С. Л. О концепте числа

Вид материала

Анализ

Содержание В качестве эпиграфа Порядок дал Частям Числа, которые собрали Части друг с другом в прекрасные Пропорции. Далее, из Ниоткуда, тесно связанного с Иерархичность математического знания, «счетные числа» Кантора — Фреге и онтологический статус «нуля» Порядок дал Частям Числа, которые собрали Части друг с другом в прекрасные Пропорции. Далее, из Нигде (тесно связанного с Иррациональность прямо заявила о том, что Части

Подобный материал:

• Математичні константи, 30.08kb.
• С. Л. О (концепте) числе (а) : его онтологии и генезисе, 1455.74kb.
• Число 10. Состав числа, 39.75kb.
• Программа междисциплинарного вступительного экзамена в магистратуру по направлению, 101.8kb.
• Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом, 31.41kb.
• Иронический метод философствования и его реализация в концепте «я-философ-ироник», 768.77kb.
• Современное состояние и перспективы развития нанотехнологического оборудования, 48.36kb.
• Реферат №1 Строк здачі –5-й робочий тиждень Системи числення, 45kb.
• Рабочая программа курса «Элементарная математика» для студентов II курса по специальности, 25.95kb.
• Управление по сао главного управления мчс россии, 191.06kb.

Катречко С.Л.

О концепте числа.

Анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа.

К вопросу о возможности идеальной математики.

Послесловие к докладу (Красновидово, 8.09.2002) и тезисный набросок текста статьи от 10.09.02.


(Решил написать эти тезисы сейчас, т.е. 10.09.02, пока нахожусь «в теме» и еще не забыл мысленные ходы доклада, которому, в свою очередь, предшествовало определенное продумывание данной темы (проблемы) на протяжении нескольких дней начала сентября).


В качестве эпиграфа:

В начале было Ничто.

Ничто устало быть Ничем

И решило стать Нечто.

Нечто захотело познать Всё,

поэтому Нечто разделилось на Части

и Части, опасаясь забыть то, как они

превратились в Нечто, разыскали Порядок.

Порядок дал Частям Числа, которые собрали

Части друг с другом в прекрасные Пропорции.

Далее, из Ниоткуда, тесно связанного с

Ничем, пришла Иррациональность.

Иррациональность прямо заявила о том,

что Части На самом деле были Ничто.

Просветившись, Части тихо вернулись обратно в Нечто, которое, как теперь они узнали, в действительности есть Ничто, и представили поиск Всего Числам. (Сара Восс Миф о Числе)


Собственно «фактологическая база» доклада, посвященная анализу взглядов Кантора — Фреге на природу числа, была мной сформулирована ранее (в прошлом 2001 г.) во второй части моего предыдущего текста «К вопросу об «априорности» математического знания» (ссылка скрыта) и в последующей «развертке» этой темы в моем ответе на комментарий П. Куслия (см. «Приложение», где эти «куски» собраны воедино). Однако само название доклада говорит о том, что сейчас я более заинтересован не столько в изложении (анализе) взглядов Кантора и Фреге (их концепции я использую подчас в качестве иллюстративного материала), сколько в концептуальном анализе понятия ЧИСЛА. Здесь же попробую тезисно наметить структуру текста статьи (+ и задним числом эксплицировать структуру уже состоявшегося доклада на конференции 8.09.2002 г.).


1. Философия (в моем понимании) занимается концептуальным анализом, или анализом концептов (термин «концепт» употребляется в смысле Ж. Делеза и Ф. Гваттари (см. их совместную работу «Что такое философия?»)). Соответственно, философия математики должна заняться в первую очередь концептуальным анализом основных понятий математики, основу которой составляет понятие ЧИСЛА; ее «категориальной сеткой».

Примечание: Соответственно, философия логики должна заняться концептуальным анализом категориально-понятийной структурой логики и прежде всего анализом понятия ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМЫ. Заметим, что во многом нижеприведенные рассуждения (вплоть до п. 4, см. также п. 5.6.1) о математике применимы и к логике: обе эти дисциплины занимаются сходными предметами — ФОРМАМИ (см. мой «набросок» «Что такое логика?» — ссылка скрыта).

1.1. Один из постулатов концептуального анализа, сформулированного Делезом, состоит в том, что любой концепт (понятие, категория) имеет составной (сложный) характер и, соответственно, задача исследователя концептов заключается в том, чтобы выявить сложную структуру концепта, т.е. те «идеи», которые он содержит. Соответственно, наша задача заключается в том, чтобы проанализировать (сложную) структуру концепта ЧИСЛА.

1.2. Прекрасным примером концептуального анализа может служить рассуждение Н. Кузанского о совпадении максимума и минимума. Вот как оно выглядит (более подробный анализ рассуждения дан в моем тексте «Мое понимание философии»; ссылка скрыта):

«Абсолютный максимум пребывает в полной актуальности, будучи всем, чем он может быть, и по той же причине, по какой он не может быть больше (например, увеличиваться — К. С.), он не может быть и меньше (уменьшаться — К. С.): ведь он есть все то, что может существовать. Но то, меньше чего не может быть ничего (или то, что не может стать меньше — К. С.), есть минимум. Значит, раз максимум таков, как сказано, он очевидным образом совпадает с минимумом … (см. продолжение ниже)

Далее, продолжая это рассуждение, Кузанский проводит концептуальный анализ, выделяет две взаимосвязанные идеи концепта максимума и минимума: максимальность и количественную характеристику. После этого возможно «освобождение» соответствующих концептов от второй из них — идеи количественности, после чего (по первой идее максимальности) максимум и минимум совпадают. Наглядной моделью совпадения максимума и минимума служит, например, замыкание бесконечной прямой (где максимум можно отождествить с правой (бесконечной) точкой, а минимум — с левой) в окружность, где максимально правая (максимум) и максимально левая (минимум) точки совпадают).

