Программа дисциплины «Дискретные математические модели»

Вид материала

Программа дисциплины

Содержание Пермь 2011 год Базовый учебник Дополнительная литература 2. Тематика заданий для текущего контроля 3. Методические рекомендации (материалы) преподавателю 4. Методические указания студентам 5. Рекомендации по использованию информационных технологий Тематический расчет часов на 2010-2011 уч.г. Самостоятельная работа Раздел 1. Элементы теории множеств. Раздел 2. Графы. Паросочетания. Раздел 3. Обобщенные паросочетания, или паросочетания при линейных предпочтениях участников. Раздел 4. Бинарные отношения и функции выбора. Раздел 5. Задача голосования. Коллективные решения на графе. Раздел 6. Коалиции и влияние групп в парламенте. Раздел 7. Знаковые графы.

Подобный материал:

• Программа дисциплины «Дискретные математические модели», 224.89kb.
• Примерная программа наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления, 206.03kb.
• Методические указания по изучению теоретической части Чебоксары 2009, 70.73kb.
• Рабочая программа наименование дисциплины Математические модели в теории, 197.61kb.
• Рабочей программы учебной дисциплины математические методы и модели в экономике уровень, 37.32kb.
• Программа дисциплины «математические модели в экономике» Для направления, 156.79kb.
• Рабочая программа учебной дисциплины «Математические модели физики» Направление подготовки, 371.24kb.
• Методика получения математических моделей элементов. Математические модели, используемые, 28.81kb.
• Рабочая программа дисциплины «экономико-математические методы и модели», 129.59kb.
• Учебная программа по дисциплине Математические методы и модели в управлении для специальности, 79.82kb.

Н А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Й И С С Л Е Д О В А Т Е Л Ь С К И Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

ПЕРМСКИЙ ФИЛИАЛ


ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Дискретные математические модели»


для направления 080100.62 – «Экономика»

(вторая ступень высшего профессионального образования)

Утверждена Учебно-методическим Советом ПФ ГУ-ВШЭ Председатель _______________ Володина Г.Е. «_______»__________________________200__ г.

Одобрена на заседании кафедры прикладной математики и моделирования в социальных системах Зав. кафедрой________________ Потапов Д.Б. «______»__________________________20___ г.

Пермь 2011 год

I. Пояснительная записка

1. Автор программы: к.э.н. Потапов Дмитрий Борисович. Программа разработана на основе программы дисциплины «Дискретные математические модели» ВШЭ, автор – профессор Фуад Тагиевич Алескеров.
   
2. Требования к студентам: Изучение курса "Дискретные математические модели" не требует предварительных знаний, выходящих за пределы программ общеобразовательной средней школы и курса «Линейная алгебра».
   
3. Аннотация: В последние десятилетия стала очевидна необходимость использования для практического анализа и изучения вопросов, связанных с социально-экономической и общественно-политической жизнью современного общества, довольно широкого класса дискретных математических моделей. Прежде всего, это модели, относящиеся к теории коллективных решений, одним из классических результатов которой является теорема о невозможности К.Эрроу об агрегировании индивидуальных предпочтений в коллективное. Сюда же относятся результаты, впервые полученные Д.Гейлом и Л.Шепли, об обобщенных паросочетаниях. Еще одни типом моделей описывается распределение влияния между участниками в выборных органа. Другой тип дискретных моделей связан с анализом сбалансированности выборных органов. И, наконец, последний тип моделей, активно разрабатываемых и используемых в последнее время, относится к задаче справедливого дележа.
   

Курс «Дискретные математические модели» содержит основные современные математические подходы к описанию дискретных математических объектов, к построению и изучению прикладных дискретных математических моделей, адекватных реалиям и потребностям социально-экономической и общественно-политической жизни современного общества и рассматривается как необходимый компонент фундаментальной подготовки современных экономистов. Курс не имеет аналогов не только в российской практике обучения, но и в мировой. Изучаемые здесь на доступном для студентов 1-го-2-го года обучения (1-ый цикл обучения) уровне вопросы представлены в отдельных западных университетах в качестве тем спецкурсов для магистров и аспирантов.

