Рассмотрим конечные множество точек. Некоторые подмножества назовем прямыми.
Множество точек с описанными прямыми назовем мини-плоскостью1.
Какие-то пары прямых называют параллельными прямыми.
Пусть выполняются следующие аксиомы: (А1) Через любые две точки проходит единственная прямая. (А2) Через всякую точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельна данной прямой. (А3) Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
(а) Существует ли мини-плоскость из трёх точек? (б) Найдите мини-плоскость из четырех точек.
Ответ: для точек A, B, C, D прямыми являются AB, BC, CD, DA, AC, BD.
Простейшие свойства, следующие из аксиом: (A4) Если параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают. (А5) Существуют три прямые, попарно пересекающиеся в трёх разных точках. (A6) Если прямая a параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой c, то прямые a и c параллельны. (A7) На каждой прямой лежит не менее двух различных точек. (A8) В любой точке пересекаются не менее трех прямых.
(А9) Любые две прямые мини-плоскости содержат одинаковое число точек.
Порядком2 мини-плоскости называется число точек на любой прямой этой мини-плоскости.
(А9*) Через любую точку мини-плоскости проходит одинаковое число прямых: для плоскости порядка n это число равно n + 1.
Если порядок плоскости равен n, то любая прямая принадлежит семейству (пучку), состоящему из n различных попарно параллельных прямых.
Любая мини-плоскость порядка n содержит n2 точек и n2 + n прямых.
Из 16 космонавтов нужно выбрать четверых — экипаж космического корабля. Тренировки проводятся с четырьмя экипажами по 4 человека в каждом. Можно ли составить расписание тренировок таким образом, чтобы любые два космонавта побывали в одном экипаже ровно один раз?
Головоломка Эйлера и актуальные результаты
Головоломка Леонарда Эйлера1 о 36 офицерах. Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров. Кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков. Полк каждого из войск представлен офицерами всех рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех полков и всех рангов?
Докажите, что если существует мини-плоскость порядка 6, то головоломка Эйлера имеет решение.
Решение. Рассмотрим мини-плоскость порядка 6 (если она существует). Выберем 4 пучка прямых. Пучок 1: точки одной прямой — офицеры одного рода войск. Пучок 2: точки одной прямой — офицеры одного звания. Пучок 3: точки одной прямой — офицеры одной шеренги. Пучок 4: точки одной прямой — офицеры одной колонны.
Обратное, собственно, в общем случае не верно. Например, при n = 14 плоскости порядка 14 не существует, а задача Эйлера имеет решение.
Какие существуют мини-плоскости? К 1976 году все общие ответы на этот вопрос ограничивались следующими двумя теоремами: Т1 (О. Веблен, 1906). Если число n простое или степень простого, то плоскость порядка n существует. Т2 (Теорема Брука-Райзера, 1949 год). Если n 1 или n 2 (mod 4) и в разложении n на простые множители встречается простое p = 4k + 3 в нечетной степени, то мини-плоскости порядка n не существует.
Докажите, опираясь на сформулированные теоремы, что мини-плоскости порядка 6 не существует. Найдите первые 10 натуральных чисел, подходящие в качестве значения n в теореме 2.
К 1976 году неизвестно, существует ли мини-плоскость порядка 10. Несуществование конечной плоскости порядка 10 было доказано с помощью компьютера в 1989 году.
Построение мини-плоскостей порядка p
Построение мини-плоскости порядка p (число p — простое). Пусть множество пар остатков при делении на p — точки мини-плоскости: {(x, y): 0 x p – 1, 0 y p – 1}. Рассмотрим прямые — множества l (a, b, c) = {(x, y): ax + by + c 0 (mod p)}.
Приведите пример мини-плоскости порядка 3. Пронумеруйте точки парами остатков при делении на 3. Укажите коэффициенты a, b, c для некоторых из прямых.
Докажите, что если d не кратно p, то l (a, b, c) = l (da, db, dc).
Докажите, что l (a, b, c) = l (a*, b*, c*), где a*, b*, c* — остатки при делении на p.
Приведите три различные тройки (a, b, c) и (a*, b*, c*) остатков при делении на 3, для которых выполнено l (a, b, c) = l (a*, b*, c*).
Докажите, что если a не кратно p, то для любой тройки (a, b, c) найдутся b*, c*, что l (a, b, c) = l (1, b*, c*).
Основная теорема. Любая прямая l (a, b, c) совпадает либо с прямой l (1, b*, c*), либо с прямой l (0, 1, c*), где a*, b*, c* — остатки при делении на p.
Докажите, что среди описанных прямых ровно p2 + p различных.
Докажите, что для описанных прямых выполнены аксиомы: (а) Через любые две точки проходит единственная прямая. (б) Через всякую точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельна данной прямой.