… Все это для тебя прояснится, если представишь максимум и минимум в количественном определении. Максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало; освободи теперь максимум и минимум от количества, вынеся мысленно за скобки «велико» и «мало», и ясно увидишь совпадение максимума и минимума: максимум превосходит все и минимум тоже превосходит все; абсолютное количество не более максимально, чем минимально, потому что максимум его есть через совпадение вместе и минимум» [Об ученом незнании, cтр. 54].


2. Отвечая на вопрос: «что такое математика?», можно, несколько заостряя наш тезис, сказать, что математика есть наука о ЧИСЛЕ. Здесь уместно сказать о двух ослабленных версиях этого тезиса (замечу, что последующее обсуждение уже является концептуальным анализом).

2.1. Во-первых, в более точном смысле наукой о ЧИСЛЕ (как таковом, в узком значении термина) занимается не вся математика, а ее «часть» — арифметика, или алгебра; другая же «половина» математики — геометрия — занимается не ЧИСЛОМ, а ТОЧКОЙ (точкоподобными, или геометрическими объектами), т.е. ослабленная версия тезиса звучит так: математика занимается изучением ЧИСЛА и ТОЧКИ. Контраргументом против этого ослабления являются процедуры «редукции» геометрических объектов к числовым (аналитическая геометрия Декарта, формализация геометрии Гильберта, теоретико-множественная семантика современной математики), а также указание на «близость» числа и точки, что можно выразить терминологически в замене (термина) «числа» на (термин) «числоподобный объект», а ослабленная версия тезиса такова: математика изучает числоподобные объекты.

2.2. Во-вторых, возможно не эмпирическое ослабление (как указание на факт наличия не-числовых математических практик, например геометрии), а логическое ослабление высказанного в п.2 тезиса: тесная увязка МАТЕМАТИКИ с ЧИСЛОм существенно ограничивает область математики, т.к. ЧИСЛО является видовым понятием, например, по отношению к категории КОЛИЧЕСТВА. В ответ на это — возможное — возражение приведу контраргумент (1) и уточняющее замечание (2).

2.2.1. Концепты КОЛИЧЕСТВА и ЧИСЛА могут быть рассмотрены как разные терминологические версии одно и того же концепта: если ЧИСЛО трактовать в расширительном смысле как указание на любой числоподобный объект.

2.2.2. Если уж и выделять родовое, по отношению к понятию ЧИСЛА, понятие, то таковым будет понятие МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ как особой разновидности ФОРМЫ вообще (наряду, например, с музыкальной формой, логической формой и т.д.). Однако термин «математическая форма» не совсем удачен, т.к., во-первых, определяет математику через «математическое…», а, во-вторых, не фиксирует «родовой» характер этой «формы» (в этой связи, более точен термин «математическая метаформа»), которая, в качестве подвидов, включает несколько разновидностей «математической формы», такие как «геометрическая форма», «арифметическая форма»… и не указывает на критерий их выделения в качестве сходных «форм». Если же указать на это сходство (критерий) в явном виде, то можно было бы сказать, что математика занимается абстракциями второго порядка, или количественными формами, в отличие от абстракций первого порядка, или качественных абстракций естественных («физических») наук. Если же учесть п. 2.2.2., который содержит аргумент в пользу отождествления категорий числа и количества, то мы, собственно говоря, и придем снова к первоначально высказанному тезису о том, что математика исследует ЧИСЛО (в его расширительном трактовке: см. об этом ниже), или КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ФОРМЫ.

2.2.2.1. Специфика математики как деятельности с количественными формами выражается и на грамматическом уровне в противопоставлении прилагательных как качественных форм или (качественных) предикатов и числительных как отличных от прилагательных количественных форм или метапредикатов. В этом смысле числовые предикаты (см. чуть подробнее об этом у Фреге) сходны с бытийственными предикатами, которые (как подчеркивали это Аристотель, Кант, Хайдеггер) имеют не-содержательный характер (эта характеристика интерпретируется нами как указание на предикативность второго уровня или метапредикативный характер числовых и бытийных предикатов).

2.3. Наметим кратко еще одну линию нашего концептуального анализа. Отождествление категорий количества и числа позволяет привлечь для рассмотрения результаты гегелевского анализа, который в своей «Науки логике» выделил несколько подтипов количества, что может служить эвристической базой для выделения нескольких подтипов чисел в составе родового понятия ЧИСЛА. Однако сейчас эту тему развивать не будем, указав лишь на ее возможность разработки (вернемся к реализации этой линии анализа позже, когда проясним базовые концептуальные характеристики категории ЧИСЛА).


3. Любое ЧИСЛО — идеально. Уточняя это, принципиальный для меня тезис, можно было бы сказать, что ЧИСЛО имеет символически-идеальный характер. Например, как утверждали некоторые из присутствующих на конференцииⁱ, число пифагорейцев имеет телесный характер, это «камешки» и/или их конфигурации. В этой связи приведу пример с деньгами. Конечно, мы можем трактовать деньги физикалистки-натуралистически как вот эти «физические предметы» (монеты или купюры). Однако не это делает их деньгами. Дело в том, что через физическую — материальную составляющую — в деньгах (символически!) «просвечивает» их не-материальная (=идеальная) сущность. Аналогия вполне уместна и в случае с пифагорейскими «камешками». Здесь существенно не то, что они материальны или «телесны», а то, что они функционируют в своем символическом качестве ЧИСЛА. В этом смысле решающий шаг был сделан именно пифагорейцами и последующее развитие математики по существу ( = в концептуальном плане) не привнесло сюда ничего нового, кроме осознания того, что сущность (природа) ЧИСЛА не в их материальном носителе, т.е. не в пифагорейских «камешках» или, например, современных «цифрах» (где «материальная» составляющая «сокращена» до минимума), а в их идеальной природе (= форме). В этом смысле я готов двумя руками голосовать за тезис (известное выражение): «ЧИСЛА на дороге не валяются», они не-находимы в мире физических вещей, хотя удивительным образом «эффективны» в нем (парафраз известного тезиса Вигнера).

