Geum.ru

Сервер Методического Обеспечения вгуэс

Вид материалаРеферат

Содержание


Шаг первый
А можно получить высказывание "неверно, что А
А, В можно образовать высказывание "А
А, В можно образовать следующее высказывание: "А
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22

.

  • Доказательство


При неравенство верно. Допустим,

.


Докажем, что

.


Перепишем это неравенство, частично раскрыв скобки:

.


Легко заметить, что для того, чтобы доказать это неравенство, достаточно доказать


Перенеся все слагаемые в одну сторону, и сгруппировав их, получаем очевидное неравенство:


А это и доказывает неравенство Коши-Буняковского.

  1. Определение 2


1. Число называется средним арифметическим чисел .

2. Если , то число называется средним геометрическим чисел .


  1. Теорема 3 (неравенство Коши)


Пусть , тогда

. (1)

  • Доказательство


Шаг первый: сначала индукцией докажем это неравенство для натуральных чисел вида . При m=1 надо доказать, что . Это неравенство эквивалентно , то есть . Последнее неравенство верно, значит, и первоначальное верно, так как они равносильны. Допустим, неравенство верно при m=k, то есть

. (2)


Докажем неравенство (1) для m=k+1, то есть докажем, что

.


В самом деле,

.


Итак, мы доказали неравенство Коши, когда количество чисел в средних есть степень двойки. А как быть с остальными? Для них мы докажем неравенство Коши, используя еще одну модификацию индукции – "индукцию вниз". Допустим, что неравенство Коши верно для n=k, то есть допустим, что

, (3) и докажем это неравенство для n=k-1. Для этого в неравенстве Коши положим , тогда (3) будет иметь вид:


После элементарных алгебраических преобразований получили:

.


Сократим неравенство на второй множитель правой части:

.


И, наконец, возведем обе части неравенства в степень :

.


Неравенство Коши доказано полностью.

  • ГЛАВА I
    Алгебра высказываний

  • §1. Основные понятия. Логические операции


Алгебра высказываний является начальным разделом такой важной дисциплины, как математическая логика, которая составляет значительную часть дискретной математики.

Математическая логика вместе с теорией множеств является фундаментом, на котором построена вся современная математика. С прикладной точки зрения математическая логика составляет основу для построения языков программирования, играет большую роль при построении банков данных, банков знаний и вообще во всех вопросах, связанных с искусственным интеллектом. С общеобразовательной точки зрения математическая логика представляет интерес тем, что она позволяет изучать общие логические законы, которые мы постоянно применяем при рассуждениях и дискуссиях (закон двойного отрицания, закон противоречия, закон исключенного третьего и т. п.). Таким образом, математическая логика может служить хорошим инструментом для тех, кто желает научиться точному аналитическому мышлению. Теперь перейдем к фактическому изложению материала.

Под высказыванием мы понимаем предложение русского языка, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Чуть позже станет ясно, почему здесь говорится не об определении, а о понятии высказывания. А в дальнейшем у нас появится возможность дать точное определение высказывания. Высказывания мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита, возможно с индексами: . Если высказывание А истинно, мы будем писать А=1; если высказывание А ложно, мы будем писать А=0.

  1. Примеры


1. А="два умножить на два равно семи"=0

2. В="два плюс два равно 4"=1

3. С="снег белый"=1

4. Д="если сегодня среда, то завтра будет четверг"=1

5. Х="если два плюс два равно пяти, то три плюс два равно десяти"=?

6. Y="если после четверга следует пятница, то после пятницы следует воскресенье"=?

7. Z="если 1+1=3, то после четверга следует суббота"=?

Как ни странно, примеры 5, 6, 7 также представляют собою высказывания. Подумайте, истинны они или ложны. После построения соответствующего математического формализма на эти вопросы уже будет ответить легко.

Существуют, очевидно, предложения русского языка, которые заведомо не являются высказываниями. Например: "Ты пойдешь в кино?", "Отойди от доски!" и т.п.

Но есть предположения, которые по своей структуре очень схожи с высказываниями, но таковыми не являются. Это в дальнейшем и приведет нас к необходимости дать строгое определение высказывания. Рассмотрим следующий пример. Возьмем два листа бумаги, пронумеруем их – номер 1 и номер 2. На первом листе напишем высказывание "На втором листе написана ложь", на втором листе напишем высказывание "На первом листе написана истина". На первый взгляд обычное высказывание, ничем не отличающееся от многих подобных, но...! Задайтесь вопросом, истинно оно или ложно, и Вы увидите, что любое из этих предположений приводит к противоречию, то есть о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно. Такие ситуации в математике и семантике называются логическими парадоксами.

Таким образом, предложение, по форме похожее на высказывание, таким не является.

Из простых высказываний можно получать более сложные с помощью так называемых логических связок или логических операций.

1. Из высказывания А можно получить высказывание "неверно, что А". Например, пусть A="2·2=5", тогда получаем высказывание "неверно, что А".

  1. Определение 1


Высказывание "неверно, что А" называется отрицанием А и обозначается (или , или ). Задается действие отрицания с помощью таблицы истинности:


0110

2. Из высказываний А, В можно образовать высказывание "А и В". Например, "2·2=4 и 5+3=9"

  1. Определение 2


Высказывание "А и В" называется конъюнкцией высказываний А и В. Конъюнкция имеет много обозначений: , , , .

Конъюнкция задается с помощью таблицы истинности:


000010100111

Поскольку результат конъюнкции похож на результат обычного умножения чисел 0 и 1, эту операцию часто называют логическим умножением.

3. Из высказываний А, В можно образовать высказывание "А или В". Например, "2·2=4 или 5+3=9".

  1. Определение 3


Высказывание "А или В" называется дизъюнкцией высказываний А и В и обозначается .

Дизъюнкция задается с помощью таблицы истинности:


000011101111

Дизъюнкцию иногда называют логическим сложением, но здесь аналогия "портится" четвертой строчкой.

4. Из высказываний А, В можно образовать следующее высказывание: "А тогда и только тогда, когда В". Например, треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны между собой. Синонимами служат фразы: "А в том и только в том случае, когда В", "А необходимо и достаточно для того, чтобы выполнялось В", "А равносильно В", "А эквивалентно B".

  1. Определение 4


Высказывание "А равносильно В" называется эквивалентностью высказываний А и В и обозначается , , .

Эквивалентность задается таблицей истинности:


001010100111

5. И, в заключение, определим, пожалуй, самую интересную и самую главную логическую операцию. Из высказываний А и В можно образовать высказывание "если А, то В". Например, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Синонимами служат следующие фразы: "из А следует В", "В является следствием А", "А влечет В", "А достаточное условие для В", "В необходимое условие для А" и т.п.

  1. Определение 5


Высказывание "если А, то В" называется импликацией высказываний А и В и обозначается , . В этой ситуации высказывание А называется посылкой, а В – заключением. Задается импликация таблицей истинности:


001011100111

Сделаем два замечания, которые могут прояснить суть определения таблицы истинности для импликации и, возможно, помогут получше ее запомнить:

1) если посылка ложна, то импликация всегда истинна, независимо от заключения, то есть ;

2) если заключение истинно, то импликация также истинна, независимо от посылки, то есть .

Приведем пример высказывания и вычислим все возможные значения его истинности, в зависимости от значений истинности составляющих его простых высказываний и запишем все полученные данные в таблицу истинности.

Пусть .