощью фигурных скобок множество:

1) букв в слове «алгебра»; 2) частных однозначных натуральных чисел; 3) нечестных однозначных натуральных чисел; 4) однозначных простых чисел.

2) По какому характеристическому свойству записаны такие множества:

а);

б)

в).

г) .

д) .

10. Приведите примеры пустых множеств.

11. А – множество четных натуральных чисел, расположенных между числами 25 и 35. Запишите множество А с помощью фигурных скобок. Какие из чисел 18, 28, 30, 40 принадлежат множеству? Ответ запишите с помощью знаков є и

12. Запишите с помощью фигурных скобок и обозначьте множество:

а) натуральных делителей числа 12;

б) натуральных делителей числа 30;

в) целых делителей числа 6;

г) простых делителей числа 12.

13. Известно, что М=, N=, К=. Запишите с помощью фигурных скобок или знака :

а) пересечение М и N; б) пересечение М и К; в) пересечение N и K;

г) объединение М и N; д) объединение М и К; е) объединение N и K;

ж) разность М и N; з) разность М и К; и) разность N и K; к) дополнение К и N.

14. Объясните, почему выполняется равенство:

1) А U ∅=А; 2)А U А=А;

15. Часть жителей города говорит только по – украински, часть только по – русски, а часть на двух язык. По – украински говорит 95 жителей, а по – русски - 85. Сколько процентов жителей города говорит на двух языках?

15. Докажите равенство множеств и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера – Венна:

1) А\В=А\(АΩВ); 2) АΩ(В\С)=(АΩВ)\(АΩС).

16. Запишите множество всех правильных дробей , где є А, є В и А=, В=.

17. Какие трехзначные числа можно записать, если:

А= - множество цифр для обозначения сотен;

В= - множество цифр для обозначения десятков;

С= - множество цифр для обозначения единиц.

Сколько таких чисел получим? Попытайтесь сформулировать общее правило подсчета количества таких чисел, если множество А содержит m эелементов (0 А), множество В – n элементов, множество С – k эелементов.

18. Изобразить на координатной прямой промежуток:

1) (-4; 2); 2) ; 3)[-4; 2); 4)(-4; 2]; 5)[-4;

); 6)(-4;

);

7) (

; -4); 8) (

; -4].

19) Изобразить на координатной прямой и записать промежуток, заданных неравенством:

1) х<3; 2) х>-5; 3) х<=-2; 4)х=>1; 5) 0

<=x<=4; 7)-3,8< x<=6,4

8) 0,1 <=x<604.

20) Записать все целые числа, принадлежащие промежутку:

1) [4; 8]; 2) (3; 7; 9]; 3)[-4,8; 2]; 4) (-3; 3).

21. Найти наименьшее целое число, принадлежащее промежутку:

1) [-10; -5]; 2) (6; 12); 3) (11,2;

); 4) [13;

).

22. Показать на координатной прямой и записать пересечение проможутков:

1) [-2; 6] и [3; 8]; 2) [4; 7] и (4; 9]; 3) (

; 5,2) и (4,3;

);

4) [

; 3,7) и [3,9;

); 5) [10;

) и [13,4 ;

); 6) [6; 10] и [7,3; 8).

18. Показать на координатной прямой и записать объдинение промежутков:

1) [2; 7,4] и (3; 9); 2) [4; 7] и (4; 9]; 3) (

; 5) и ( 2; 8,1);

4) [3; 7) и [7;

); 5) (

; 10) и (6,4;

); 6) (

; 3,7) и (3,9;

).

2.Дедукция и индукция

Индуктивные рассуждения

«По одной капле воды... человек, умеющий мыслить логически, может сделать вывод о существовании Атлантического океана или Ниагарского водопада, даже если он не видал ни того ни другого и никогда о них не слыхал... По ногтям человека, по его рукам, обуви, сгибу брюк на коленях, по утолщениям кожи на большом и указательном пальцах, по выражению лица и обшлагам рубашки — по таким мелочам нетрудно угадать его профессию. И можно не сомневаться, что все это, вместе взятое, подскажет сведущему наблюдателю верные выводы»,

Это цитата из программной статьи самого знаменитого в мировой литературе сыщика-консультанта Шерлока Холмса. Исходя из мельчайших деталей, он строил логически безупречные цепи рассуждений и раскрывал запутанные преступления, причем зачастую не выходя из своей квартиры на Бейкер-стрит. Холмс использовал созданный им самим дедуктивный метод, ставящий, , как полагал его друг доктор Уотсон, раскрытие преступлений на грань точной науки.

