Теория графов и их применение

Вид материала

Курсовая

Содержание Взвешенные графы

Подобный материал:

• 1. Элементы теории графов Введение в теорию графов: основные понятия и определения., 32.17kb.
• «Теория графов», 114.81kb.
• Задача является np-полной для кубических планарных графов, реберных графов, ориентированных, 39.45kb.
• «Применение информационный технологий в теории графов», 272.84kb.
• Билеты по Дискретной математике «Теория Графов», 12.79kb.
• Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальностям 05. 13. 05 - "Элементы, 88.59kb.
• Спецкурс «Теория графов» пм 4 курс История возникновения и развития теории графов., 13.97kb.
• Задание графов соответствием 9 > Матричное представление графов 10 Вопросы применения, 230.14kb.
• Знать содержание программы курса; иметь навыки структурного моделирования типовых объектов;, 56.2kb.
• Теория конечных графов и её приложения прак зан, 29.91kb.

Взвешенные графы

Часто, особенно когда графы используются для моделирования реальных систем, их вершинам, или ребрам, или и тем, и другим приписываются некоторые числа. Природа этих чисел может быть самая разнообразная. Например, если граф представляет собой модель железнодорожной сети, то число, приписанное ребру, может указывать длину перегона между двумя станциями, или наибольший вес состава, который допустим для этого участка пути, или среднее число поездов, проходящих через этот участок в течение суток и т.п. Что бы ни означали эти числа, сложилась традиция называть их весами, а граф с заданными весами вершин и или ребер - взвешенным графом.

Изоморфизм

На рис. 1.8 изображены два графа с одним и тем же множеством вершин . При внимательном рассмотрении можно обнаружить, что это разные графы - в левом имеется ребро , в правом же такого нет. В то же время, если не обращать внимания на наименования вершин, то эти графы явно одинаково устроены: каждый из них - цикл из четырех вершин. Во многих случаях при исследовании строения графов имена или номера вершин не играют роли, и такие графы, один из которых получается из другого переименованием вершин, удобнее было бы считать одинаковыми. Для того чтобы это можно было делать "на законном основании", вводится понятие изоморфизма графов.


Рис. 1.8. 

Определение. Графы и называются изоморфными, если существует такая биекция множества на множество , что тогда и только тогда, когда . Отображение в этом случае называется изоморфизмом графа на граф .

Тот факт, что графы и изоморфны, записывается так: .

Для графов, изображенных на рис. 1.8, изоморфизмом является, например, отображение, задаваемое следующей таблицей:

(вершина графа )
(вершина графа )

Заметим, что в этом примере есть и другие изоморфизмы первого графа на второй.

Сформулированное определение изоморфизма годится и для ориентированных графов, нужно только обе упоминаемые в нем пары вершин считать упорядоченными.

Изоморфизм - бинарное отношение на множестве графов. Очевидно, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности называются абстрактными графами. Когда говорят, что рассматриваются абстрактные графы, это означает, что изоморфные графы считаются одинаковыми. Абстрактный граф можно представлять себе как граф, у которого стерты имена (пометки) вершин, поэтому абстрактные графы иногда называют также непомеченными графами.