Курс обильно иллюстрирован примерами из современной российской и зарубежной социально-экономической и общественно-политической жизни. Например, рассматриваются оценки влияния групп и фракций в российском парламенте и Совете Министров Евросоюза, сбалансированность выборного органа на примере Государственной Думы РФ, анализ сбалансированности пьесы У.Шекспира «Макбет» и др.

4. Учебная задача курса: После изучения курса студент должен
   

• иметь представление о теоретических основах современных дискретных моделей и об областях их практического приложения;
  
• знать и уметь применять основные положения теории графов, теории бинарных отношений, теории паросочетаний, комбинаторики и т.д.;
  
• демонстрировать знание и понимание основных определений, теорем, алгоритмов и методов решения задач;
  
• уметь строить логически выверенные рассуждения;
  
• уметь пользоваться методами дискретного моделирования (в частности, теории бинарных отношений, теории графов, методами комбинаторики) для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономического содержания;
  
• обладать навыками самостоятельной работы и умением находить и перерабатывать дополнительную информацию в данной предметной области.
  

5. Формы контроля:
   

• текущий контроль: контрольная работа по всей тематике курса, успешность выполнения которых оценивается по рейтинговой системе на основании положения «О рейтинге ПФ ГУ-ВШЭ»;
  
• итоговый контроль: письменный зачет в форме теста;
  
• итоговая оценка: заключительная оценка определяется по результатам контрольной работы, текущей работы в семестре, письменного зачета, в соответствии с положением «О рейтинге ПФ ГУ-ВШЭ».
  

2. Содержание программы.
   

Раздел 1. Элементы теории множеств.

Тема 1. Множества, подмножества. Множество всех подмножеств.

Тема 2. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, симметрическая разность, разбиение. Число элементов конечного множества.

Литература:

1. Дополнительная литература: [14], [15] (гл.1), [21].
   

Раздел 2. Графы. Паросочетания.

Тема 3. Графы. Двудольные графы. Задача о распределении работ. Задача о свадьбах.

Тема 4. Паросочетания. Совершенные и максимальные паросочетания. Условие Холла.

Тема 5. Трансверсали семейства множеств.

Литература:

1. Базовый учебник: [1] (гл.1).
   
2. Дополнительная литература: [19] (гл.4).
   

Раздел 3. Обобщенные паросочетания, или паросочетания при линейных предпочтениях участников.

Тема 6. Предпочтения. Условия классической рациональности предпочтений.

Тема 7. Обобщенные паросочетания. Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при любых предпочтениях участников (теорема Гейла – Шепли).

Тема 8. Манипулирование предпочтениями.

Литература:

1. Базовый учебник: [1] (гл.2).
   
2. Дополнительная литература: [33], [34] (гл.1-3).
   

Раздел 4. Бинарные отношения и функции выбора.

Тема 9. Бинарные отношения и их свойства. Операции над бинарными отношениями. Графическая интерпретация бинарных отношений и их свойств.

Тема 10. Специальные классы бинарных отношений: частичный порядок, слабый порядок, линейный порядок. Отношение несравнимости и его свойства для специальных классов бинарных отношений.

Тема 11. Выбор по отношению предпочтения. Свойства функций выбора. Функция полезности. Задачи потребительского выбора с использованием функции полезности.

Литература:

1. Базовый учебник: [1] (гл.3).
   
2. Дополнительная литература: [2] (гл.1-2), [18] (гл.1-3), [29] (гл.1-2).
   

Раздел 5. Задача голосования. Коллективные решения на графе.

Тема 12. Правило простого большинства. Парадокс Кондорсе. Правило Борда. Парадокс Эрроу.

Тема 13. Внутренняя и внешняя устойчивость. Ядро. Некоторые нелокальные правила принятия решений: позиционные правила, правила, использующие мажоритарное отношение, правила, использующие вспомогательную числовую шкалу, правила, использующие турнирную матрицу.

Литература:

1. Базовый учебник: [1] (гл.4-5), [4] (гл.1-3) .
   
