Теория графов и их применение

Вид материалаКурсовая
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Деревья


Деревом называется связный граф, не имеющий циклов. В графе без циклов, таким образом, каждая компонента связности является деревом. Такой граф называют лесом.

Из теоремы 2 ссылка скрыта следует, что во всяком дереве, в котором не меньше двух вершин, имеется вершина степени 1. Такие вершины называют висячими вершинами, или листьями. В действительности легко доказать, что в каждом дереве не меньше двух листьев, а цепь - пример дерева, в котором точно два листа.

В следующих двух теоремах устанавливаются некоторые свойства деревьев.

Теорема 1. Граф с вершинами и ребрами является деревом тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любым двум из следующих трех условий:
  • (1) связен;
  • (2) не имеет циклов;
  • (3) .

Доказательство.

Первые два условия вместе составляют определение дерева. Покажем, что выполнение любых двух из условий (1)-(3) влечет за собой выполнение третьего.

(1) и (2) (3). Индукция по числу вершин. При утверждение очевидно. При в дереве имеется хотя бы один лист. Если из дерева удалить лист, то снова получится дерево, так как циклов не появится, а связность, очевидно, сохранится. В этом новом дереве вершин и, по предположению индукции, ребра. Следовательно, в исходном дереве было ребро.

(2) и (3) (1). Пусть в графе, не имеющем циклов, ребро, а его компонентами связности являются , причем состоит из вершин, . Каждая компонента является деревом, поэтому, как доказано выше, число ребер в равно , а всего ребер в графе . Значит, и граф связен.

(1) и (3) (2). Рассмотрим связный граф с ребром. Если бы в нем был цикл, то, удалив любое цикловое ребро, мы получили бы связный граф с меньшим числом ребер. Можно продолжать такое удаление ребер до тех пор, пока не останется связный граф без циклов, то есть дерево. Но ребер в этом дереве было бы меньше, чем , а это противоречит доказанному выше.

Теорема 2. Если - дерево, то
  1. в любая пара вершин соединена единственным путем;
  2. при добавлении к любого нового ребра образуется цикл;
  3. при удалении из любого ребра он превращается в несвязный граф.

Доказательство.

Существование пути между любыми двумя вершинами следует из связности дерева. Допустим, что в некотором дереве существуют два различных пути, соединяющих вершины и . Начальные отрезки этих путей совпадают (оба пути начинаются в одной и той же вершине ). Пусть - последняя вершина этого совпадающего начала, а после в одном пути следует вершина , а в другом - вершина . Рассмотрим ребро . Если его удалить из графа, то в оставшемся подграфе вершины и будут соединимыми - соединяющий их маршрут можно построить так: взять отрезок первого пути от до и к нему присоединить отрезок второго от до , взятый в обратном порядке. Но это означает, что ребро не является перешейком. Однако из теоремы 4 ссылка скрыта следует, что в дереве каждое ребро является перешейком. Этим доказано утверждение 1). Утверждения 2) и 3) следуют из 1).

Отметим, что единственный путь, соединяющий две вершины дерева, всегда простой (если путь не является простым, в нем обязательно содержится цикл).