Учебное пособие Москва, 2007 удк 50 Утверждено Ученым советом мгупи

Вид материала

Учебное пособие

Содержание Фундаментальные законы сохранения и симметрия пространства-времени 2. Закон сохранения механической энергии. Общефизический закон сохранения и превращения энергии. 3.Связь законов сохранения со свойствами симметрии пространства и времени. 1. Понятие колебаний. Гармонические колебания. 2. Вынужденные колебания; резонанс.

Подобный материал:

• Учебное пособие уфа-2007 удк 330. 01 (075. 8) Ббк 65. 02., 836.31kb.
• Утверждено Ученым Советом факультета психологии Санкт-Петербургского госуниверситета, 618.84kb.
• Учебное пособие для вузов Составитель Т. А. Тернова, 165.31kb.
• Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 удк алексеева С. Ф., Большаков В. И. Информационные, 1372.56kb.
• Учебное пособие Кемерово 2007 удк, 1748.31kb.
• Учебное пособие Казань кгту 2007 удк 31 (075) 502/ 504 ббк 60., 1553.23kb.
• Учебное пособие Рекомендовано учебно-методическим советом угаэс уфа-2005 удк 330., 1365.17kb.
• Учебное пособие Москва Издательство Российского университета дружбы народов удк 811., 4061.47kb.
• М. К. Аммосова Институт физической культуры и спорта рабочая программа, 137.47kb.
• Базовый курс Учебное пособие Третье издание, исправленное и дополненное Томск 2007, 1615.15kb.

Лекция 8

Фундаментальные законы сохранения и симметрия пространства-времени

1.Закон сохранения импульса.

Законами сохранения называются физические закономерности, согласно которым значения некоторых физических величин не изменяются со временем в любых процессах или в определённом классе процессов. Законы динамики позволяют полностью описать поведение изучаемой системы, они детально определяют изменение состояния системы с течением времени. Но часто такая детальная информация бывает не нужна или получение динамического закона затруднительно. Если нас интересует только конечное состояние системы, а промежуточные состояния не представляют интереса, то решить такую задачу позволяют законы сохранения. Важнейшими из них являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда; кроме всеобщих существуют также законы сохранения, справедливые для ограниченных классов систем и явлений.

Справедливость законов сохранения, охватывающих все явления природы, подтверждается опытным путём. Однако явлений, относящихся к определённому разделу физики, эти законы могут быть получены из конкретных законов этого раздела. Например, для механических явлений законы сохранения получаются как следствия из законов Ньютона. В частности, второй закон Ньютона можно представить в виде теоремы об изменении импульса материальной точки: скорость изменения импульса точки в ИСО равна сумме сил, действующих на эту точку, т.е. dp/dt = ∑F_i. Очевидным следствием этой теоремы является закон сохранения импульса точки: если сумма сил, действующих в течение некоторого интервала времени на точку, равна нулю, то вектор импульса точки в ИСО в течение этого времени сохраняется, т.е. если ∑F_i=0 , то dp/dt = 0 и p = const.

Следствием второго и третьего законов Ньютона и динамического принципа суперпозиции сил является теорема об изменении импульса системы: в ИСО скорость изменения импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на систему; внутренние силы не изменяют импульса системы: dp_сист/dt =∑F_{i внеш}. Под импульсом системы понимается векторная сумма импульсов всех точек, составляющих систему. Следствием этой теоремы является закон сохранения импульса системы, который сформулируем в виде двух положений:

Если на систему точек в ИСО внешние силы не действуют или их сумма равна нулю (такая система именуется замкнутой), то импульс системы сохраняется, т.е. если ∑F_{i внеш} = 0, то p_сист = const.

Если внешние силы, действующие на систему точек, не равны нулю, но существует такое неизменное направление в пространстве (например, ось координат ОХ), что проекция суммы внешних сил на это направление обращается в ноль, то проекция импульса системы на это направление сохраняется, т.е. если ( ∑F_{i внеш} ) _х = 0 , то p_{сист х} = const .