2. Дополнительная литература: [9] (гл. 5), [18] (гл.1-2), [20] (гл.7), [28] (гл.1).
   

Раздел 6. Коалиции и влияние групп в парламенте.

Тема 14. Голосование с квотой. Индексы влияния. Индекс влияния Банцафа. Влияние стран в Совете Безопасности ООН. Анализ влияния групп и фракций в Государственной Думе Российской Федерации. Институциональный баланс власти в Совете министров расширенного Евросоюза.

Тема 15. Примеры других индексов влияния: индекс Шепли-Шубика, индекс Джонсона, индекс Дигена-Пакела, индекс Холера-Пакела.

Литература:

1. Базовый учебник: [1] (гл.6).
   
2. Дополнительная литература: [5], [6], [20] (гл.6), [А] (гл.1-4).
   

Раздел 7. Знаковые графы.

Тема 16. Знаковые графы. Сбалансированность малых групп. Критерий сбалансированности полного графа.

Тема 17. Меры сбалансированности. Сбалансированность выборного органа на примере Государственной Думы Российской Федерации. Применение меры сбалансированности для анализа литературных произведений (на примере пьесы У.Шекспира «Макбет»).

Литература:

1. Базовый учебник: [1] (гл.7).
   
2. Дополнительная литература: [6], [20] (гл.7).
   

2. Учебно-методическое обеспечение
   

1. Литература
   

Базовый учебник

1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и
   

коллективные решения. – М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006.

Дополнительная литература

2. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. «Выбор вариантов (основы теории)», М., Наука, 1990
   
3. Алескеров Ф.Т. «Слияние фирм: анализ трех ключевых проблем», Финансовый бизнес, №6, 2002, 3-7
   
4. Алескеров Ф.Т., Ортешук П. «Выборы. Голосование. Партии», М., Академия, 1995
   
5. Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Сатаров Г.А., Соколова А.В., Якуба В.И. "Оценка влияния групп и фракций в российском парламенте (1994 - 2003 гг.)", препринт ГУ-Высшая Школа Экономики, WP7/2003/01, Москва, 2003
   
6. Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Константинов М.Л., Сатаров Г.А., Якуба В.И."О сбалансированности Государственной Думы Российской Федерации (1994-2003 гг.)", препринт ГУ Высшая Школа Экономики, WP7/2003/02, Москва, 2003
   
7. Алескеров Ф.Т., Яновская Ю.М. «Применение теории справедливых решений к трудовым спорам», Управление персоналом, №1, 2003, 59-61
   

8. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети, М.: Наука,1974
   
9. Берж К. Теория графов и ее приложения, М.:, ИЛ,1962
   
10. Биркгоф Г. Теория решеток, М.: Наука, 1984
    
11. Брамс С., Тейлор А. Делим по справедливости. М., СИНТЕГ, 2003
    
12. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику, Москва, Наука, 1975
    
13. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера, М.: Энергия, 1980
    
14. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств, М.: Мир
    
15. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов, М.: Наука, 1975
    
16. Линдон Р. Заметки по логике, М.: Мир,1968
    
17. Мендельсон Э. В. Ведение в математическую логику, М.: Наука, 1976
    
18. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М., Наука, 1974
    
19. О.Оре Теория графов. М., Наука, 1968
    
20. Робертс Ф. Дискретные математические модели. М., Наука, 1986
    
21. Столл Р. Множество, логика, аксиоматические теории, М.: Просвещение, 1968
    
22. Харари Ф.Теория графов, М.: Мир, 1973
    
23. Хаусдорф Ф. Теория множеств, М.: ОНТИ, 1937
    
24. Черч А. Введение в математическую логику, М.: Изд-во иностр.лит., 1961
    
25. Шиханович Ю.А. Ведение в современную математику, М.: Наука, 1965
    
26. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок, М.: Наука, 1971
    
27. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, М.: Наука, 19
    
28. Aleskerov F. Arrovian Aggregation Models, Kluwer Academic Publishers, Dordercht, 1999
    
29. Aleskerov F., Monjardet B. Utility Maximization, Choice and Preference, Springer-Verlag, Berlin, 2002
    
30. Alkan, Ahmet. 1986. Nonexistence of stable threesome matchings Mathematical Social Sciences. 16, 207-9. (2)
    
31. Biggs N.L. Discrete Mathematics, Oxford University Press, London, 2003
    
32. Gale, David, and Lloyd Shapley. 1962. College admissions and the stability of marriage. American Mathematical Monthly, 69, 9-15. 12. 51
    