3.1. Если вспомнить о теме предыдущей конференции «Математика и опыт», то можно сформулировать «основную проблему философии математики» как проблему о соотношении не-находимых в мире вещей (идеальных) ЧИСЕЛ и физических (материальных) сущностей.

3.2. Если мы соотнесли концепт ЧИСЛА с концептом ИДЕАЛЬНОГО, то одна из необходимых задач нашего концептуального анализа (в данном случае она имеет вспомогательный характер) состоит в прояснении концепта «идеального». Ограничимся двумя главными смыслами этого концепта.

3.2.1. Во-первых, главный (основной, первоначальный) смысл идеального задается платоно-аристотелевским различение двух «миров»: «мир вещей vs. мир идей» (Платон), или «материя vs. форма» (Аристотель). Т.е. идеальное может быть отождествлено с формальным и в этом смысле математика является не содержательной, а формальной дисциплиной, исследует формально-количественный аспект бытия.

3.2.2. Во-вторых, ЧИСЛО есть не столько результат абстрагирования от материального (что постулируется натуралистической трактовкой числа), сколько идеализированная сущность. Т.е. ЧИСЛО есть результат идеализации, или гуссерлевской идеации (второй смысловой момент концепта идеальное). Для прояснения различения абстрагирования и идеализации (абстракция vs. идеализация) обратимся в кантовскому различения аналитического и синтетического, которое на наш взгляд является ключом к ее решению проблемы «эффективности» математики. Абстрактное всегда «вторично», или аналитично, оно «выводимо» из первичного (конкретного, целостного) основания абстрагирования. Поэтому, если математические сущности абстрактны, то неясно как они могут быть эвристичны. Идеальное же (как результат идеализации) — синтетично, содержит новые смыслы, которые при «переносе» на мир вещей (мир физического — материального) дают нечто «новое». Поэтому математика и «открывает» нечто новое в мире вещей, является «непостижимо эффективным» инструментом выявления новых аспектов, связей и соотношений. Наверное, одним из самых наглядных примеров «привнесения» нового может быть идея симметрии (ср. с кантовской рефлективной способностью суждения, которая «привносит» эстетические идеи в природный мир).

3.2.2.1 Возвращаясь к нашей полемике с А.Г. Барабашевым и (приватной полемике с А.Н. Кричевцом) по поводу кантовского априоризма и роли рефлективной способности суждения в математике, уточню свою позицию (в п. 8.4 своего комментария на текст А.Г. Барабашева «Можно ли говорить о регрессе кантовского априоризма?» я высказал принципиальный для меня тезис о том, что Кант не находит места рефлектирующей способности суждения в процессе опытного познания природы; ссылка скрыта). Рефлективная способность суждения для реального познания скорее «опасна», т.к. привносит туда слишком много фикций. Однако эти фикции (= эстетические идеи по Канту) отнюдь не бесполезны и обладают мощным эвристическим потенциалом. «Опасность» же связана с тем, что мы забываем об их фантазийно-антропоморфном характере и придаем этим субъективно-эстетическим образованиям (идеям) объективный статус, например натурализуем (онтологизируем) «красоту» или «замысел», которых (как таковых) в природе нет.


Промежуточный итог из пп. 1—3: математика — это наука о мыслимом и «работает» с символически-идеальной количественной формой — ЧИСЛОМ.

Примечание: Соответственно, логика тоже является наукой о мыслимом, абстрактно-идеальном, т.е. изучает законы мыслимого мира. Заметим, что это принципиально отличается от стандартного понимания логики как науке о мышлении. Законы логики — это не законы мышления, а законы области мыслимого! Тем самым снимается множество оговорок об отличии логики и психологии, поскольку психология занимается изучением (материального) мышления, законами психической деятельности).

4. Бытие в целом и область идеального имеет «слоистую» структуру. Этот тезис непосредственно восходит к построениям Н. Гартмана (см. его «Новую онтологию»; математический аналог «слоистости» — теорией типов Рассела), хотя указание на эту слоистость мы можем обнаружить уже в работах Аристотеля (учение Аристотеля о гилеоморфизме). Критерием различения разных областей бытия может служит «пространственно-временная пара» (+ возможное отрицание каждой из этих характеристик), которая задает три области бытия: 1. область пространственно-временного (физический мир, мир физических объектов); 2. область пространственно-невременного; 3. область непространственного — невременного. (О том, что представляет собой область непространственного — временного, или развивающегося идеального см. статью А.М. Анисова «Типы существования» в журнале «Вопросы философии» №7, 2001; наш анализ этой возможной динамической составляющей области идеального пока не учитывает).


5. (как «следствие» п. 2— 3 и п. 4) ЧИСЛО составляет одну из областей идеального, имеющую, в свою очередь, свою собственную слоистость.

5.1. Применительно к области числового идеального можно выделить несколько его уровней. Ранее (см. мой текст «К вопросу об «априорности» математического знания» в сборнике «Математика и опыт»; + www.philosophy.ru) мной были выделены две большие подобласти числового, соотносимые с геометрией и арифметикой. В свете вышеизложенного ТОЧКА (= точкоподобные объекты) занимают самую низшую область идеального — область пространственно-невременного (область №2; ср. со взглядами Платона («Тимей») — Прокла («Комментарий к книге Евклида») на природу математики (геометрии) как «промежуточной» области). Область ЧИСЛА занимает область №3, или область непространственного-невременного.

5.2. «Внутри» области №3, в свою очередь, можно выделить две подобласти ЧИСЕЛ. Во-первых, это область обычных — количественно-измерительных — чисел, к которой принадлежат большинство известных в математике числоподобных объектов (в данном случае этот термин используется в том специальном смысле, который придал ему И. Шафаревич <см. его работу «Основные понятия алгебры». Введение>): например целые, рациональные, иррациональные числа… Более точной характеристикой этой области было бы следующее: это область не чистого количества, а качественного количества. В данном случае ЧИСЛА функционируют как измерительная мера физических (качественных) величин. Для указания на онтологический статус этого типа чисел можно назвать их натуральными, или вещными числами, тем самым указывая, что их «область применения» — «мир вещей». Вопрос о более детальной проработке онтологической иерархии этой области пока оставим открытым (например, вполне возможно (т.е. сформулируем это как гипотезу), что натуральные и рациональные числа отличаются не только «горизонтально» (множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел), но и «вертикально», т.к. онтологическая область применения рациональных числе гораздо шире).

