Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории, 1998

1.2.Отношение к риску


В соответствии со свойствами предпочтений можно разделить экономических агентов на следующие три группы в зависимости от их отношения к риску:
рискофилы (положительно относящиеся к риску): Е(и(Х)) > и(Е(Х)),
рискофобы (отрицательно относящиеся к риску): Е(и(Х)) < и(Е(Х)),
нейтральные по отношению к риску: Е(и(Х)) = и(Е(Х)).
Здесь Х - любая "нетривиальная" случайная величина (формально это означает, что вероятность того, что она не совпадает со своим мат. ожиданием не равна нулю).
В дальнейшем мы будем рассматривать только поведение рискофоба. (Анализ поведения рискофила и потребителя, нейтрального по отношению к риску представляется чита-телю).
Заметим, что соотношение Е(и(Х)) ^ и(Е(Х)) (так называемое неравенство Йенсена) выполнено тогда и только тогда, когда функция вогнута. Фактически это и есть определение вогнутой функции. Строгое неравенство Е(и(Х)) < и(Е(Х)) для произвольной "нетри- виальной" случайной величины х выполнено тогда и только тогда, когда функция строго вогнута.
При анализе поведения рискофоба ограничимся рассмотрением инвестиционных решений, когда множество элементарных исходов - подмножество множества действительных чисел; элементарные исходы (выигрыши по лотереям) будем интерпретировать как денежные.
Пусть имеется два актива: безрисковый, не приносящий дохода (это могут быть, например, деньги в ситуации, когда инфляции нет и она не ожидается) и один рисковый с нормой доходности R и ожидаемой нормой доходности ER. У потребителя имеется сумма w, из которой он сумму а инвестирует в рисковый актив, а сумму w - а - в безрисковый. Доходность полученного портфеля - случайная величина W = w - а + (1+R) а = w + а R.
Ожидаемая полезность такого портфеля равна
U(a) = E(U(W + aR)) =Е ри^ + aRj).
Мы предполагаем, что финансовый рынок совершенен, т.е. доходность активов не зависит от поведения рассматриваемого экономического агента, и что можно покупать активы в любых количествах без учета бюджетного ограничения (лоткрытая позиция по рисковым активам).
Поведение инвестора описывается следующей задачей: U(a) ^ max a > 0.

Кроме того, предполагается, что оптимальный портфель существует, то есть U(a) не может быть монотонно возрастающей. Обозначим решение задачи a(w).

существует существует
Решение распадается на два случая: Е R < 0 и Е R > 0. Найдем производную U(a) в точке a = 0: U'(a) = E(U'(W + aR )R) Вторая производная U''(a) = E(U''(W + aR)R ) < 0, так как мы знаем, что вторая производная функции полезности рискофоба отрицательна в любой точке.
Если a = 0 - решение, то должно быть выполнено U '(0) < 0. Поскольку производная в нуле равна U '(0) = E(U'(W) R) = U'(W) Е R, и U'(W) > 0, то Е R < 0.
С другой стороны, если ERR < 0, то U'(0) < 0. Так как U''(a) < 0, то U'(a) < 0 Va > 0 и U (a) < U (0) Va > 0. Следовательно, a = 0 - решение. Таким образом, a(w) = 0 о Е R < 0.
Оптимальный портфель в точке а=0

