Урок учителя математики Гукасовой А. П. Тема урока: «Уравнение касательной»

Вид материала

Урок

Содержание Уравнение касательной Усложним условие задачи №89 I вариант

Подобный материал:

• План-конспект Тема урока : Движение жидкостей и газов. Уравнение Бернулли, 43.29kb.
• Урок №13 Тема урока: Музыкальная гармония пропорций, 53.89kb.
• Урок математики в 5 классе. Тема урока: Сложение и вычитание натуральных чисел, 76.55kb.
• Десять способов построения касательной к окружности, 19.97kb.
• Урока математики в начальной школе, 26.21kb.
• Тема урока: Нестандартные методы решения уравнений. Цель урока, 24.43kb.
• § Тема. Некоторые определения и обозначения, 1005.59kb.
• Тематическое и поурочное планирование. Урок это зеркало общей и педагогической культуры, 409.5kb.
• Урок по литературе. 9 класс. Тема урока: А. С. Грибоедов. Личность и судьба. «Горе, 29.98kb.
• Тема: «Эффективный урок стимул к успеху ученика и учителя», 140.15kb.

Тема урока:

«Уравнение касательной»


Цель урока: вывести уравнение касательной к графику функции и находить его для конкретных функций

1. Ребята, мы научились с вами находить производные простых и сложных функций, решать неравенства методом интервалов и, наконец, изучили геометрический смысл производной функции в точке. Итак, цель нашего сегодняшнего урока:
   
   1. Проверить все полученные вами знания по этим темам
      
   2. вывести уравнение касательной к графику функции в заданной точке
      
2. В начале урока проведём тест (на 10-12 мин) - тест в Приложении №1
   
   • пишут на двойных листах, выписывая ответы в свои тетради
     
   • после того как работы собраны учителем, ученики проверяют верность своих решений по ответам, выписанным на обратной стороне доски.
     

3. Решим у доски задание, аналогичное тому, что было задано на дом. Это задание поможет в объяснении новой темы.
   

Итак, открываем учебник Калягин, стр. 34, №80 (б)


Дано:

α = П/6 1) Уравнение прямой имеет вид y=kx+b

X₀ = 6 2) Что показывает коэффициент k?

Y₀ = -5 k =tg α = tg П/6 =

Составим уравнение прямой y = x + b

3) т.к. точка (X₀, Y₀) этой прямой, то

-5 = *6+b

-5 = 2+b

b = -5- 2

4) уравнение имеет вид y = x -5-2


Дополнительные вопросы:

1. Какая прямая называется касательной к графику функции
   
2. В чем состоит геометрический смысл производной
   
3. Если `(x)<0, то какой угол образует касательную с положительным направлением оси OX. А если `(x)>0 ? А если `(x) = 0?
   

Ребята, а если бы задача звучала бы так:

Составить уравнение прямой, имеющей с графиком функции y=(x) единственную точку (6; -5) и образующую с положительным направлением оси OX угол α=П/6

Тогда, как бы мы назвали эту прямую? Необходимо знать y = x -5-2 - уравнение касательной к графику функции y=f(x).

Решение задачи поможет в составлении уравнения касательной к графику функции в точке

Запишем тему урока « Уравнение касательной»




Пусть нам дана дифференциальная функция y = f(x)

Точка - точка касания графика функции y=f(x) с прямой y=kx+b

y=kx+b, т.к. k=`(X<sub>0</sub>), то уравнение примет вид y = `(X₀)*x+b (*)

т.к. касательная проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению

Y₀=`(X<sub>0</sub>)*x+b, т.е. Y<sub>0</sub>=`(X₀)*X₀+b

Отсюда b=(X₀) -`(X₀)*X₀

Y=(X₀) +`(X₀)*(X-X₀)

Мы вывели уравнение касательной, где - координаты точки касания.

(x, y) – координаты любой точки этой касательной.