33. Roth A., Sotomayor M.O. Two-sided matching, Cambridge University Press, 1990, Cambridge
    

2. Тематика заданий для текущего контроля

Приложение 1. Темы контрольных работ. Темы домашних работ.

Приложение 2. Вопросы для самоконтроля студентов.

Приложение 3. План семинарских занятий.


3. Методические рекомендации (материалы) преподавателю:

1. На лекциях акцентировать внимание не только на самих моделях, но и на общих принципах их построения и возможных подходах к моделированию экономических проблем, возникающих на практике.

2. На семинарских занятиях использовать следующие методы обучения и контроля усвоения материала: устный опрос по основным понятиям и моделям; обсуждение теоретического материала, изученного на лекции и в ходе самостоятельных занятий; решение задач и упражнений; написание контрольных работ.

3. При проведении семинарских занятий использовать план семинарских занятий настоящей программы.

4. На контрольных работах проверять знание основных понятий, определений и моделей, умение решать типовые задачи; умение применять изученные теоретические модели и принципы их построения для моделирования проблем и ситуаций, возникающих на практике.


4. Методические указания студентам:

1) Перед каждым семинарским занятием следует ознакомиться с перечнем тем и во-просов для обсуждения на нем. Для подготовки к семинару рекомендуется следующая схема:

• проработать соответствующий лекционный материал;
  
• изучить рекомендованную основную и дополнительную литературу;
  
• решить задания для подготовки к семинару;
  
• решить заданные домашние задания;
  

при затруднениях сформулировать вопросы к преподавателю.

2) Домашние задания необходимо выполнять к каждому семинарскому занятию. При решении задач и упражнений следует пользоваться материалом лекций и рекомен-дованной литературой.


5. Рекомендации по использованию информационных технологий

На лекциях возможно использование мультимедийного проектора. Для построения графиков сложных функций и их демонстрации возможно использование специальных пакетов прикладных программ.

2. Тематический расчет часов на 2010-2011 уч.г.
   

№ п/п	Наименование разделов и тем	Аудиторные часы			Самостоятельная работа	Всего часов
		лекции	Семинар. или практ. занятия	Всего
Раздел 1. Элементы теории множеств.
1	Множества, подмножества. Множество всех подмножеств.	1	1	2	3	5
2	Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, симметрическая разность, разбиение. Число элементов конечного множества.	1	1	2	3	5
Раздел 2. Графы. Паросочетания.
3	Графы. Двудольные графы. Задача о распределении работ. Задача о свадьбах.	2	2	4	5	9
4	Паросочетания. Совершенные и максимальные паросочетания. Условие Холла.	1	1	2	5	7
5	Трансверсали семейства множеств.	1	1	2	4	6
Раздел 3. Обобщенные паросочетания, или паросочетания при линейных предпочтениях участников.
6	Предпочтения. Условия классической рациональности предпочтений.	1	1	2	4	6
7	Обобщенные паросочетания. Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при любых предпочтениях участников (теорема Гейла – Шепли).	2	2	4	6	10
8	Манипулирование предпочтениями.	1	1	2	4	6
Раздел 4. Бинарные отношения и функции выбора.
9	Бинарные отношения и их свойства. Операции над бинарными отношениями. Графическая интерпретация бинарных отношений и их свойств.	2	2	4	4	8
10	Специальные классы бинарных отношений: частичный порядок, слабый порядок, линейный порядок. Отношение несравнимости и его свойства для специальных классов бинарных отношений.	1	3	4	4	8
11	Выбор по отношению предпочтения. Свойства функций выбора. Функция полезности. Задачи потребительского выбора с использованием функции полезности.	1	1	2	4	6
Раздел 5. Задача голосования. Коллективные решения на графе.
12	Правило простого большинства. Парадокс Кондорсе. Правило Борда. Парадокс Эрроу.	1	1	2	4	6
13	Внутренняя и внешняя устойчивость. Ядро. Некоторые нелокальные правила принятия решений: позиционные правила, правила, использующие мажоритарное отношение, правила, использующие вспомогательную числовую шкалу, правила, использующие турнирную матрицу.	1	1	2	4	6
Раздел 6. Коалиции и влияние групп в парламенте.
14	Голосование с квотой. Индексы влияния. Индекс влияния Банцафа. Влияние стран в Совете Безопасности ООН. Анализ влияния групп и фракций в Государственной Думе Российской Федерации. Институциональный баланс власти в Совете министров расширенного Евросоюза.	2	1	3	6	9
15	Примеры других индексов влияния: индекс Шепли-Шубика, индекс Джонсона, индекс Дигена-Пакела, индекс Холера-Пакела.	2	1	3	4	7
Раздел 7. Знаковые графы.
16	Знаковые графы. Сбалансированность малых групп. Критерий сбалансированности полного графа.	1	1	2	4	6
17	Меры сбалансированности. Сбалансированность выборного органа на примере Государственной Думы Российской Федерации.	1	1	2	4	6
	Итого	22	22	44	70	114