Этот закон объясняет такие явления как реактивное движение, отдача при выстреле, работа гребного винта или вёсел. Большое значение этот закон приобретает в авиации и космонавтике, а также в физике элементарных частиц. Отметим также, что при вращательном движении справедлив закон сохранения момента импульса (вращательного момента), который также является фундаментальным законом и играет важную роль в технике (гироскопические системы) и природе (процессы эволюции звёзд и др.).

2. Закон сохранения механической энергии. Общефизический закон сохранения и превращения энергии.

Все силы (внешние и внутренние), действующие на части механической системы, можно поделить на потенциальные и непотенциальные. Тогда изменение кинетической энергии системы при переходе её из состояния 1 в состояние 2 будет равно сумме работ всех сил:

W_к2 - W_к1 = A_пот + A_непот.

Работа потенциальных сил равна разности значений потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях: A_пот = W_{п 1} - W_п2.

Тогда из этих двух равенств имеем: (W _к + W_п)₂ – (W _к + W_п)₁ = A_непот.

Сумма кинетической и потенциальной энергии системы называется полной механической энергией : W _к + W_п = W_мех.

Тогда из предыдущего следует: W_{мех 2} - W_{мех 1} = A_непот . Это означает, что изменение полной механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил (как внешних, так и внутренних). В физике рассматривается и более общий случай, когда внешние потенциальные силовые поля нестационарны (зависят явно от времени), что также вносит вклад в изменение полной механической энергии. Приведённые формулы справедливы для случая стационарного поля.

Механическая система называется консервативной, если все действующие на неё внешние и внутренние непотенциальные силы не совершают работы, а все внешние потенциальные поля стационарны. Из этого определения следует, что полная механическая энергия консервативной системы не изменяется с течением времени. В этом и состоит закон сохранения механической энергии. Для замкнутых консервативных систем этот закон справедлив в форме: механическая энергия замкнутой системы не изменяется, если все внутренние силы потенциальны, либо не совершают работы.

Для перехода от механики к общефизическому вопросу о сохранении и превращении энергии необходимо углубить само понятие энергии, которая, как уже говорилось, является единой мерой всех движений и взаимодействий в природе. Одно из фундаментальных положений физики и всего естествознания состоит в том, что качественно различные физические формы движения материи способны превращаться друг в друга, и этот переход подчиняется строго определённым количественным законам. Существует количественный эквивалент, контролирующий переход одного вида движения материи в другой – это и есть энергия. В каждом конкретном явлении или процессе энергия проявляется в различных видах. Это отражается в системе физических теорий, где для удобства описания используются понятия механической, тепловой, электромагнитной, ядерной и др. энергии. Каждый из видов энергии существенным образом характеризует данную физическую форму движения с точки зрения возможности её превращения в любую другую форму движения, поэтому энергия едина. Можно отметить, что вся история человеческой цивилизации связана с освоением и развитием различных способов превращения и использования энергии.

В 40-х годах 19 века учёные Ю.Майер, Дж.Джоуль и Г.Гельмгольц независимо друг от друга показали, что все процессы преобразования и обмена энергией подчиняются закону сохранения и превращения энергии: энергия системы может переходить из одной формы в другую, перераспределяться между частями системы, но изменение полной энергии системы в любом процессе всегда равно энергии, получаемой системой в этом процессе.

Автором закона сохранения массы считается французский химик А.Лавуазье. К середине 19 в. законы сохранения энергии и массы окончательно оформились и трактовались как законы сохранения материи и движения. В начале 20 в. оба эти закона подверглись коренному пересмотру в связи с появлением специальной теории относительности. После замены классической механики релятивистской долгое время было принято считать, что масса, определяемая по инерционным свойствам тела, зависит от его скорости и , следовательно, характеризует не только количество материи, но и её движение. В настоящее время эти представления подверглись пересмотру: масса принимается независящей от ИСО, т.е. она является фундаментальной характеристикой физического объекта. Понятие энергии также подверглось изменению: полная энергия Е состоит из энергии покоя (E₀ = mc²) и кинетической энергии, которая связана с импульсом тела, а он в свою очередь зависит от скорости. В связи с этим полная энергия обнаруживает зависимость именно от импульса, т.е. возрастает с возрастанием скорости (но не массы!): Е=E₀+W_к=√p²c²+m²c⁴ .

