Комплекс Тюмень 2006 математика в экономике: Учебно-методический комплекс. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2006

Вид материала

Учебно-методический комплекс

Содержание Рабочая программа курса Количество часов Задания для контрольной работы Перечень вопросов к зачету по дисциплине Основная литература

Подобный материал:

• Комплекс Тюмень 2006 организация, нормирование и оплата труда на предприятиях отрасли:, 821.16kb.
• Комплекс Тюмень 2006 Ивахник Д. Е. Экономико-математические методы: Учебно-методический, 386.43kb.
• Учебно методический комплекс Издательство Тюменского государственного университета, 860.66kb.
• Учебно-методический комплекс издательство тюменского государственного университета,, 631.31kb.
• Комплекс Издательство Тюменского государственного университета 2008, 5451.1kb.
• Учебно-методический комплекс для студентов специальности «Финансы и кредит» Издательство, 797.38kb.
• Учебно-методический комплекс Издательство Тюменского государственного университета, 1421.57kb.
• Учебно-методический комплекс для студентов специальности «финансы и кредит» специализации, 2338.77kb.
• Учебно-методический комплекс издательство тюменского государственного университета, 1766.72kb.
• Учебно-методический комплекс издательство тюменского государственного университета,, 2079.21kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт дополнительного профессионального образования

МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

Учебно-методический

комплекс

Тюмень 2006


МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ: Учебно-методический комплекс. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2006.


Учебно-методический комплекс включает рабочую программу курса, задания для контрольной работы, перечень вопросов к зачету и список основной литературы.

Издание адресовано студентам, слушателям ИДПО обучающимся по специальности 351000 «Антикризисное управление».


Печатается по решению учебно-методической комиссии ИДПО.


Ответственный за выпуск: к.э.н., профессор С.А. Терехова.


 Тюменский государственный университет, 2006

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА


Целью изучения дисциплины «Математика в экономике» является овладение знаниями и представлениями в области линейного и нелинейного программирования, математической теории игр, моделей сетевого планирования и управления.

В процессе обучения проводятся лекционные и практические занятия. Самостоятельная работа студента осуществляется посредством изучения основной литературы, решения задач контрольной работы, подготовки к зачету.

Степень овладения теоретическими знаниями и практическими навыками определяется в процессе текущего, промежуточного и итогового контроля путем устного опроса, предоставления решенных задач и зачета по итогам изучения дисциплины.


Структура курса

«Математика в экономике»

№ п/п	Наименование темы	Количество часов
		Всего	Лекции	Практ.	Самост. раб.
1	Задачи линейного программирования	19	2	2	15
2	Задачи нелинейного программирования	19	2	2	15
3	Основы математической теории игр	19	2	2	15
4	Модели сетевого планирования и управления	18	2	2	14
	Всего	75	8	8	59

ТЕМА 1. Задачи линейного программирования

Общая и стандартная задача линейного программирования (ЛП). Понятия плана, оптимального плана. Выпуклые множества. Внутренние, граничные, крайние точки. Выпуклый многоугольник, многогранник, опорная плоскость.

Геометрическая и экономическая интерпретация задач ЛП. Понятие опорного плана. Основные свойства задач ЛП. Графический способ решения задач ЛП. Примеры задач, решаемых графически.

Базисный план. Симплексный метод. Метод искусственного базиса. Теорема о разрешимости расширенной задачи. Задачи со смешанными ограничениями.

Понятие о двойственности в ЛП. Виды математических моделей двойственных задач в ЛП. Двойственный симплекс-метод. Теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных задач.

Транспортная задача, ее математическая постановка. Определение опорного плана транспортной задачи: метод северо-западного угла, метод минимального элемента, метод аппроксимации Фогеля. Определение оптимального плана транспортной задачи: метод потенциалов, метод дифференциальных рент.


ТЕМА 2. Задачи нелинейного программирования

Экономическая и геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа.

Задачи выпуклого программирования. Понятия выпуклой и вогнутой функции. Теорема Куна-Таккера. Градиентные методы: метод Франка-Вулфа, метод штрафных функций, метод Эрроу-Гурвица. Нахождение решения задач нелинейного программирования, содержащих сепарабельные функции.


ТЕМА 3. Основы математической теории игр

Понятие об игровых моделях. Классификация игр. Формальное представление игр. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры. Принципы решения матричных антагонистических игр. Теорема о минимаксе. Решение игр в смешанных стратегиях. Геометрическая интерпретация простейших игр. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры. Определение Парето-оптимального множества, переговорного множества и решения Нэша для кооперативных игр. Применение аппарата теории игр для анализа микроэкономических проблем. Позиционные игры.


ТЕМА 4. Модели сетевого планирования и управления

Назначение и области применения сетевого планирования и управления. Сетевая модель, ее основные элементы. Порядок и правила построения сетевых графиков. Упорядочение сетевого графика. Понятие пути сетевого графика. Временные параметры сетевых графиков. Сетевое планирование в условиях неопределенности. Коэффициент напряженности работ. Анализ и оптимизация сетевого графика. Оптимизация сетевого графика методом «время-стоимость».


ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ


Контрольная работа предусматривает решение задач по одному из 3 предложенных вариантов. Студенты, фамилии которых начинаются с букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З – выполняют первый вариант; с букв И, К, Л, М, Н, О, П, Р, С – второй вариант; с букв Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Э, Ю, Я – третий вариант. По усмотрению преподавателя может быть иной подход на этапе распределения вариантов работы. Решение задач следует пояснять аналитическими выводами. Условие задач переписывать не следует, достаточно указать его номер.


ВАРИАНТ 1.

Задача 1. Найти решение задачи:

F=3 x₁ + 2x₃-6x₆→ max

2x₁+x₂-3x₃+6x₆= 18

-3x₁+2x₃+x₄-2x₆= 24

x₁+3x₃ +x₅–4x₆= 36

x_j≥0 ()


Задача 2. Предприятие может организовать выпуск четырех видов продукции. Для этого оно планирует использовать два типа взаимозаменяемого оборудования. Количество изделий каждого вида, которое может быть изготовлено на соответствующем оборудовании в течение 1 ч, а также затраты, связанные с производством одного изде­лия, приведены в табл. 1. Оборудование I типа предприятие может использовать не более 80 ч, а оборудование II типа – не более 60 ч. Учитывая, что предприятию следует изготовить изделий каждого вида соответственно не меньше 240, 160, 150 и 220 ед., определить, в тече­ние какого времени и на каком оборудовании следует изготовлять каждое из изделий так, чтобы получить не менее нужного количества изделий при минимальных затратах на их производство.

Таблица 1

Тип оборудования	Количество производимых в течение 1 ч изделий вида				Затраты (руб.), связанные с производством в течение 1ч изделий вида
I	1	2	3	4	1	2	3	4
	8	7	4	5	2,7	2,6	2,7	2,4
II	6	8	6	4	2,6	2,7	2,6	2,5

Задача 3. Найти оптимальный план транспортной задачи, исходные данные которой представлены в табл. 2.

Таблица 2

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	5	4	3	4	100
А2	3	2	5	5	140
А3	1	6	3	2	60
Потребности	80	80	60	80	300

Задача 4. Обувная фабрика планирует выпуск двух моделей обуви А и В. Спрос на эти модели не определен, однако можно предположить, что он может принимать одно из двух состояний (I и II). В зависимости от этих состояний прибыль предприятия различна и определяется матрицей А = Найдите оптимальное соотношение между объемами выпуска каждой из моделей, при котором предприятию гаранти­руется средняя величина прибыли при любом состоянии спроса.


ВАРИАНТ 2.

Задача 1. Найти решение задачи:

F= 2x₁ + 3x₂ – x₄ → max

2x₁ – x₂ – 2x₄ + x₅ = 16

3x₁ + 2x₂ + x₃–3x₄ =18

- x₁ + 3x₂ + 4x₄ + x₆ = 24

x_j ≥ 0 ()


Задача 2. Найти оптимальный план транспортной задачи, исходные данные которой представлены в табл. 3.


Таблица 3

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	2	4	3	5	130
А2	7	4	3	6	160
А3	2	7	3	4	90
Потребности	100	110	80	90	380

Задача 3. Мебельное предприятие выпускает три вида наборов мебели, книжные полки и тумбу под телевизоры. Характеристики каждого вида продукции приведены в табл. 4. При условии получения максимальной прибыли объем товарной пилопродукции должен быть на сумму не менее 459310 тыс. руб. Ситуация со сбытом продукции сложилась следующая. Книжными полками рынок насыщен, поэтому торговые организации уменьшили объем договоров до 10 тыс. шт. Тумбы для телевизоров могут быть реализованы в объемах от 4 до 7 тыс. шт., наборы мебели 2 - от 7 до 10 тыс. шт. Спрос на наборы мебели 1 и 3 неограничен, и требуется не менее 10 тыс. шт. Предприятие имеет технологическое оборудование, число единиц которого и нормы затрат времени оборудования каждой группы на изготовление единицы каждого вида продукции приведены в табл. 5. Предприятие работает в две смены с эффективным временем работы каждой машины 3945 ч. Оптимизировать производственную программу предприятия.

