Geum.ru

Задача педагогов

Вид материалаЗадача

Содержание


2. Пентаграмма, число g золотого сечения ичетыре фундаментальных вывода, связанных с ним
Четыре фундаментальных вывода в связи с числом g
Подобный материал:
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   53

2. Пентаграмма, число g золотого сечения и
четыре фундаментальных вывода, связанных с ним


Почему здесь приведен пример из евклидовой геометрии? Она требует нахождения души в конечности пространственных условий на земле. Она описывает их измеримость, обозримость и структурированность. Она опирается на связь чувства жизни с тем, что находится здесь и сейчас, в повседневной жизни, с так называемой предметной реальностью. В рамках этих геометрических эвклидовых законов геометрия пентаграммы занимает особое положение, поскольку в этом случае зримые геометрические законы выходят за рамки чисто геометрического понимания пространства в процессуально–временное измерение. Это происходит благодаря тому, что мыслительные формы, которые развиваются при рассмотрении пентаграммы выходят за понимание пентаграммы как сугубо пространственной фигуры. Мыслительные формы, развивающиеся при рассмотрении пентаграммы ведут к четырем фундаментальным выводам.

Введение



Рисунок 2

Исходя из элементарных знаний геометрии, из рисунка следует, что DG = AG = AB и что оба треугольника АВD и ВGА подобны, т.е. например, что их соответствующие углы равны. Из этого следует:

Отрезок BD делится точкой G таким образом, что малый отрезок BG относится к большому отрезку DG так же, как большой отрезок DG ко всему отрезку BD. Это деление называют золотым сечением (sectio aurea). Оно часто встречается в природе и искусстве, а также и в человеческих формах. Поэтому его называют «божественной пропорцией»54. Если принять BD = 1 и DG = g, то исходя из вышеупомянутых расчетов:

, а следовательно: из чего следует .

При этом

Числовая мера g таким образом является квадратным иррациональным числом.

Все квадратные иррациональные числа можно познать конструктивно с помощью циркуля и линейки. Для g получается следующая конструкция:



Рисунок 3

(т–ма Пифагора для прямоугольного треугольника DBF)

из этого следует ;

и в конечном итоге ;

при этом .

С числом g золотого сечения наряду с чисто количественными отношениями связан также и ряд качественных свойств, чей характер выходит далеко за рамки чистой математики. Чтобы должным образом описать эти качества, мы должны прояснить для себя одно очень важное понятие, а именно понятие приближенных значений числа g.

Из g2 + g = 1 сначала следует

Это дает следующее:



Итак, число g может быть представлено в виде т.н. непрерывной дроби.

Для этой непрерывной дроби существуют приближенные значения дробных чисел (так наз. подходящие дроби). Их значения таковы:


и т.д.

это уже вполне пригодное приближенное значение для g. Оно составляет

На примере вышеприведенного можно выявить тенденцию, по которой формируются представленные подходящие дроби N1 N2, N3 и т.д. В их числителях и знаменателях находятся числа, относящиеся к знаменитой числовой последовательности, найденной Фибоначчи55, которая называется последовательностью Фибоначчи:



ее общая формула: fn = fn-1 +fn-2 (для n = 3,4, ...)

В последовательности Фибоначчи каждый член равняется сумме двух предыдущих. Из этого следует, что вышеприведенную последовательность приближенных значений для g можно представить в виде последовательности частных двух следующих друг за другом чисел Фибоначчи. Следовательно, числа Фибоначчи в своей основе связаны с числом g.

Четыре фундаментальных вывода в связи с числом g


1. Существуют процессы, которые чувствительно связаны с исходными условиями. Об этом говорит так называемая теория хаоса. В общем и целом исходные условия определяющим образом влияют на конечный результат.

Но помимо этого существуют процессы, которые сильнее своих исходных условий, т.е. процесс как таковой преодолевает свои исходные условия.

О том, что последовательность приближенных значений N1, N2, N3 позволяет все с большей точностью определять значение, мы уже знаем. Но если вместо исходных значений f1 и f2 = 1 мы подставим произвольные исходные значения, например, а1 = 1 а2 = 3, то при аn = аn-1 + аn-2 (для n = 3, 4, 5, ...) в таком же арифметическом процессе последовательность приближенных значений также будет стремиться к g.

Пример









Необходимые для этого математические доказательства формулируются следующим образом:

, что и требовалось доказать.

Этот принцип можно также найти, например, в гомеопатии.

Потенцирование зиждется на двух основных принципах:
  • Повторение процесса разведения, что можно представить в виде числового ряда, например, для десятичных потенций D1, D2, D3, при изготовлении которых исходная субстанция смешивается с 9 частями воспринимающей среды,
  • Восприятие исходной субстанции водной средой путем процесса встряхивания или молочным сахаром путем растирания. Это принятие в среду с одной стороны можно рассматривать как растворение, С другой стороны, происходит некое преобразование субстанции, т.к. в ходе продолжающегося измельчения она отдает в среду свою духовную сущность. Процесс восприятия средой и запечатлевания себя в среде становится сильнее, чем исходная субстанция. При этом возникает мыслеформа, которая позволяет разъяснить и проследить переход от статических пространственных условий к процессуально–временной деятельности.