Автор программы __________________________ Потапов Д.Б..


Приложение 1


Темы контрольных работ

Использование различных методов анализа графов и бинарных отношений и поиска решения в задачах, заданных на графах


Темы домашних работ

1. Паросочетания
   
2. Обобщенные паросочетания
   
3. Бинарные отношения
   
4. Функция выбора
   
5. Задача голосования
   
6. Коллективные решения на графе
   
7. Коалиции и влияние групп в парламенте
   

Приложение 2


Вопросы для самоконтроля студентов

1. Что такое граф?
   
2. Что называется двудольным графом?
   
3. Как определить степень вершины?
   
4. Как определить мощность максимального паросочетания?
   
5. Что такое совершенное паросочетание?
   
6. Как выглядит условие существования совершенного паросочетания?
   
7. Что такое дефицит двудольного графа?
   
8. Как выглядит условие Холла в задаче о трансверсали?
   
9. Каким условиям должно удовлетворять классически рациональное предпочтение?
   
10. Что такое обобщенное паросочетание?
    
11. Какая пара называется блокирующей паросочетание?
    
12. В каком случае паросочетание является устойчивым?
    
13. Какой исход возможен, если участник манипулирует предпочтениями?
    
14. Что называется бинарным отношением?
    
15. Каковы основные операции над бинарными отношениями?
    
16. Какие отношения называются обратным и дополнительным?
    
17. Каким свойствам может удовлетворять бинарное отношение?
    
18. Что такое транзитивное замыкание?
    
19. Как построить матрицу смежности?
    
20. Как проверить свойства бинарного отношения по матрице смежности?
    
21. Чем отличаются специальные классы: ацикличное, частичный порядок, слабый порядок, линейный порядок?
    
22. Что называется отношениями толерантности и эквивалентности?
    
23. Что такое отношение несравнимости?
    
24. Что называется функцией выбора, рационализируемой бинарным отношением?
    
25. Каковы свойства строгого и нестрого предпочтения?
    
26. В чем суть правила простого большинства?
    
27. В чем заключается парадокс Кондорсе?
    
28. Как определить коллективный выбор по правилу Борда?
    
29. Что является наилучшей альтернативой по правилу относительного большинства?
    
30. В чем суть парадокса Эрроу?
    
31. Каким аксиомам по Эрроу должно удовлетворять идеальное правило голосования?
    
32. Как определить минимальное внутреннее устойчивое множество?
    
33. Как определить максимальное внешнее устойчивое множество?
    
34. Что является ядром коллективного выбора?
    
35. Как определить наилучшую альтернативу по правилам Фишберна, Коупленда, с помощью турнирной матрицы?
    
36. Что называется коалицией?
    
37. Как определить значение индекса Банцафа влияния группы?
    