Таким образом, теория относительности позволяет характеризовать все протекающие в природе явления с точки зрения сохранения полной энергии. В физике элементарных частиц происходят процессы перехода энергии покоя в кинетическую энергию, что сопровождается несовпадением масс исходных и конечных объектов; также возможно за счёт затрат кинетической энергии получить дополнительную энергию покоя, а значит и дополнительную массу. Но во всех случаях сохраняется фундаментальная характеристика системы – её масса, определяемая по формуле M_сист = E_{0 сист}/c² , причём это следует из сохранения полной энергии. Эволюция закона сохранения энергии показывает, что с расширением пределов человеческого знания любые законы, почерпнутые из опыта, нуждаются в уточнении.

В заключении следует отметить, что закон сохранения и превращения энергии является важнейшей частью рабочего аппарата физической науки как в теоретическом, так и в прикладном аспекте. Он играет роль одного из основных методологических принципов физики начиная от практических технических вопросов и кончая наиболее глубокими и фундаментальными теориями.

3.Связь законов сохранения со свойствами симметрии пространства и времени.

Законы физики формулируются и применяются для некоторых физических систем, каждая из которых может быть подвергнута определённым преобразованиям: параллельный перенос в пространстве, поворот, сдвиг начала отсчёта времени, перестановка частиц и множество других. Если сформулированные законы при этом не изменяют своей математической формы, то говорят, что эти законы симметричны относительно данных преобразований. Сами же преобразования выражают симметрию пространства и времени.

Сохранение импульса в замкнутой системе связано с однородностью пространства. Все явления в замкнутой системе не изменятся, если осуществить параллельный перенос системы из одного места в другое так, чтобы все тела оказались в тех же условиях, что и в прежнем положении. При таком переносе потенциальная энергия взаимодействия тел, которая, как это следует из однородности пространства, зависит только от их взаимного расположения, остаётся неизменной. Значит, при переносе всех тел замкнутой системы на один и тот же вектор R равна нулю работа всех внутренних сил : ∑F_{i внутр} R = 0 . Так как R - произвольный вектор, одинаковый для всех слагаемых этой суммы, то отсюда следует, что ∑F_{i внутр} = 0, т.е. сумма сил в замкнутой системе равна нулю. Это и есть условие, при выполнении которого второй закон Ньютона приводит к закону сохранения импульса. Отметим, что закон сохранения момента импульса вытекает из свойства изотропности пространства.

Сохранение энергии в замкнутой системе связано с однородностью времени. Все явления в замкнутой системе при одинаковых начальных условиях будут дальше протекать совершенно одинаково, независимо от того, в какой момент времени эти начальные условия созданы. Это означает, что энергия системы определяется только её механическим состоянием, т.е. зависит только от положений и скоростей образующих её частиц. С течением времени механическое состояние системы изменяется, т.е. радиус-векторы частиц и их скорости являются функциями времени. Однако энергия системы явно от времени не зависит – вся зависимость энергии системы от времени может проистекать только из-за зависимости r_i(t) и v_i(t) . Явная зависимость энергии системы от времени могла бы соответствовать, например, изменению энергии гравитационного взаимодействия с течением времени. В этом случае механическая энергия замкнутой системы не сохранялась бы. Можно было бы получать полезную работу за счёт изменения энергии со временем. Однако опыт показывает, что это не так. Однородность времени не только приводит к закону сохранения энергии, но и делает возможным сам факт существования науки, устанавливающей объективные законы природы. Справедливость таких законов подтверждается опытами, которые могут быть воспроизведены в любое время, в любую эпоху.


Лекция 9

Колебательные процессы

1. Понятие колебаний. Гармонические колебания.

Колебания – это процессы (движения или изменения состояния), обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Если говорить о колебательных процессах, рассматриваемых в физике, то они могут иметь совершенно разную физическую природу, однако обладают общими чертами и даже подчиняются одинаковым закономерностям. Универсальность законов колебательных процессов позволяет рассматривать их с единой точки зрения, более того, некоторые общие методы пригодны и для описания колебаний в нефизических системах (биологических, социальных и др.). Для определённости будем иметь в виду физические системы, в которых в зависимости от физической природы могут происходить механические , электромагнитные, электромеханические и иные колебания. Примерами механических колебаний могут служить движения маятников, струн, частей машин и механизмов, воздуха, воды в морях, земной коры и т.д.

