Geum.ru

Программа ставрополь 2001 Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Вид материалаПрограмма

Содержание


Издательство Ставропольского
Тематический план
Содержание дисциплины
Список литературы
Подобный материал:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ




ПРОГРАММА




Ставрополь


2001


Печатается по решению

Редакционно-издательского совета

Ставропольского государственного

университета


Методы математической физики:

Программа. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2001. - с.


Пособие содержит тематический план, программу лекционного курса, литературу.

Рекомендуется для студентов университета, обучающихся по специальности 010400 «Физика», в которую курс «Методы математической физики» введен в качестве общих профессиональных дисциплин.


Составитель: кандидат физико-математических наук Игропуло В.С.

Рецензент: доктор физико-математических наук,

проф. Диканский Ю.И.


Издательство Ставропольского

Государственного университета,

2001


Пояснительная записка



Основная цель курса "Метода математической физики" состоит в освоении студентами основных математических методов моделирования и исследования физических явлений. Как известно, абстрактные математические исследования существенно отличаются от теоретико-физичеких: задача математика состоит в создании математических теорий для идеальных "не имеющих реальных прототипов" математических объектов (точнее - конструкций). Именно поэтому непосредственное перенесение идей и методов современной математики в физику оказывается невозможным : слишком велико различие в уровнях абстракций между этими науками.

Университетская подготовка современного физика включает три взаимосвязанных компонента, отражающих основные подходы к постановке и решению физических проблем : экспериментальные, теоретико-аналитический, теоретико-компьютерный. Следует отметить, что довольно широко в последнее время используемый термин компьютерный эксперимент отражает реальную многомерность исследовательских возможностей в физике и является очевидным следствием качественного разнообразия её проблем. В свою очередь это выдвигает новые требования к подготовке физика-исследователя, отражается в учебных планах университета и программах дисциплин, обеспечивающих профессиональную подготовку.

Современная физика - лидер естествознания - находится на таком уровне концептуального и методологического развития, что можно утверждать наличие органичного единства математического аппарата физики и содержания физической теории. Вместе с тем эта теория отнюдь не сводится к математике и значительно богаче её. Связи математики и физики рассматриваются с различных точек зрения:

- можно считать математику инструментом исследования и "выбирать тот инструмент", который лучше всего подходит для постановки и решения конкретной физической проблемы - такова точка зрения теоретической физики.

- можно, напротив, сосредоточить внимание на особенностях математического аппарата, который используется или может быть использован в физике - это и есть точка зрения (и круг проблем) математической физики.


В университетской подготовке физика-исследователя курс "Методы математической физики" является методологическим фундаментом теоретической физики и объединяет фундаментальные и прикладные аспекты физики, математики и компьютерных методов исследований физических явлений.

Программа курса состоит из 4 основных разделов :

1) Общее введение. Классификация типов задач математической физики (темы 1,2).

2) Точные аналитические методы (темы 3,4,5,6).

3) Приближенные математические методы (тема 7).

4) Прямые численные методы и компьютерное моделирование (тема 8).


Курс "Методы математической физики" изучается студентами специальности 010400 "физика" в пятом семестре и включает 60 ч. лекций, 60 ч. практических занятий, 24ч. СКР. Текущий контроль усвоения осуществляется в ходе теоретического опроса ( в частности, по опорным элементам)

и при выполнении трех контрольных работ.


Тематический план





№

Название темы
Лекции
Практические зан.
СКР

1.
Общее введение. Математика и физика. Типы задач математической физики.

6
4
2

2.
Краевые задачи: постановка, краевые условия. Обзор методов решения.
4
4
2

3.
Системы координат, дифференциальные операции, типы дифференциальных уравнений математической физики.

8
8
4

4.
Типы решений дифференциальных уравнений математической физики.

Специальные функции.
10
12
4

5.
Решение уравнений эллиптического, параболического, гиперболического типа методом Фурье. Метод Грина,

функции Грина.
14
16
4

6.
Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики.

4
4
2

7.
Приближенные аналитические методы: теория возмущений, вариационный метод, метод эталонных уравнений.

8
8
4

8.
Прямые численные методы и компьютерное моделирование

в математической физике.
6
4
2

ИТОГО 60 60 24



Содержание дисциплины



Тема 1. Общее введение. Математика и физика. Типы задач математической физики.


Введение в дисциплину "Методы математической физики". Значение и методы использования математики в физике. Физические и математические модели физического

явления. Физические объекты, условия, процессы, их математическое описание. Наблюдатель. Проблема классификации задач в математической физике. Классификация физических явлений и их моделей. Классификация математических методов. Типы задач математической физики.