38. Как посчитать индексы Шепли-Шубика, Джонсона, Дигена-Пакела, Холера-Пакела?
    
39. Какая малая группа является сбалансированной?
    
40. Каков критерий сбалансированности малой группы?
    
41. Как посчитать меру сбалансированности?
    

Приложение 3

План семинарских занятий

Семинар 1	Тема	Паросочетания
	Вопросы	Паросочетание Максимальное паросочетание Совершенное паросочетание Условие Холла Трансверсаль семейства множеств
	Умения и навыки	Умение находить максимальное паросочетание Умение находить совершенное паросочетание
	Задания для работы на семинаре	Задачи блока 1 (Задачник Шварца)
	Задания для самостоятельного решения	1. Задачи блока 1 (Задачник Шварца)
Семинар 2	Тема	Обобщенные паросочетания
	Вопросы	Обобщенное паросочетание Блокирующие пары Устойчивость паросочетания
	Умения и навыки	Проверка паросочетания на устойчивость Поиск устойчивого паросочетания, используя алгоритм его нахождения
	Задания для работы на семинаре	1. Задачи блока 2 (Задачник Шварца)
	Задания для самостоятельного решения	1. Задачи блока 2 (Задачник Шварца)
Семинар 3	Тема	Бинарные отношения
	Вопросы	Бинарное отношения Свойства бинарных отношений Специальные классы бинарных отношений
	Умения и навыки	Проверка свойств бинарных отношений Проверка принадлежности бинарного отношения к специальному классу
	Задания для работы на семинаре	1. Задачи блока 3 (Задачник Шварца)
	Задания для самостоятельного решения	1. Задачи блока 3 (Задачник Шварца)
Семинар 4	Тема	Функции выбора
	Вопросы	1. Функция выбора, рационализируемая P 2. Функция выбора, рационализируемая R 3. Функция полезности
	Умения и навыки	Нахождение функции выбора, рационализируемой некоторым бинарным отношением Умение строить функцию полезности, эквивалентную бинарному отношению
	Задания для работы на семинаре	1. Задачи блока 3 (Задачник Шварца)
	Задания для самостоятельного решения	1. Задачи блока 3 (Задачник Шварца)
Семинар 5	Тема	Задача голосования
	Вопросы	Правило простого большинства Победитель Кондорсе Правило Борда Правило относительного большинства
	Умения и навыки	Построение наилучшего решения по заданному правилу Построение коллективного предпочтения по заданному правилу
	Задания для работы на семинаре	1. Задачи блока 4 (Задачник Шварца)
	Задания для самостоятельного решения	1. Задачи блока 4 (Задачник Шварца)
Семинар 6	Тема	Контрольная работа
	Вопросы	Паросочетания Обобщенные паросочетания Бинарные отношения и функции выбора Задача голосования
	Умения и навыки	Нахождение решений в заданных классах задач
	Задания для работы на семинаре	1. Контрольная работа
	Задания для самостоятельного решения	1. Пробный вариант контрольной работы
Семинар 7	Тема	Коллективные решения на графе
	Вопросы	Внешняя и внутренняя устойчивость Ядро Нелокальные правила голосования
	Умения и навыки	Нахождение максимального внутреннего устойчивого множества Нахождение минимального внешнего устойчивого множества Нахождение ядра Поиск наилучших решений по позиционным правилам Поиск наилучших решений по правилам Коупленда Поиск наилучших решений по правилу Фишберна, недоминируемых и доминирубщих множеств Поиск наилучших решений с использованием турнирной матрицы
	Задания для работы на семинаре	1. Задачи блока 5 (Задачник Шварца)
	Задания для самостоятельного решения	1. Задачи блока 5 (Задачник Шварца)
Семинар 8	Тема	Коалиции и влияние групп в парламенте
	Вопросы	Коалиция Индекс Банцафа Индекс Шепли-Шубика Другие индексы влияния
	Умения и навыки	Нахождение степени влияния партии в парламенте
	Задания для работы на семинаре	1. Задачи блока 6 (Задачник Шварца)
	Задания для самостоятельного решения	1. Задачи блока 6 (Задачник Шварца)