Процессом, аналогичным потенцированию, является арифметический бесконечный процесс, который независимо от обоих исходных чисел привел к числу g. Исходное число соответствует исходной субстанции; число g – полному осуществлению процесса «умирания», т.е. одухотворения.

2. Типичным для организма является то обстоятельство, что в его частях всегда действует целое. Замечательным примером этому являются морские звезды или растение каланхоэ, которое в состоянии из какой-либо своей части (при изоляции оной) воспроизвести себя в целом. См. также 4 раздел этой главы. Именно с подобным положением вещей мы сталкиваемся при рассмотрении числа g. А именно:



В живой природе действует закон того, что целое всегда больше суммы его частей. Из-за взаимодействия частей друг с другом любой жизненный процесс не поддается линейно–каузальному описанию. Сложные взаимосвязи влияний присущи на первый взгляд простым жизненным ритмам и процессам, подобно числу g и множеству связанных с ним отношений и обратных отношений.

3. Существуют процессы, которые протекают медленнее, чем другие. Процесс становления человека, прежде всего в отношении его облика, присущего homo sapiens, протекает медленнее, чем у любого из млекопитающих. При этом пропорции человеческого облика целиком основаны на золотом сечении56. Человек появился последним в эволюции видов, он находится в конце возникновения видов («за секунду до полуночи») и включает в себя все виды с их процессами и способностями на новом уровне простоты и красоты.

Итак, можно продемонстрировать, что к любому иррациональному числу можно приблизиться с помощью подходящих дробей ее непрерывной дроби. Это означает в конкретном случае, что, например, для 8/13 как подходящей дроби к g не существует другого дробного числа с меньшими числами в числителе и знаменателе, которое бы являлось лучшим приближением к g. Если далее сравнивать различные последовательности подходящих дробей для иррациональных чисел, то получается, что числа в числителе и знаменателе соответствующей последовательности для g растут медленнее, чем у остальных.

Три примера последовательностей приближений для чисел g, h и к:

: самый медленный «прирост» величин

: более быстрый «прирост»

: еще более быстрый «прирост»

Оказывается, что, среди всех иррациональных чисел g является таковым, чье пошаговое приближение путем наилучших приближений является самым медленным. Так математически можно объяснить, почему золотое сечение с его числовой мерой g пронизывает все человеческое тело. Благодаря медленности своего развития человек получает возможность «душевно сопровождать его», «быть вместе», отождествиться с ним. Также это показывает, почему терпение является основной добродетелью всей работы по воспитанию и развитию.

4. Всем числам Фибоначчи, а также g присуще замечательное свойство: они реконструируются из себя самих. Три примера этому:

а) реконструкция с помощью квадратов чисел Фибоначчи

общее правило: (для n=1,2,…)

итак, например:



b) Реконструкция числа Фибоначчи из его полного спектра:

общее правило:

Итак, пример







с) Реконструкция g из целого спектра чисел Фибоначчи:

общее правило: для n=1,2,…

Например:



Также все эти примеры демонстрируют математические мыслеформы, которые присущи жизненным процессам: если мы хотим охарактеризовать жизнь как таковую, то на первое место мы поставим способность самостоятельно обновляться, т.е. реконструироваться. Прекрасный пример этому – мир растений. В 19 веке Шимпер и Браун исследовали порядок листьев вокруг стебля (т.н. филлотаксис). Листья растут по спирали вокруг стебля, при этом угол между двумя следующими друг за другом листьями остается постоянным. Если представить отношение этого угла к полному кругу в виде дроби, то для наиболее часто встречающихся положений листьев получается следующие дробные числа:



Это дроби, которые можно получить, если в последовательности Фибоначчи все время пропускать один член. Например, дробь 2/5 соответствует расположению листьев у розы: 5 листьев за 2 оборота вокруг стебля.

Эти потрясающие факты имел в виду еще Иоганн Кеплер, когда он формулировал следующие закономерности:

«В подобии этой развивающейся из самой себя последовательности отражается, по моему мнению, способность к распространению. Поэтому в растении можно увидеть признак этой способности, т.е. пентаграмму. Все дальнейшие доказательства, которые можно было бы привести после долгих раздумий, позвольте мне опустить»57.

Самые распространенные положения листьев, представленные в виде вышеупомянутых дробей, указывают на еще один примечательный факт: эта последовательность стремится не к g, а ко второй степени g, т.е. к g2. Если вспомнить при этом об описанном Гете пра–растении, которое соответствует различным типам растений, то в вышеприведенной последовательности частных можно увидеть его арифметическое соответствие. Это говорит о том, что растительный мир в своих образовательных процессах демонстрирует нам тот факт, что он уже изначально несет в себе тенденцию к потенцированию.

Приведенные четыре фундаментальных положения, касающиеся числа g, непосредственно указывают на область живого. Для нее характерны процессы интеграции, перекрестного взаимодействия, потенцирования, упрощения, репродукции. Мыслеформы из области математики и геометрии золотого сечения могут помочь получить доступ к «разуму» живых систем и к изучению пространственно–временных закономерностей жизни.