Если Е R > 0, то решение (в предположении, что оно существует) должно быть во внутренней точке (а > 0). Так как мы рассматриваем рискофоба, то необходимое и достаточное условие оптимальности портфеля имеет вид
Е (u'(w + #R)R) = 0.
Для оптимальных портфелей
Е (u(w + #(w)R)R
) = 0.
В зависимости от того, как меняется инвестиционное поведение при изменении имеющиеся для инвестиций средств с wi до w2, можно проранжировать поведение риско- фобов по их степени неприятия риска.
Рассмотрим лотерею, в которой участник получает (дополнительно к w) выигрыш х1 с вероятностью р (где ^ре(ОД)), и х2 с вероятностью 1-р. Обозначим соответствующую случайную величину через X. Имеет смысл принять участие в лотерее лишь в том случае, если
E(u (w + X)) ^ Е u (w).
т.е.
р u (w + х1) + (1-р) u (w + х2) ^ u (w).
Обозначим множество всех таких лотерей через
A(w) = 5 (Xi, X2) |р u (w + Xi) + (1-р) u (w + X2) ^ u (w)}.
Нарисуем на плоскости (X1, X2) множество A(w). Потребитель будет участвовать во всех лотереях, расположенных в I квадранте, и точно не будет участвовать в лотереях в III квадранте, а вот в II и IV приемлемы лишь частично. Если элементарная функция полезности u (.) вогнута, то множество A(w) выпукло. (Докажите это.) ii X2
Xi >
X2(Xi)
Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется:
^u(w + х1) + (1 - р u(w + х2) = u(w ) (1)
Это уравнение задает зависимость х2 = х2 (х1). Подставим это в (1) и продифференцируем по х1 в точке 0. Используя, тот факт, что х2 (0) = 0 получим ^u'(w) + (1 - р u'(w) х'2(0) = 0,
Это уравнение описывает касательную к A(w) в точке (0,0). Эта касательная имеет нар
клон - 1_р Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ниже этой касательной не принадлежат A(w). Таким образом, если х2 будет
р
меньше, чем - ^ х1, то участник заведомо не примет участия в такой лотереи (какова бы
ни была вероятность р).
Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежа-
1 2 2 1 щие множеству A (w), а второй - A (w). Если A (w) с A (w) (строгое включение), то естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется большим неприятием риска, чем первый.
2 112 Если ни одно из включений A (w) с A (w) и A (w) с A (w) не выполнено, то мы не можем проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило. Продифференцируем выражение (1) по х1 дважды в точке 0. Получаем р U''(W) + (1 - р) [ U''(W) (х'2(0))2 + U'(W) х''2(0)] = 0 u''(w)
2.
Подставив х'2 (0) = - ^ , получим х''2 (0) =
-р' " ^ ' и (w) (1-р
12
Мы убедились, что уравнения границ множеств A (w) и A (w) по первым производным
всегда совпадают, а по вторым могут различаться. Если х 2 (0) у первого меньше, чем у
21
второго, то в окрестности точки (0,0) A (w) содержится в A (w). (Понятно, что глобально
и '(w)
это может не выполняться). Поэтому величину - ^ (w) можно рассматривать как локальную меру неприятия риска. Определение 5.
Мерой отношения К риску Эрроу-Пратта называется величина и '(w)
и (w)
г (w) = - В терминах меры Эрроу-Пратта из двух участников можно считать, что тот участник характеризуется большим неприятием риска, у которого мера Эрроу-Пратта всегда больше.
Утверждение 7.
12
Если у двух участников меры неприятия риска г (.) и г (.) таковы, что Vw выполнено
12 2 1 г (w) < г (w), то Vw выполнено A (w) с A (w).
Доказательство:
Доказательство оставляется в качестве упражнения.
Пусть е - некоторая "нетривиальная" случайная величина с нулевым мат. ожиданием (Е(е) = 0), тогда, как уже говорилось выше, для рискофоба выполнено Е и (w + е) < Е и (w). Плату за риск Ku(w,e) можно определить как максимальную потерю в доходе, на которую согласен данный участник, чтобы избежать риска (не участвовать в такой лотерее). Чтобы не загромождать запись, будем опускать аргумент w из записи величины платы за риск.
Определение 6. ^
Плата За риск ки(е) определяется из соотношения \
Eu(w +е) =u(w-КиШ- ::
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Для любого рискофоба плата за риск - величина неотрицательная. Естественно считать, что в терминах платы за риск из двух участников тот характеризуется большим неприятием риска, у которого плата за риск всегда больше.
Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску - "степень вогнутости" элементарной функцией полезности. Можно считать, что и (х) "более вогнута", чем %(х), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G такая, что и (х) = G(v(x)), тогда участник с элементарной функцией полезности и (х) характеризуется большим неприятием риска.
Оказывается, что все предложенные способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует следующее утверждение.
Утверждение 8. (Теорема Пратта).
Пусть два рискофоба характеризуются строго возрастающими элементарными функциями полезности и (х) и %(х). Тогда следующие три условия эквивалентны: &u(w) > &v(w) Vw, где &u(w), &v(w) - меры отношения к риску Эрроу-Пратта. Существует строго вогнутая строго возрастающая функция G такая, что и (х) = ((%(х)). Для всех случайных переменных е, с нулевым мат. ожиданием (Ее = 0) и ненулевой дисперсией (Ее2 Ф 0) выполнено Пи(е) > Пу(е).