Конечно, Холмс несколько преувеличивал значение дедукции в криминалистике, но его рассуждения о дедуктивном методе сделали свое дело. «Дедукция» из специального и известного только немногим термина превратилась в общеупотребительное и даже модное понятие. Популяризация искусства правильного рассуждения, и прежде всего дедуктивного рассуждения, — не меньшая заслуга Холмса, чем все раскрытые им преступления. Ему удалось «придать логике прелесть грезы, пробирающейся сквозь хрустальный лабиринт возможных дедукций к единственному сияющему выводу» (В.Набоков).

Определения дедукции и индукции

Дедукция — это частный случай умозаключения.

В широком смысле умозаключение — логическая операция, в результате которой из одного или нескольких принятых утверждений (посылок) получается новое утверждение — заключение (вывод, следствие).

В зависимости от того, существует ли между посылками, и заключением связь логического следования, можно выделить два вида умозаключений.

В дедуктивном умозаключении эта связь опирается на логический закон, в силу чего заключение с логической необходимостью вытекает из принятых посылок. Отличительная особенность такого умозаключения в том, что оно от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению.

В индуктивном умозаключении связь посылок и заключения опирается не на закон логики, а на некоторые фактические или психологические основания, не имеющие чисто формального характера. В таком умозаключении заключение не следует логически из по сыпок и может содержать информацию, отсутствующую в них. Достоверность посылок не означает поэтому достоверности выведенного из них индуктивно утверждения. Индукция дает только вероятные, или правдо подобные, заключения, нуждающиеся в дальнейшей проверке.

К дедуктивным относятся, к примеру, такие умозаключения: Если идет дождь, земля является мокрой. Идет дождь. Земля мокрая. Если гелий металл, он электропроводен. Гелий не электропроводен. Гелий не металл.

Черта, отделяющая посылки от заключения, заменяет слово «следовательно».

Примерами индукции могут служить рассуждения:

Аргентина является республикой; Бразилия — республика;

Венесуэла — республика; Эквадор — республика.

Аргентина, Бразилия, Венесуэла, Эквадор — латиноамериканские государства.

Все латиноамериканские государства являются республиками.

Италия — республика; Португалия — республика; Финляндия — республика; Франция — республика.

Италия, Португалия, Финляндия, Франция — западноевропейские страны.

Все западноевропейские страны являются республиками.

Индукция не дает полной гарантии получения новой истины из уже имеющихся. Максимум, о котором можно говорить, — это определенная степень вероятности выводимого утверждения. Так, посылки и первого и второго индуктивного умозаключения истинны, но заключение первого из них истинно, а второго — ложно. Действительно, все латиноамериканские государства — республики; но среди западноевропейских стран имеются не только республики, но и монархии, например Англия, Бельгия и Испания.

Особенно характерными дедукциями являются логические переходы от общего знания к частному типа:

Все люди смертны.

Все греки люди.

Следовательно, все греки смертны.

Во всех случаях, когда требуется рассмотреть какие-то явления на основании уже известного общего правила и вывести в отношении этих явлений необходимое заключение, мы умозаключаем в форме дедукции. Рассуждения, ведущие от знания о части предметов (частного знания) к знанию обо всех предметах определенного класса (общему знанию), — это типичные индукции. Всегда остается вероятность того, что обобщение окажется поспешным и необоснованным («Наполеон — полководец; Суворов — полководец; значит, каждый человек полководец»).

Нельзя вместе с тем отождествлять дедукцию с переходом от общего к частному, а индукцию — с переходом от частного к общему. В рассуждении «Шекспир писал сонеты; следовательно, неверно, что Шекспир не писал сонетов» есть дедукция, но нет перехода от общего к частному. Рассуждение «Если алюминий пластичен или глина пластична, то алюминий пластичен» является, как принято думать, индуктивным, но в нем нет перехода от частного к общему. Дедукция — это выведение заключений, столь же достоверных, как и принятые посылки, индукция — выведение вероятных (правдоподобных) заключений. К индуктивным умозаключениям относятся как переходы от частного к общему, так и аналогия, методы установления причинных связей, подтверждение следствий, целевое обоснование и т.д.

Подчеркивая важность дедукции в процессе развертывания и обоснования знания, не следует, однако, отрывать ее от индукции и недооценивать последнюю. Почти все общие положения, включая и научные законы, являются результатами индуктивного обобщения. В этом смысле индукция — основа нашего знания. Сама по себе она не гарантирует его истинности и обоснованности, но она порождает предположения, связывает их с опытом и тем самым сообщает им определенное правдоподобие, более или менее высокую степень вероятности. Опыт — источник и фундамент человеческого знания. Индукция, отправляющаяся от того, что постигается в опыте, является необходимым средством его обобщения и систематизации.