Пример №1 (№84(2), стр.35)

Дано: y=f(x₀) + f `( x₀)(x-x₀)

f(x)=x-3x² 1) f(x₀)=2-3*4=-10

x₀=2 2) f `( x)=1-6x

___________________ 3) f `( x₀)=1-6*2=-11

Написать уравнение 4) y=-10-11*(x-2)

касательной y=-10-11*x+22

y=-11*x+12


Запишем алгоритм решения:

1. вычислить f(x₀)
   
2. найти f `(x)
   
3. вычислить f `( x₀)
   
4. подставим в уравнение касательной Y=(X₀) +`(X₀)*(X-X₀)
   

Пример №2 (№85(3))


Дано: y=f(x₀) + f `( x₀)(x-x₀)

f(x)= 1) f(x₀)=

x₀=0 2) f `( x)=

___________________ 3) f `(0)=

Написать уравнение 4) y=

касательной


Вопрос Какой угол образуется касательной с положительным направлением оси OX?

• Самостоятельная работа (№84(1) и 84(4))
  
• На оборотах доски учениками решаются эти задания
  

№84(1) Решение:

f(x)=x²+x+1 1) f(x₀)=3

x₀=1 2) f `( x)=2x+1

3. f `(1)=3
   
4. y=3+3(x-1)
   

y=3x


№84(4) Решение:

f (x) = 1) f(x₀)=

x₀=-2 2) f `( x) = -2x^-3=

3) f `( x₀) =(-2)/(-8)=

4) y= +(x+2)= x+

y = x+


Вернёмся к домашнему заданию №89(6). В ней надо было найти точки графика функции y=f(x), в которой касательная к этому графику параллельна прямой y=kx


Вспомним условие II двух прямых: если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.


Усложним условие задачи №89


Дана функция f(x)=x²-3x+4.Составим уравнение касательной,параллельной прямой y=3x-1


f(x)= x²-3x+4 Т.к. касательная параллельна прямой y=3x-1, то k=3

y=3x-1 Зная, что k= f `( x₀), имеем

2x₀-3=3

2x₀=6

x₀=3

Y=(X₀) +`(X₀)*(X-X₀)

Пусть `(X₀)=K

(X₀)=3²-3*3+4=4

Y=4+3(x-3)=4+3x-9=3x-5

Y=3x-5


Подведём итоги урока:

1. Перечислить пункты алгоритма. Составить уравнение касательной.
   
2. Если надо составить уравнение касательной, параллельной данной прямой, с чего надо начинать решение таких заданий?
   

Домашнее задание учебник Калягина, стр.32 №84 (3, 5, 8),

№85(1, 2, 4)


Приложение

I вариант	II вариант
Найти производную функции f(x)=(x+1)(x+2)-(x-1)(x-3)=(x+1)(x+2)-(x-1)(x-3) 1) -7 ; 2) -1; 3) -7; 4) 1	Найти производную функции f(x) = 1) 4x -; 2) 4x3 - ; 3) 4x +; 4) 4x3 +
2.Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику y = 6x - в его точке с абсциссой (-1) 1) -4; 2) -6; 3) 6; 4) 8	2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y=sin 2x в его точке с абсциссой 0 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) -1
3. Решить неравенство f `( x)>0, если f ( x)=-x2-4x-2007 1) (2; +∞) ; 2) (-2; +∞) ; 3) (- ∞; 2) ; 4) (- ∞; - 2)	3. Решить неравенство 1) (- ∞; -5) ; 2) (-5; 1) ; 3) (- ∞; -5) ; 4) (-5; 1) ;
4. Найти производную y = 2 sin x +cos x - 3 1) y`( x) = tg x +7; 2) y`( x) = ; 3) y`( x) = 3 sin x - 2; 4) y`( x) = 2 cos x – sin x	4. Найти производную 1) f `( x) = 2x + 7 sin x ; 2) f `( x) =  ; 3) f `( x) =  ; 4) f `( x) =  ;

Ответы: вариант I – 3444,

вариант II - 1312