Тема 2. Краевые задачи: постановка, краевые условия. Обзор методов решения.


Понятие краевой задачи в математической физике. Примеры. Начальные и граничные условия. Типы краевых задач (Коши, Дирихле, Неймана), смешенные задачи. Корректность постановки краевой задачи. Классические и обобщенные решения. Обзор аналитических (точных, приближенных) и компьютерных методов решения задач математической физики: основные идеи, расчетные схемы (алгоритмы), круг решаемых задач, область применимости, достоинства и недостатки. Проблема и метод.


Тема 3. Системы координат, дифференциальные операции, типы дифференциальных уравнений математической физики.


Описание положения наблюдателя: система отсчета, система координат. Произвольные и криволинейные координаты, коэффициенты Ламэ. Операции grad, div, rot в криволинейных координатах. Дифференциальные операции второго порядка. Физический смысл дифференциальных операций. Обыкновенные дифференциальные уравнения и физические проблемы. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Нелинейные дифференциальные уравнения, бифуркации, катастрофы, солитоны.


Тема 4. Типы решений дифференциальных уравнений математической физики. Специальные функции.


Решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, нелинейных дифференциальных уравнений (Кортевега-де-Фриза, синус-Гордона). Специальные функции: уравнения специальных функций, общая характеристика его решений. Уравнения Бесселя, его решения методом Фробениуса, функции Бесселя, Неймана, Ханкеля. Представления и применение цилиндрических функций. Классические ортогональные полиномы. Сферические и шаровые функции.


Тема 5. Решения уравнения эллиптического, параболического, гиперболического типа методом Фурье. Метод Грина, функция Грина.


Общий алгоритм метода Фурье или метода разделения переменных. Существование, единственность и устойчивость решений. Задача об охлаждении стержня конечной длины; уравнения параболического типа. Задачи о колебаниях струны конечной длины; уравнения гиперболического типа. Виды задач об "охлаждении" и "колебаниях". Решения уравнений Лапласа в цилиндрических, сферических координатах; уравнения эллиптического типа. Уравнения Лежандра, полиномы Лежандра. Метод Грина решения краевых задач. Функции Грина: их свойства, физический смысл, применение.


Тема 6. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики.


Простейшие нелинейные уравнения, метод характеристик. Физическая природа нелинейности. Обобщенные решения. Условия на разрыве (Гюгонио-Ренкина). Уравнения Кортевега-де-Фриза: законы сохранения, метод обратной задачи. Пример: задача Коши для уравнения Кортевега-де-Фриза, солитонные решения. Основы физики солитонов.


Тема 7. Приближенные аналитические методы: теория возмущений, вариационный метод, метод эталонных уравнений.


Приближенные аналитические методы: определение, сходимость приближений, устойчивость решений. Стационарная теория возмущений. Поправка первого порядка. Пример: колебания круглой мембраны с точечной массой. Пример: расчет энергии основного состояния гелия. Основы вариационного метода. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Пример: задача о брахистохроне. Решение задач на собственные значения. Вариационный метод Релея-Ритца. Общее введение в метод эталонных уравнений: основные идеи, расчетная схема. Пример: применение метода эталонных уравнений к одной из задач квантовой теории рассеяния. Пример: исследование поверхностных эффектов в жидкостях методом эталонных уравнений.


Тема 8. Прямые численные методы и компьютерное моделирование в математической физике.


Численные методы, их возможности и значения в физике. Численное дифференцирование, интегрирование, интерполяция функций. Общий алгоритм "дискретизации" уравнений. Эллиптические, параболические уравнения в конечно-разностной форме. Разностная задача Штурма-Лиувилля. Численные методы решения уравнений математической физики : методы сеток, Рунге-Кутты, дифференциальной прогонки переменных направлений. Общие принципы компьютерного моделирования физических явлений. Примеры создания и использования компьютерных моделей в классической и современной физике. Заключение: основные достижения и проблемы математической физики.


Список литературы


Основная:

1. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. Изд-во МГУ, 1993 г., 2000г.

2.Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. Изд-во МГУ, 1998г.

3.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд-во МГУ, 1999г. и более ранние издания.


Дополнительная:

1.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М., Наука, 1984г.

2.Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. "Мир", М., 1984г.

3.Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. Изд-во МФТИ, 1994г.


СОДЕРЖАНИЕ


Пояснительная записка……………………………….

Тематический план……………………………………

Содержание дисциплины……………………………………..

Список литературы……………………………………