Все ранее рассмотренные схемы рассуждений являлись примерами дедуктивных рассуждений. Логика высказываний, модальная логика, логическая теория категорического силлогизма — все это разделы дедуктивной логики.

3.Закон тождественности

1. Закон тождественности. А является А.

Некоторый объект всегда равен самому себе. Некоторое суждение выражает само себя. 2.Закон противоречия. А не является не А.

Какой то объект не может одновременно иметь и не иметь какие-то свойства. Суждение не может быть одновременно и истинным и ложным.

3. Закон исключения среднего. А не является

одновременно и А, и не А.

Некий объект или обладает, или не обладает некоторым свойством. Суждение может быть или истинным или ложным.

Тема 2: Методы

Методы полного и неполного перебора

Методы решения задач, основанные на сведении их к поиску, зависят от особенностей предметной области, в которой решается задача, и от требований, предъявляемых пользователем к решению. Особенности предметной области:

объем пространства, в котором предстоит искать решение;
степень изменяемости области во времени и пространстве (статические и динамические области);
полнота модели, описывающей область, если модель не полна, то для описания области используют несколько моделей, дополняющих друг друга;
определенность данных о решаемой задаче, степень точности (ошибочности) и полноты (неполноты) данных.

Требования пользователя к результату задачи, решаемой с помощью поиска, можно характеризовать:

количеством решений : одно решение, несколько решений, все решения.
свойствами результата: ограничения, которым должен удовлетворять полученный результат и (или) способом его получения.

Существующие методы решения задач, используемые в экспертных системах, можно классифицировать следующим образом:

методы поиска в одном пространстве - методы, предназначенные для использования в следующих условиях: области небольшой размерности, полнота модели, точные и полные данные;
методы поиска в иерархических пространствах - методы, предназначенные для работы в областях большой размерности;
методы поиска при неточных и неполных данных ;
методы поиска, использующие несколько моделей, предназначенные для работы с областями, для адекватного описания которых одной модели недостаточно.

Предполагается, что перечисленные методам при необходимости должны объединяться для того, чтобы позволить решать задачи, сложность которых возрастает одновременно по нескольким параметрам.

2.Метод математической индукции

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента. Метод математической индукции состоит в следующем:

Предложение (утверждение) P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:

P(1) является истинным предложением (утверждением);

P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P(n + 1) - истинное предложение (утверждение).

Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:

Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).
Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).

Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:

Пусть m - натуральное число, m > 1 и P(n) - предложение, зависящее от n, n ≥ m.

Если:

P(m) справедливо;
P(n) будучи истинным предложением, влечет истинность предложения P(n + 1) для любого натурального n, n ≥ m, тогда P(n) - истинное предложение для любого натурального n, n ≥ m.

В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Пример 1. Доказать следующие равенства

g) формула бинома Ньютона:

где n  N. Решение. a) При n = 1 равенство примет вид

1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

.

Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть

истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

получим

то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Замечание 2. Этот пример можно было решить и иначе. Действительно, сумма 1 + 2 + 3 + ... + n есть сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом a₁ = 1 и разностью d = 1. В силу известной формулы

, получим

b) При n = 1 равенство примет вид: 2·1 - 1 = 1² или 1=1, то есть, P(1) истинно. Допустим, что имеет место равенство :1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n²

и докажем, что имеет место P(n + 1):

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n + 1)²

или

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)².

Используя предположение индукции, получим

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n² + (2n + 1) = (n + 1)².

Таким образом, P(n + 1) истинно и, следовательно, требуемое равенство доказано.

Замечание 3. Этот пример можно решить (аналогично предыдущему) без использования метода математической индукции.

c) При n = 1 равенство истинно:

1=1. Допустим, что истинно равенство

и покажем, что

то есть истинность P(n) влечет истинность P(n + 1). Действительно,

и, так как 2n² + 7n + 6 = (2n + 3)(n + 2), получим

и, следовательно, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

d) При n = 1 равенство справедливо:

1=1. Допустим, что имеет место

и докажем, что

Действительно,

e) Утверждение P(1) справедливо:

2=2. Допустим, что равенство

справедливо, и докажем, что оно влечет равенство

Действительно,

Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.

f) P(1) справедливо:

¹/₃ = ¹/₃. Пусть имеет место равенство P(n):

.

Покажем, что последнее равенство влечет следующее:

Действительно, учитывая, что P(n) имеет место, получим

Таким образом, равенство доказано.

g) При n = 1 имеем a + b = b + a и, следовательно, равенство справедливо.

Пусть формула бинома Ньютона справедлива при n = k, то есть,