Любая система, способная совершать колебания, описывается некоторой физической величиной s(t), отклонение которой от равновесного значения зависит от времени по периодическому или почти периодическому закону. В случае периодических колебаний s(t) = s(t + T), где Т – период колебаний (в СИ измеряется в секундах), т.е. то наименьшее время, через которое повторяется значение s(t) и восстанавливается данное состояние колебательной системы. Величина, обратная периоду и численно равная числу колебаний за единицу времени, называется частотой и измеряется в герцах ( 1 Гц = 1 с^-1): ν = 1/T. Для физики колебаний характерно рассмотрение процесса в целом, т.е. за большое число периодов.

Важнейшим условием колебательного процесса является наличие возвращающей силы, которая направлена так, чтобы система периодически возвращалась в состояние равновесия. Если такая сила является «внутренним» свойством системы, то в этом случае возможны свободные колебания. Для создания свободных колебаний необходимо однократно вывести систему из состояния равновесия, причём системе сообщается некоторое количество энергии, и в процессе колебаний новая энергия в систему извне не поступает. Физическими моделями, на которых удобно изучать процессы сводных колебаний, являются в механике пружинный и математический маятники (последний представляет собой материальную точку, подвешенную в поле силы тяжести на невесомой нерастяжимой нити), а в электродинамике - электромагнитный колебательный контур (электрическая цепь, состоящая в простейшем случае из конденсатора и катушки).

В отличие от моделей, в реальных колебательных системах всегда происходят процессы , приводящие к переходу первоначально сообщённой энергии в какие-либо другие формы, т.е. энергия колебаний как таковых непрерывно уменьшается. В механических системах, например, это связано с действием внешних и внутренних неконсервативных сил, приводящих к диссипации, т.е. «рассеянию» энергии и переходу механической энергии в тепловую. Реальные колебательные системы называют диссипативными.

Огромную роль в физике и технике играет гармонические колебания, т.е. колебания, при которых физические величины зависят от времени по законам синуса или косинуса (являются гармоническими функциями времени). В упомянутых выше системах (маятники и др.) при условии отсутствия диссипации энергии свободные колебания являются гармоническими, а сами системы называются гармоническим осцилляторами. Для таких систем можно аналитически получить так называемое дифференциальное уравнение свободных колебаний, из которого определяется вид зависимости от времени для физической величины s (t), изменяющейся в процессе колебаний (в случае маятника s – это смещение от положения равновесия, в колебательном контуре – заряд на конденсаторе и т.д.). Уравнение имеет вид: d²s/dt²+ω₀²s=0, а его решением является, например функция вида: s (t) = А sin(ω₀t+ φ₀). Здесь А- амплитуда колебаний, т.е. модуль максимального отклонения величины s от равновесного значения; (ω₀t+φ₀ ) – фаза, определяющая состояние системы в данный момент времени, причём при t = 0 аргумент синуса равен начальной фазе φ₀ . Важнейшее значение для раскрытия свойств колебательной системы имеет величина ω₀ – собственная частота ил частота собственных (свободных) колебаний. Это циклическая частота, т.е. число колебаний за 2π секунд, связанная с обычной частотой по формуле ω₀= 2πν. Главное же состоит в том, что ω₀ не зависит от внешних условий и от значения энергии, первоначально сообщённой колебательной системе. Собственная частота ω₀ для данной системы определяется исключительно внутренними характеристиками этой системы и может быть вычислена по значениям этих характеристик. Каким бы способом ни были возбуждены свободные колебания в данной системе, какое первоначальное количество энергии ни было бы сообщено ей, колебания обязательно будут происходить с частотой ω₀. Эта величина является основной характеристикой колебательной системы. В случае идеальных систем она вычисляется по известным формулам, например, для математического маятника ω₀ = √ g / l , где g-ускорение свободного падения, l – длина подвеса , а для пружинного ω₀ = √ k / m , где k – жёсткость пружины, m – масса груза. Независимость динамических характеристик системы, т.е. частоты и периода свободных колебаний от начальных условий (амплитуды) называется изохронностью гармонического осциллятора. Для более сложных, реальных колебательных систем собственная частота вычисляется специальными методами.