5.3. Кроме этого можно выделить и более «высокую» онтологическую область «порядковых» чисел. Эти числа выступают как метачисла и функционируют как средства счета (пересчета) количественно-измерительных чисел. Именно этот новый класс ЧИСЕЛ и вводится в работах Кантора и Фреге. Кантор определяет кардинальное число как результат двойной абстракции от качества и порядка задания элементов. Фреге замечает, что число не может мыслиться как «вещный» предикат (т.е. быть «свойством» реальных вещей), т.к. в этом случае непонятен статус «нуля». Он мыслит свое число как измерительный инструмент не вещей, элементов первого уровня, а «объемов» понятий, элементов второго уровня. Более подробный анализ взглядов Кантора и Фреге на природу числа представлен в подборке текстов «Приложения».

5.4. Это различение покажем путем выявления двух взаимопереплетенных и неразличаемых смыслов в концепте (математического) ЕДИНОГО — ЕДИНИЦЕ (наш пример восходит к Фреге; см. п.5.5.). Возьмем числовую ЕДИНИЦУ (соответственно, языковой термин «единица»). С одной стороны (1 смысл), ЕДИНИЦА — это количественно-качественный ОДИН (т.е. первый элемент измерительного — натурального — ряда), или бытийная единица; с другой стороны (2 смысл), ЕДИНИЦА — это ПЕРВЫЙ, или «счетный» ноль, как первый элемент счетного ряда чисел (мощность пустого множества, или первый элемент объема понятий, которые, в отличие от вещей, могут быть и пустыми), т.е. ничтойная единица. На грамматическом уровне различению чисел и метачисел соответствует различение между количественными и порядковыми числительными: единица — это и (1) количественный бытийный «один» и (2) порядковый ничтойный «первый».

5.5. «Область применения» счетных числе гораздо шире, чем «область применения» измерительных (натуральных в нашем смысле) чисел (онтологическая область измерительных чисел — это область РЕАЛЬНОГО). Как указывает Фреге «ноль» в онтологическом плане может быть соотнесен с «Ничто», т.е. с областью метаидеального, или областью ВОЗМОЖНОГО (область метаидеального-возможного = область непространственного, которая, наряду с областью собственно идеального (в том смысле идеального, как это сложилось в истории мысли) содержит и область виртуального, например миры сказочных персонажей или область компьютерно-виртуального), т.е. с областью таких объектов, которые не имеют материального денотата, но имеют смысл (в этом смысле из области ВОЗМОЖНОГО мы исключаем объекты типа «круглого квадрата», которые в принципе невозможны и/или противоречивы, но допускаем метафизические сущности, не имеющие реальных «моделей»). Если область измерительных чисел представляет собой «развертку» бытийной ЕДИНИЦЫ, то область счетных чисел представляет собой «развертку» бытийного НУЛЯ.

5.6. Дальнейшее продумывание пп.5.4—5.5. позволяет высказать следующую «сумасшедшую» гипотезу (эта «гипотеза» в докладе представлена не была, т.к. возникла сейчас, при написании этого текста). Мы ввели область МЕТАИДЕАЛЬНОГО—ВОЗМОЖНОГО (= область «Ничто») в противовес области РЕАЛЬНОГО как область непространственного. Однако можно помыслить область МЕТАИДЕАЛЬНОГО как область имеющую другую «пространственную» структуру или топологию. Если это так, то открываются удивительные перспективы по созданию новой идеальной (метафизической) математики, по крайней мере, метафизической геометрии (топологии). В работе Т. Рибо «Опыт исследования творческого воображения» приводится (случайно брошенное) замечание о том, что идея чернильницы и идея стула находятся «гораздо ближе» чем реальный стул и реальная чернильница (граница между ними не так отчетлива, как в случае реальных вещей). Это замечание наводит на мысль о том, что можно ввести определенную топологию (или даже структуру порядка как более «развитую» математическую структуру; см. следующий пункт 5.6.2.) между идеями, или «точками» смыслового пространства (= мира идей). Наверное, если согласиться с мнением Рибо об отсутствии четких границ между идеями, что это область (в отличие от дискретной области вещей) является непрерывной. Поэтому сейчас наверное идет речь о разработке именно метафизической геометрии (топологии), а не арифметики (алгебры).

5.6.1. На сегодняшний день есть два кандидата на роль основы для постулируемой нами выше идеальной математики. Это диалектика и (формальная) логика. Существующую диалектику (например, диалектику гегелевского типа) можно трактовать как метод (набор правил + иллюстрацию их работы) преобразования смысловых выражений, что представляет собой, возможно, первый грубый набросок такой идеальной математики. Или же идеальная математика должна как-то соотносится с логикой, которая также претендует на определенное исчисление идеального, хотя в данном случае постулируемые правила преобразования носят экстенсиональный, а не смыслово-интенсиональный (как в диалектике) характер. Заметим, что и логика и диалектика представляют собой скорее качественный уровень анализа идеального, в то время как идеальная математика претендует на то, чтобы анализировать его количественный аспект (вопрос для раздумья: алгебра классов не есть ли раздел будущей математики идеального?). Хотя вполне возможно, что в области смысла (= области идеального) количественных (математический) характеристик просто нет (ср. с рассуждением Н. Кузанского о совпадении максимума и минимума из п.1.2.).

5.6.2. Выявленные у Н. Бурбаки три основных структуры математики: топологические структуры, структуры порядка и алгебраические структуры можно рассматривать как «этапы» последовательной конкретизации концепта ЧИСЛА. В топологических структурах элементы максимально безличны (точки неотличимы одна от другой); в структурах порядка элементы упорядочены с помощью отношений больше, равно, меньше; в алгебраических структурах каждый элемент имеет свое уникальное (порядковое) «имя» — ЧИСЛО. Т.е. эти структуры не рядоположны, а представляет собой результаты генезиса математической мысли, направленной на выявление более тонких числовых закономерностей. В этом смысле развитие идеальной алгебры — дело будущего.