Таблица 4

Показатель	Виды продукции
	Набор мебели 1	Набор мебели 2	Набор мебели 3	Книжные полки	Тумба под телевизор
Оптовая цена, тыс. руб.	7200	14000	32000	180	1500
Прибыль от реализации, тыс. руб.	2400	4500	60000	60	450

Таблица 5

Наименование оборудования	Число, шт.	Виды продукции
		Набор мебели 1	Набор мебели 2	Набор мебели 3	Книжные полки	Тумба под телевизор
Линия раскроя древесно-стружечных плит	2	0,068	0,096	0,207	0,018	0,042
Гильотинные ножницы	1	0,045	0,080	0,158	0,011	0,035
Линия облицовывания	2	0,132	0,184	0,428	0,020	0,060
Линия обрезания кромок	2	0,057	0,082	0,230	0,010	0,028
Лаконаливная машина	2	0,063	0,090	0,217	0,010	0,032
Полировальные станки	4	0,170	0,280	0,620	0,020	0,096

Задача 4. Швейное пред­приятие планирует к массовому выпуску новую мо­дель одежды. Спрос на эту модель не может быть точно определен. Однако можно предположить, что его величина характеризу­ется тремя возможными состояниями (I, II, III). С учетом этих состояний анализируются три воз­можных варианта выпуска данной модели (А, Б, В). Каждый из этих вариан­тов требует своих затрат и обеспечивает в конечном счете различный эффект. Прибыль (тыс. руб.), которую получает предприятие при данном объеме выпуска модели и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей


.

Необходимо найти объем выпуска модели одежды, обеспечива­ющий среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.


ВАРИАНТ 3.

Задача 1. Найти решение задачи:

F = 8x₂ +7x₄ + x₆ → max

x₁-2x₂-3x₄-2x₆=12

4x₁+x₃-x₄-3x₆=12

5x₂+5x₄ +x₅+x₆= 25

x_j≥0 ()


Задача 2. Найти оптимальный план транспортной задачи, исходные данные которой представлены в табл. 6.

Таблица 6

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	8	7	4	5	50
А2	2	9	3	7	100
А3	7	7	1	4	120
Потребности	50	60	70	90	270

Задача 3. Найдите решение игры, определяемое следую­щей матрицей:

А =

Задача 4. Банк имеет на 3 мес. свободные ресурсы в количестве 1 млн. у.е. Вложение в ценные бумаги даст 19 %, на межбанковском рынке можно получить 17 %, вложение в валюту с последующей конвертацией даст только 6 %. Составьте задачу распределения свободных средств с целью максимизации процентного дохода. Составьте двойственную задачу.


ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ»


1. Общая и стандартная задача линейного программирования.

2. Геометрическая и экономическая интерпретация задач линейного программирования.

3. Понятие опорного плана. Основные свойства задач линейного программирования.

4. Симплексный метод.

5. Метод искусственного базиса.

6. Понятие о двойственности в линейном программировании.

7. Двойственный симплекс-метод.

8. Теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных задач.

9. Транспортная задача, ее математическая постановка.

10. Определение опорного плана транспортной задачи методом северо-западного угла.

11. Определение опорного плана транспортной задачи методом минимального элемента.


12. Определение опорного плана транспортной задачи методом аппроксимации Фогеля.

13. Определение оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов.


14. Определение оптимального плана транспортной задачи методом дифференциальных рент.

15. Экономическая и геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования.

16. Понятия выпуклой и вогнутой функции. Теорема Куна-Таккера.

17. Метод Франка-Вулфа.

18. Метод штрафных функций.

19. 19. Метод Эрроу-Гурвица.
    

20. Понятие об игровых моделях.

21. Классификация игр.
    
22. Формальное представление игр.
    
23. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры.
    
24. Принципы решения матричных антагонистических игр. Теорема о минимаксе.
    
25. Решение игр в смешанных стратегиях.
    
26. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
    
27. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры.
    
28. Определение Парето-оптимального множества, переговорного множества и решения Нэша для кооперативных игр.
    
29. Применение аппарата теории игр для анализа микроэкономических проблем.
    
30. Позиционные игры.
    
31. Назначение и области применения сетевого планирования и управления.
    
32. Сетевая модель, ее основные элементы.
    
33. Порядок и правила построения сетевых графиков.
    
34. Упорядочение сетевого графика. Понятие пути сетевого графика.
    
35. Временные параметры сетевых графиков.
    
36. Сетевое планирование в условиях неопределенности.
    
37. Коэффициент напряженности работ. Анализ и оптимизация сетевого графика.
    
38. Оптимизация сетевого графика методом «время-стоимость».
    

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высшая школа, 1986.
   
2. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. - М.: Высшая школа, 1980.
   
3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во ДИС, 1998.
   
4. Иванилов Ю.П. , Лотов Л.В. Математические модели в экономике. – М.: Наука, 1979.
   
5. Иванов А.Е., Уланов В.А. Методы оптимизации и некоторые вопросы планирования хозяйственной деятельности. – СПб.: ТЭИ, 1996.
   
6. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
   
7. Калахман И.А. Сборник задач по математическому программированию. М.: Высшая математика, 1982.
   
8. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998.
   
9. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 1980.
   
10. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимального управления. – М.: Наука, 1976.
    
11. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике. Т.1, 2. – М.: Финансы и статистика, 1999.
    
12. Таха Х. Введение в исследование операций. Т. 1. – М.: Мир, 1985.
    

Математика в экономике

Учебно-методический комплекс


Сотавитель: к.э.н., доцент Д.Е. Ивахник


Ответственный за выпуск: к.э.н., профессор С.А. Терехова