Летней Математической Школы, проходившей 11-25 июня 2011 года под Костромой. Всодержание лекционных занятий изложено в определениях, задача
Вид материала | Задача |
СодержаниеПентагональная теорема Эйлера Разбиение натурального числа N Решение задач Макси-геометрия |
- Отчет о Летней Школе пул ап день 29 июня, 77.18kb.
- Русской Онтологической Школы в г. Новосибирске, 13-17 июля 2011 года, в том числе лекции, 643.67kb.
- Программа VIII международной летней школы по русской литературе на Карельском перешейке, 53.89kb.
- Вторая- организация профильного обучения в школе, 1770.94kb.
- Конкурс на участие в летней школе " Права человека и медицина", 56.38kb.
- Г. Орел 29 июня 2011 года На основании плана работы Контрольно-счетной палаты, 316.4kb.
- Основная образовательная программа начального общего образования г. Пермь, 2011, 2132.92kb.
- Расписание занятий для студентов, 56.4kb.
- М к. Аммосова Педагогический институт Рабочая программа, 114.38kb.
- Пресс-обзор рынка недвижимости с 22 июня по 28 июня 2011 года, 1403.06kb.
Пентагональная теорема Эйлера
- Судя по переписке, около 1740 г. Эйлер обнаружил, что при разложении бесконечного произведения (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)… в степенной ряд получается выражение:
1 − x − x2 + x5 + x7 − x12 − x15 + x22 + x26 − x35 − x40 + x51 + …,
в котором присутствуют не все степени x и в котором ненулевые коэффициенты равны 1. Эйлер заметил, что все показатели степеней с ненулевыми коэффициентами имеют вид n(3n 1)/2.
- Рассмотрим многочлены Pk(x) = (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)…(1 – xk).
Докажите, что коэффициенты при xm, где m = 0, …, k совпадают с коэффициентами при этих степенях в любом многочлене Pn(x), где n > k.
Следствие: можно однозначно определить любой коэффициент многочлена
(1 – x)(1 – x2)(1 – x3)….
- Докажите, что в разложении многочлена P(x) = (1 – x)(1 – x2)(1 – x3)… (до приведения подобных членов) количество одночленов n-ой степени равно числу разбиений числа n на различные натуральные слагаемые.
- Разбиение натурального числа N есть представление в N в виде суммы натуральных слагаемых. Представления, различающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
- (а) Пусть m школьников решали задачи: первый решил a1 задач, второй — a2 задач, …, m-ый школьник решил am задач. Посчитали b1 — число школьников, решивших по крайней мере одну задачу, b2 — число школьников, решивших по не менее двух задач, и так далее. Докажите, что a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + ….
(б) Пусть N = a1 + a2 + … + am. Определим bk — количество слагаемых, не меньших чем k. Доказать, что N = b1 + b2 + ….
- (а) (Эйлер) Пусть Q0 и Q1 — количество разбиений натурального числа n на различные слагаемые соответственно с четным и нечетным числом частей.
Тогда.
(б) (Файн) Пусть D0 и D1 — количество разбиений натурального числа n на различные слагаемые соответственно с четной и нечетной наибольшей частью.
Тогда

Указание (инволюция Франклина).
Для каждого разбиения можно определить A — длину «одноступенчатой лестницы» (заштриховано на рисунке) и B — высоту наименьшего элемента (закрашено на рисунке).
Е

Осталось исследовать, при каких n эта операция не устанавливает взаимнооднозначное соответствие?
Решение задач
Макси-геометрия
- В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.
Источник: ММО, 1994, 8 класс, № 3.
- Докажите, что высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника с углом 15, равна четверти гипотенузы.
- Найдите угол B треугольника ABC, если высота CH равна половине стороны AB, а угол A равен 75.
- Докажите, что длины a и b катетов прямоугольного треугольника с углом 15 удовлетворяют равенству a/b + b/a = 4.
- На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причем AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если (а) AM = CN, (б) BM = BN?
Источник: РМО, округ, 1992-1993, 9 класс, задача № 3.
- На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D. Медиана AM пересекает высоту CH и отрезок BD в точках N и K соответственно. Докажите, что если AK = BK, то AN = 2KM.
Источник: РМО, округ, 1992-1993, 10 класс, задача № 1.
- * Угол B равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) равен 80. Точка D внутри треугольника такова, что DAC = 30, DCA = 10. Найдите величину угла BDC.
- Сторона AB трапеции ABCD видна из середины боковой стороны CD под прямым углом. Докажите, что AB = BC + AD.
- (а) Как построить на стороне AB точку F такую, что SBCE = SBFE, SADE = SAFE?
(б) На боковой стороне CD трапеции ABCD отметили середину E. Через точку D провели прямую, параллельную BE, через точку C провели прямую, параллельную AE. Докажите, что эти прямые пересекаются на стороне AB.
- В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол A равен 20. Точка Q лежит на стороне AC таким образом, что ABQ равен 20. Точка P расположена на стороне AB, при этом ACP равен 10.
Найдите величины следующих углов: (а) PQB; (б) CPQ; (в) APQ.
- В треугольнике ABC угол A равен 15, угол B равен 60. На сторонах AC и AB взяты соответственно точки M и N такие, что AM = BM и MN = NC. Найдите угол MNC.
Источник: Квант-2002, Д. Калинин.
- Внутри квадрата ABCD расположен квадрат KLMN так, что треугольники AKN, BLK, CML, DNM — равносторонние. Докажите, что площадь квадрата KLMN равна сумме площадей треугольников ABK, BCL, CDM, DAN.
- Докажите, что любой квадрат можно разбить на прямоугольные треугольники, в каждом из которых есть угол 15.