5.7. Наше различение трех областей идеально-числового: (1) области Геометрии как области «бытийного—пространственного—невременного; (2) область Арифметики как области бытийного—непространственного—невременного; (3) область метаматематики (фреге-канторовских метачисел) как «смешанной» бытийно-ничтойной области непространственного—невременного — лишь первый подход к более детальному различению слоев этой области. Дальнейшее продумывание может привести к выделению еще более «тонких» слоев, или даже новых крупных областей, пока что не ухватываемых нашим анализом. Ибо, как хорошо сказано схоластами: «Хорошо учит тот, кто хорошо различает».


6. Ранее, в статье (докладе) «Онтологическая классификация логико-математических систем», вопрос об онтологическом статусе математики (логических и математических систем) ставился в иной плоскости. А именно мы указывали «зависимость» ЧИСЛА (как основы той или иной математической системы) от «онтологических допущений», т.е. от онтологического статуса тех объектов, на которые нацелено число. Соответственно, разные (в онтологическом плане) объекты предопределяли (онтологическое) различие математических систем. По большому счету, мы при этом оставались на позициях натуралистического понимания ЧИСЛА, понимая число как результат абстрагирования от качественной специфики изучаемого объекта. Это (отчасти) было оправдано при изучении геометрических и измерительных чисел.

6.1. Сейчас же наш подход к онтологической проработке ЧИСЛА совершенно другой. Нас не интересует проблема соотнесения математики и реальности (числа и объекта), а наше внимание направлено на исследование природы ЧИСЛА (числа как такового). Поэтому мы ставим вопрос об онтологической статусе ЧИСЛА и выделяем по крайней мере три онтологических области (см. 5.7). Тем самым наш анализ не зависит от принимаемых или не принимаемых нами (или кем-то другим) онтологических допущений об устройстве мира. Конечно, определенные допущения мы эксплуатируем: например то, что каждый мир имеет пространственную и временную структуру. Но, судя по всему, никаких других более конкретных онтологических допущений (= ограничений) мы не используем. В этом смысле наш анализ более строг и имеет аподиктичный характер.

6.2. Термины «пространственная» и «временная» (структура) понимаются здесь в максимально широком смысле: пространственность фиксирует «статическую» структурированность мира (т.е. то, что это — мир упорядоченного многого), в временность — его (мира) событий (динамический характер).


ПРИЛОЖЕНИЕ

(выдержки из текстов предыдущего года, посвященные концепциям числа у Кантора и Фреге)


Катречко С.Л. К вопросу об «априорности» математического знания

…

Для иллюстрации современных — посткантовских — изменений в понимании природы и статуса математического знания кратко остановимся на анализе взглядов Г. Кантора и Г. Фреге. Наша задача заключается в том, чтобы на примере воззрений этих мыслителей на природу числа показать тенденцию — отчасти анти-кантианскую, отчасти анти-нововременную в целом — к повышению «метафизичности» математики. Надо сразу же оговориться, что оба указанных мыслителя работают в области «арифметики», которая занимает более «высокий» внутриматематический априорный статус, и это несколько сужает индуктивную базу наших обобщений на развитие математического знания в целом, но тем не менее анализ их концептуальных воззрений на природу числа достаточно показателен и характеризует существенное изменение, произошедшие с парадигмой «единой математики» в конце XIX — первой половине XX веков ¹.

Начнем с анализа взглядов Г. Кантора. Остановимся более внимательно на его революционном в концептуальном отношении понятии «кардинального числа». Вот канторовское определение: «”мощностью” или «кардинальным числом» множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания» [10, с. 173]. Результат этой двойной абстракции Кантор обозначает как //М (двойная черта указывает на двойное абстрагирование). Из приведенного определения видно, что канторовское концептуальное переосмысления понятия числа заключается в введении мета-абстрактных объектов «кардинальных чисел» (мета-чисел), которые выступают как результат (вторичного) абстрагирования от обычных — порядковых — чисел, являющихся, в свою очередь, результатом первичного абстрагирования от «качественной» определенности предметов реального мира. Понятно, что это огромный шаг вперед по сравнению «порядковым» («временным») пониманием числа у Канта. Более того этот шаг не только возрождает «метафизическое» понимание математического знания в античности, но и в определенном отношении развивает ее еще дальше. Точнее здесь происходит возрождение самого крайнего пифагоро-платоновского — в противовес аристотелевскому квазиэмпиризму — априоризма античности, поскольку в концептуальном (категориальном) отношении канторовское «кардинальное число» находится «выше» (на шкале умопостигаемости) аристотелевской категории «количества». Т.е. статус канторовской теории множеств, на которой базируется вся остальная математика, не просто формален, как отвлечение от «качественных» особенностей вещей (математика 1 уровня — «квазиэмпирическая математика»), но и мета-формален (математика 2 уровня — мета-математика), поскольку здесь происходит вторая, более «метафизическая», абстракция от категории «порядкового количества». Тем самым в канторовском понятии «кардинального числа» содержится принципиальная возможность для конституирования новой, более абстрактной (т.е. более априорной) математики, математики второго уровня, или «мета-математики» (в широком смысле этого слова). В последующем развитии математики ХХ в. было реализовано несколько проектов канторовского метаматематического подхода: во-первых, это «формализм» (теория доказательств) Д. Гильберта (метаматематика в узком смысле); во-вторых, «логицизм» Б. Рассела («логика» как априорный и более «метафизический» базис математики); в-третьих, «структурализм» Н. Бурбаки (математика изучает не «структуры» физического мира, а «работает» с мета-структурами, т.е. с абстракциями второго уровня — математическими структурами). Вместе с тем необходимо отметить и наличие определенного противовеса этой слишком уж «метафизической» тенденции в развитии математики, а именно: формирование интуиционизма как более эмпирической — «чувственной» по Канту — в эпистемологическом отношении концепции математической деятельности. Однако и в этом случае можно говорить о повышении степени априорности математики, т.к. и для интуиционистов базовой интуицией математической деятельности является более умопостигаемая —«арифметическая» — интуиция «счетного ряда» (см., например, цитированные выше фрагменты из работ Г. Вейля).