2. Вынужденные колебания; резонанс.

Как видно из сказанного, дифференциальное уравнение свободных колебаний не содержит никакой информации о внешнем воздействии на колебательную систему; это воздействие проявляется лишь в начальных условиях и определяет, в частности. Энергию колебаний. Однако для практики особо важен случай, когда колебания происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Имеется в виду не только действие диссипативных сил, но прежде всего внешних сил, имеющих периодический характер. Такие колебания, называемые вынужденными, проявляют себя в технике, машиностроении, архитектуре и т.д. Общей чертой вынужденных колебаний , происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия этой илы система полностью «забывает» своё начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются лишь в период установления колебаний, который называется переходным процессом. В дальнейшем же характер колебаний зависит от закона изменения вынуждающей силы, например, если она гармоническая, то теоретически и экспериментально можно показать, что установившиеся колебания будут также гармоническими и происходящими с частотой вынуждающей силы, но не синхронно с ней ( со сдвигом по фазе). При этом амплитуда вынужденных колебаний будет иметь некоторое установившееся значение, зависящее от амплитуды и частоты внешней силы и, что самое главное, от собственной частоты колебательной системы ω₀.

При вынужденных колебаниях в реальных системах вопрос об амплитуде чрезвычайно важен, т.к. бывает необходимо увеличить её, либо наоборот как можно сильнее уменьшить или по крайнеё мере не допускать её увеличения. Изучая теоретически характер зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты ω внешней силы, например, в механических системах без трения, можно придти к выводу, что амплитуда резко возрастает при приближении ω к значению ω₀ , а при совпадении ω с собственной частотой системы амплитуда вообще стремится к бесконечности. Это явление называют резонансом. Реально амплитуда, разумеется , не будет бесконечно большой из-за трения, поэтому его учёт при описании вынужденных колебаний вблизи резонанса принципиально необходим.

При расчёте параметров различных технических устройств необходимо учитывать возможность возникновения резонанса при переменных внешних воздействиях, поскольку увеличение амплитуды может привести к разрушению системы и другим негативным следствиям. Известны примеры разрушения мостов под действием ветра постоянной скорости или при прохождении колонны войск, разрушения судов из-за действия волн, развинчивания гаек и болтов при вибрациях и др.

Как уже было сказано, колебания любой физической природы подчиняются одним и тем же закономерностям, изучение которых даёт ключ к пониманию и описанию колебательных процессов в системах любого вида – химических, биологических, социальных, экономических и др. Ещё в начале 20 в. в западной науке появились данные о периодических явлениях в некоторых химических реакциях (А.Лотка, У.Брей). В 40 годы Франк-Каменецкий экспериментально и теоретически доказал возможность термокинетических колебаний, т.е. периодических процессов, связанных как с кинетикой реакций, так и с температурными изменениями. Современная история исследования колебательных химических реакций началась в 1951 г. с работ Белоусова, продолженных затем Жаботинским. Важность и глубина данного направления исследований не сразу была осознана отечественной наукой. Сейчас так называемая реакция Белоусова-Жаботинского заняла достойное место в мировой науке, фактически стимулировало развитие новой научной области. Результаты изучения химических колебаний согласуются с идеями синергетики и являются наглядной их иллюстрацией. Известны также колебательные процессы в экологических и биологических системах, причём их модели заимствованы из теории химических колебаний. В геофизике и физике космоса при описании периодических или почти периодических явлений также широко используются колебательные модели. В экономической науке существует целое направление, занимающееся изучением экономических колебаний (конъюнктурные волны спроса и предложения, циклы банковской системы и кредита, длиннопериодические волны Кондратьева и др.). Это далеко не полное перечисление научных приложений понятия колебаний, но везде можно увидеть общие подходы в их изучении и описании.