Более развернутая в концептуальном плане — и в чем-то даже более радикальная в своей «метафизической» тенденции — концепция числа принадлежит Г. Фреге. Покажем это на примере анализа его фундаментальной работы «Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о природе числа)» [11], которая определенным образом учитывает и «метафизические» достижения канторовской мысли об абстрактном статусе (канторовских) «бесконечных чисел». Прежде всего, Фреге убедительно показывает (в частности, критикуя за это и Кантора²), что число не может быть свойством «внешних» вещей наподобие понятия цвета, твердости, тяжести etc и не может получаться путем абстрагирования из предметов, и, тем самым, он опровергает тезис о математике как опытной науке (см. [11], гл. «Является ли число свойством внешних предметов?»). С другой стороны, число, в отличие от Канта, не может быть чем-то субъективным, т.е. «внутренним» представлением (см. [11], гл. «Является ли число чем-то субъективным?»). Поэтому оно должно быть «нечувственным и объективным» [11, стр. 57], т.е. занимать какое-то промежуточное положение между «внешними» вещами и «внутренними» представлениями (ср. с античным — платоновским — решением о промежуточном онтологическом статусе математических (геометрических) объектов). В этом отношении «числа» должны быть подобны предикатам, если мы понимаем их (предикаты) в платоновском смысле как «идеи» (=свойства) вещей. Однако «число» — на примере «единицы» — по своему статусу отличается и от «реальных» предикатов (т.е. является специфическим, несодержательным (мета)предикатом). Вот как Фреге фиксирует это различие: «Если бы «один человек» понимался наподобие «мудрый человек», то следовало бы думать, что «один» может использоваться как предикат, поэтому также как «Солон был мудрый» можно было бы сказать «Солон был один»…Но само по себе «один» не может быть предикатом [в тексте Фреге здесь стоит сноска, которую мы опускаем, но заменяем ее своим разъяснением³ — К.С.]. Еще яснее это проявляется при множественном числе. Тогда как «Солон был мудрый» и «Фалес был мудрый» можно скомбинировать «Солон и Фалес были мудрые», нельзя сказать «Солон и Фалес были один» [11, стр. 58—59]. Далее Фреге, ссылаясь на Баумана и Ст. Джевонса, делает еще один шаг, принципиальный для нас в связи с предшествующим изложением кантовской позиции на природу математики, когда подчеркивает независимость числа от времени (пространства) в связи с возможной применимостью «числа к непространственному и невременному» [11, стр. 71]. Таким образом, последовательно отвергая различные «узкие» (по логическому объему) понимания числа: эмпиристское абстрагирование от предметов (неправомерное сходство числа с качественными признаками предметов — математика как опытная наука); априористское (неправомерное) отождествление числа с пространственно-временными характеристиками существования предметов; восходящее к Платону (неправомерное) неразличение числовых и содержательных предикатов — Фреге приходит к пониманию числа как чистого «количества»⁴. Суть фрегевского подхода заключается в том, что число является не реальным предикатом (предикатом первого уровня), а предикатом второго уровня, метапредикатом; число является (количественной) характеристикой не предметов как таковых, а характеристикой понятий (о предметах), или, говоря другими словами, характеристикой «неопределенных [абстрактных — К.С.] предметов»: «число приложимо только к понятию [а не к предмету!; выделено мной — К.С.], под которое подводится внешнее и внутреннее, пространственное и временное, непространственное и невременное» [11, стр. 77]. Здесь же он приводит ключевые для уяснения его позиции слова Б. Спинозы: «Я отвечаю, что вещь может называться единой или единственной [т.е. «принимать» числовые — количественные — характеристики — К.С.] лишь по отношению к своему существованию, а не по отношению к своей сущности, ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род [т.е. когда рассматриваются не сами по себе в своем физическом модусе существования, а как «родовые», т.е. как «логические», или абстрактные, объекты; выделено мной — К.С.]» [11, стр. 78—79]. Обратим внимание на корреляцию категорий «существования» («бытия») и «числа» в этом отрывке. Чуть ниже Фреге эту коррелятивную связь несколько расшифровывает: «В этом отношении существование [предикат существования — К.С.] имеет сходство с числом [с предикатом числа — К.С.]. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа ноль [соответственно, полагание числа один в частном случае, когда мы говорим «Сократ» (неявно приписывая ему мета-предикат «есть» («существует») равный числовому метапредикату «один») — К.С.]», поскольку Фреге различает признаки предметов и свойства (метапризнаки) понятий (признак vs. свойство!): например, «…прочность, вместительность, удобство [понятия] дома не могут применяться при его строительстве, наряду с камнями, строительным раствором и бревнами» [11, стр. 80]. Т.е. Фреге сближает основополагающее для арифметики понятие «числа» с основополагающим метафизическим понятием «бытия» и, тем самым, приравнивает эпистемологический — априорный — статус математики (арифметики) статусу метафизики (ср. с кантовским пониманием «бытия» как отличного от «реального», т.е. «содержательного», предиката).

Подводя итог рассмотрению взглядов Фреге, можно сказать, что он обосновал возможность математики как метанауки, исследующей не свойства (эмпирических) предметов, а признаки умопостигаемых понятий о предметах. В этом смысле математика, вернее ее «арифметический» комплекс, является метатеоретической — априорной! — дисциплиной по сравнению с «содержательными» теоретическими дисциплинам типа физики, химии.., или, как принято говорить, математика является не содержательной, а «формальной» дисциплиной, что роднит ее с (формальной) логикой и метафизикой (как учением о (платоновских) «формах»). В середине XX века фрегевское понимание математики (в качестве метанауки) получил развитие в работах Н. Бурбаки, которые рассматривали математику как (мета)науку о (мета)свойствах «математических структур», которые, в свою очередь, могут рассматриваться как канторовские «количественные» абстракции первого уровня (ср. с понятием «кардинального числа» Г. Кантора — см. об этом выше).

Таким образом, в работах Г. Кантора и Г. Фреге (а позже и у Н. Бурбаки) было показано (обосновано), что математика является неоднородным иерархизированным комплексом знания, многослойной дисциплиной. Помимо «эмпирического» слоя математического знания, связанного с количественно-порядковой характеристикой предметов (абстрагирование от «качественной» определенности предметов), возможна априористская математика второго — «теоретического» — уровня (метауровня), которая изучает более высокие абстракции: «надпорядковые» структуры («кардинальные числа» Кантора) и/или «неопределенные предметы» — понятия (Фреге).


Иерархичность математического знания, «счетные числа» Кантора — Фреге и онтологический статус «нуля» (Из моего ответа на комментарий П.С. Куслия)

….

2. Перейдем теперь к другой теме, поднятой в последней части комментарии П.С. Куслия, которая посвящена анализу математико-философских взглядов Г. Фреге и Г. Кантора. На мой взгляд эта тема заслуживает особого внимания и тщательной проработки, т.к. именно оба этих мыслителя оказали самое существенное влияние на изменение концептуальных основ и развитие современной математики, но, к сожалению, основательного анализа их концептуальных воззрений на природу и сущность математического знания до сих пор не проведено. Надо признать также, что повторное (спустя несколько месяцев после его написания) чтение моего текста в части анализа взглядов этих мыслителей выявило ряд недомолвок и неточностей, на исправлении чего я и хотел бы остановиться здесь несколько более подробно.

Суть математической деятельности составляет работа с ЧИСЛОМ⁵. Однако вопрос об онтологическом статусе ЧИСЛА до сих пор остается открытым. Как правило большинство исследователей ограничиваются, восходящим к пифагоро-платоновской традиции, утверждением о том, что ЧИСЛО есть особый тип абстракции, занимающий промежуточное положение между физическими объектами и метафизическими сущностями, т.е. математика занимается абстракциями второго порядка (в то время как другие науки — как на экспериментальном, так и на теоретическом уровне — «работают» с абстракциями первого порядка; это необходимо для формулировки любой — даже экспериментальной — закономерности). Зародившийся в Новое время и вполне оформившийся к концу XIX в. классический идеал научного знания был основан на очень устойчивом «сцеплении» физики и математики в качестве единого комплекса [заметим, что «отголоски» этого «сцепления» сохранились у нас и сейчас, когда (1) присваиваются научные степени кандидата и доктора физико-математических наук; (2) создаются и существуют не чисто математические, а физико-математические или механико-математические факультеты университетов]. В рамках этого комплекса ЧИСЛО конституируется в своей измерительной функции, т.е. как средство (единица) измерения той или иной физической величины. Это подтверждается тем, что, с одной стороны, в физических законах числа фигурируют как количественные коэффициенты, имеющие ту или иную физическую — «качественную» — размерность; а, с другой стороны, признаются только те числа, которые имеют внятную физическую интерпретацию. Тем самым ЧИСЛО является количественной характеристикой качественных явлений, т.е. мыслится не как чисто количественная характеристика, а в своей физической ипостаси как количественно-качественная характеристика реально существующих (физических) явлений. Таким образом, онтологически ЧИСЛО выступает как бытийная ЕДИНИЦА, это — (из)мерное количество, или измерительное число, имеющая математико-физическую природу. Наиболее характерным проявлением такого понимания числа является натуральный числовой ряд, «обогащенный» промежуточными числовыми сущностями (что принципиально не изменяет данного концепта числа как измерительной сущности).

В работах Кантора — Фреге (в основном я буду опираться на тексты Г. Фреге [Г. Фреге Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о понятии числа). Томск, 2000, <2>; Его же. Логика и логическая семантика. М., 2000, <3>], но можно показать концептуальную близость подходов этих мыслителей; имеющиеся между ними различия в данном случае несущественны) происходит существенное переосмысление онтологического статуса основных математических концептов и, прежде всего, концепта числа. В основу математики кладется число в своей чистоте (число как таковое), которое полностью освобождается от своей измерительной функции в рамках своей физической — «качественной» — ипостаси, а функционирует как средство счета (пересчета). Конечно, это функция числа не является чем-то принципиально новым, просто раньше счетная составляющая числа занимала подчиненное положение в составе общей измерительно-счетной функции, а теперь она освобождается и конституируется в качестве собственной функции. Теперь (новое) ЧИСЛО^** — средство счета как таковое — выступает как средство пересчета однородно-равных — в силу утраты их качественных различий — абстрактных объектов, т.е. абстракций второго уровня, а не только как средство счета-измерения абстракций первого порядка — качественно различных вещей (измерение является частным случаем пересчета!). У Фреге (Кантора) число^** служит для «измерения» — счета, сравнения, упорядочивания… — сущностей второго порядка: (объемов) понятий (у Фреге) и (мощностей) множеств (у Кантора). Т.е. (новое) канторо-фрегевское число (= «число^**») полностью освобождается от своей качественной — «физической» — составляющей (зависимости) и выступает как чистое количество. Другими словами, Кантор и Фреге предложили принципиально новый концепт ЧИСЛА — счетное число, которое по отношению к концепту измерительного числа выступает как (мета)число второго порядка.

Наиболее ярким выражением этого переосмысления статуса ЧИСЛА является «включение» в числовой ряд нуля, который до этого воспринимался как некий вспомогательный элемент («языковая фикция» по Д. Гильберту), служащий для обеспечения функциональной полноты арифметических операций, но собственного (самостоятельного) «физического» статуса (т.е. собственной содержательной «позитивной» интерпретации) не имел. Примечательно, что в своей работе <1> Фреге первоначально обсуждает статус «нуля» на чисто философском (онтологическом) уровне. Так он сопоставляет математической «единице» метафизическое «Бытие», а математическому «нулю» — «Ничто» (небытие, отрицание бытия): «ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицания числа ноль» <2; стр. 80>. Например, фраза «Сократ есть» может быть интерпретирована (переформулирована) по Фреге как «(один) Сократ есть», а фраза «Сократ не существует (нет)» — как «(ноль) Сократа (есть)». «Ноль» получает свой онтологический статус в качестве «счетной меры» несуществующих (= небытийных) абстрактных сущностей, например «пустых» понятий типа «круглого квадрата» (или «счетности» пустых множеств у Кантора). А новое ЧИСЛО^** является концептуальным «расширением» прежнего ЧИСЛА (как бытийной «единицы») за счет включения его состав получившего онтологический статус ничтойного «нуля».

С точки зрения концептуального анализа «расцепление» измерительной и счетной функции чисел приводит к тому, что (единый) концепт «единицы» распадается на два самостоятельных концепта: «один» и «первый», — поскольку теперь (измерительная) «единица» («один» как первый член натурального ряда, который предназначен для измерения-счета качественно-различных существующих — натурально — вещей) не совпадает с (счетной) «единицей»: в счетном ряду чисел первым оказывается ничтойный (не-бытийный) «нуль», а бытийная «единица» занимает лишь второе место. На грамматическом (языковом) уровне это проявляется в более четком различении функций числительных: количественные числительные «один», «два»… (которые могут функционировать в качестве существительных, например в немецком языке могут употребляться с определенным артиклем der Eins), служащие для выражения количественных (измерительных) чисел, теперь строго отличены от порядковых числительных «первый», «второй»…, с помощью которых выражается счетная функцию чисел.

Полноправное введение в (счетный) числовой ряд ничтойного «нуля» резко повышает требования к строгости математического рассуждения, поскольку работать со «смешанным» универсумом, в котором есть не только «бытие», но и «ничто» гораздо труднее. Так, например, в <3; стр. 271> Фреге замечает, что неправомерным будет замена предложения «Здесь нет ничего, кроме Луны» (в данном случае выражается мысль о наличии ровно одного предмета) на предложение «Здесь есть Луна и НИЧЕГО [= Ничто — «Nichts» (нем.)]» (в данном случае количество называемых «предметов» возрастает до двух), или, если продолжить мысль Фреге, то «1» нельзя без специальных оговорок отождествлять с «суммой» «1 + 0» (или с «суммой» «1 + 0 + 0 +…», где «единице» приписывается (бесконечный) «нулевой» довесок) ⁶. В частности, именно путем такого более тщательного и строгого лингвистического (концептуального) анализа Фреге предлагает разрешить парадокс, обнаруженный им в работах Э. Шредера (заметим, что по своей «структуре» выявленный Фреге шредеровский парадокс является аналогом расселовского парадокса, который Фреге сумел «разрешить»!)⁷.

Понятно, что счетный «нуль» заключает в себе (при неточном с ним обращении; при неразличении измерительного «одного» и счетной «единицы») потенциальную парадоксальность, т.к. «нуль», с одной стороны, является 0 как «количественная мера» измерительного ряда чисел, а, с другой, стороны, он (уже как «нуль^**») «равен» 1^**, т.к. является первым элементом в счетном числовом ряду, т.е. появляется якобы «противоречие» 0 = 1^**. Поэтому не случайно эта потенциальная парадоксальность, содержащаяся в концепте «числа» Кантора — Фреге, привела к появлению (реальных) парадоксов, прежде всего парадоксов расселовского типа ⁸. Первая реакция математического сообщества на обнаруженные парадоксы (причем, в их числе оказались и сами создатели новой концепции числа) можно трактовать либо как «испуг», или, если воспользоваться терминологией Лакатоса из <1>, как (заведомо избыточное) «отступление в безопасную область» (см. различение консистентных и неконсистентных множеств у Кантора; различение класса и множества и создание теории типов у Рассела), — либо как полное неприятие концепции «чистых чисел», т.е. «полное отступление назад» (например, у интуиционистов). Позже, к середине ХХ в., ситуация изменилась, т.к. математики преодолели первоначальный «испуг» и научились более аккуратно работать с «новыми числами»: были предложены аксиоматические уточнения «наивной» теории множеств. Теория множеств превратилась в «фундамент» здания математического знания, а теоретико-множественный язык — в базовый язык математических рассуждений. Однако одна из наиболее острых проблем современной математики — проблема (возможной) парадоксальности теории множеств была все же не столько решена, сколько «отодвинута» в сторону. Поэтому дальнейшее уточнение концептуальных основ «новых чисел», предложенных Г. Кантором и Г. Фреге, (в том числе, и для полноценного разрешения проблемы (не)парадоксальности теории множеств) — одна из насущных задач, стоящих перед математикой и философией математики ХХI в.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Сара Восс Миф о Числе В начале было Ничто. Ничто устало быть Ничем И решило стать Нечто. Нечто захотело открыть Всё, поэтому Нечто разделилось на Части и Части, опасаясь забыть то, как они образовали <превратились в> Нечто, разыскали Порядок. Порядок дал Частям Числа, которые собрали Части друг с другом в прекрасные Пропорции. Далее, из Нигде (тесно связанного с Ничем) пришла Иррациональность. Иррациональность прямо заявила о том, что Части На самом деле были <произошли> из Ничто. Просветившись, Части тихо вернулись обратно в Нечто, которое, как теперь они узнали, в действительности было Ничем, и предоставили поиск Всего Числам.

Sarah Voss A Calculating Myth In the beginning there was Nothing. Nothing grew bored with being Nothing and decided to become Something. Something wanted to discover Everything, so Something split into Parts and the Parts, fearing they would forget how they fit into Something, sought out Order. Order gave the Parts Numbers, which the Parts gathered unto themselves in beautiful Proportion Then, out of Nowhere (closely associated with Nothing) came Irrationality. Irrationality declared flatly that the Parts were really Nothing after all. Enlightened, the Parts quietly slipped back into Something, which they now recognized was really Nothing, and left the discovery of Everything to Numbers