Плата за риск пи(е,ю) Доказательство;
1^2. Определим G для любого х принадлежащего области значений функции % следующим образом:
((х) = и(% 1(х)). (Поскольку % строго монотонна, то она обратима.) Мы так определили функцию G(.), что
U(W) = G(%(w)),V w (2)
Продифференцируем последнее соотношение:
и (w) = G'(%(w)) %'(w). (3)
Так как % (w) > 0 и и (w) > 0, то G (%(w)) > 0, значит G строго монотонно возрастает. Продифференцируем еще раз:
и '(w) = G''(%(w)) %'(w) +G'(%(w)) %''(w). (4)
Поделив (4) на (3) , получим
G''(%(ю)) ,
- ^^ = - гv(w) + G' (%(Ю )) % (w), то есть
G''(%(ю)) , ^iw)- гu(w) = G' (%(Ю)) % (w).
Но гv(w) - Tu(w) < 0, %' (w) > 0, G' (%(w)) > 0, следовательно, G' '(%(w)) < 0, то есть функция G строго вогнута.
^ 3. Напомним определение вогнутости функции: функция f(х) вогнута, если для любого набора чисел аг- ^ 0, Еа = 1 верно соотношение: f (Еал) ^ Еаг/(хг). Для строго вогнутой функции для любого набора чисел аг- ^ 0, Еа = 1, таких что по крайней мере два из них не равны нулю, верно соотношение: f (Еагхг) > Еа f (хг).
Пусть функции и(х), %(х) таковы, что и (х) = G^^)). Тогда для случайной величины е : и (w - nu(e)) = Е и (w + е) = Е G(%(w + е)) <
G(E %(w + е)) = G(%(w - пу(е)) = и (w - пу(е)).
Здесь мы использовали неравенство Иенсена в строгой форме.
Таким образом, и (w - nu(e)) < и (w - пу(е)), а так как и(х) монотонно возрастает, то из этого соотношения следует, что w - nu(e) < w - пу(е), то есть nu(e) > пу(е).
^ 1. Пусть е - случайная величина с нулевым мат. ожиданием (Ее= 0). Рассмотрим семейство случайных величин + е и определим п(+) из соотношения:
и (w - п(+)) = Е и (w + + е) (5)
Покажем, что для достаточно малых + п(+) пропорциональна мере Эрроу-Пратта, что и докажет соответствующее утверждение.
Предположим, что функция п(+) - дважды непрерывно дифференцируема. Справедливо соотношение
п(+) = п(0) + + п'(0) + F?7 +2 П'(0) + о(+2 ).
Покажем, что первые два слагаемых в правой части равны нулю. Очевидно, что п(0) = 0. Дважды продифференцируем (5) по +:
и' (w - п(+)) п' (+) = Е и' (w + + е)е, (6)
и' (w - п(+)) п''(+) + и'' (w - п(+)) (п' (+))2 = Е и' '(w + + е)е 2. (7)
При +=0 из (6) имеем:
и (w) п'(0) = Е и'(w) е = и (w) Е е = 0.
Поскольку и (w) не может быть равной нулю (напомним, что мы предполагаем монотонность и(.)), то п' (0) = 0.
Из (7) при + = 0 получаем:
и' (w) п' '(0) = и'' (w) Е е 2 = и' '(w) о2,
откуда п' '(0) = Tu(w) о2.
Подставим полученные результаты в ряд Тейлора
22
+ о о
п(+) = г u(w) - + о(+2 ). (8)
Пусть для каких-то и, % выполняется п^е) > пу(е) Vе, тогда при достаточно малом + ^(0 > пу(+), и из (8) имеем г11 > гу.
Введенная мера Эрроу-Пратта называется абсолютной мерой Эрроу-Пратта. Кроме того, рассматривают относительную меру Эрроу-ПрЭТТЭ, которая определяется по формуле:
u''(w) w u'(w)
Относительная мера Эррроу-Пратта является эластичностью предельной полезности (по доходу).
Меры Эррроу-Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора в условиях риска, т.к. в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравнительной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении размера инвестиций, доходностей активов и т.д. А к проблемам сравнительной статики сводятся многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т.д.
В терминах (абсолютной) меры Эрроу-Пратта можно охарактеризовать спрос на рисковый актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух активов. Мы предполагаем, что Е R > 0, т.е. что решение внутреннее (a (w) > 0).
Утверждение 9.
Если мера Эрроу-Пратта г (w) убывает, то рисковый актив является нормальным благом, т.е.
&'(w) < 0 ^ a'(w) > 0.
(Аналогично можно показать, что если r'(w) > 0, то a'(w) < 0, и если r'(w) = 0, то a'(w) = 0.)
Доказательство:
Пусть r(w) убывает.
Условие оптимальности портфеля имеет вид
Е (u'(w + a(w) R) R )= 0. Продифференцируем его по ю:
Е (u''(w + a(w) R) R (1 + #'(w) R)) = 0. По свойствам оператора мат. ожидания
Е (u"(w + a(w) R) R) = - a'(w) Е (u''(w + a(w) R) R ),
откуда
#/(w) = < E (u''(w + a(w) R) R) ( ) E (u"(w + a(w) R) RR2). Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности u''(w + a(w) R) < 0 . Покажем, что числитель больше нуля.
Рассмотрим случайную величину R: она имеет и положительные, и отрицательные реализации. Рассмотрим случай R = R >0. Тогда в силу убывания функции г (.) г (w + a(w)R) < г (w). По определению меры Эрроу-Пратта
, - u"(w + a(w)R) Д ч
& (w + a(w)R) = - u-('w + a(w)R) < г (w)
Умножив последнее неравенство на знаменатель и на R, получаем:
u"(w + a(w)R) R > - г (w) u'(w + a(w)R) R. Легко видеть, что при R = R < 0 это неравенство тоже верно. Возьмем мат. ожидание от обеих частей:
Е (u"(w + a(w) R) R) > - г (w) Е (u'(w + a(w) R) R). Так как из условия оптимальности Е (u'(w + a(w) R) R) = 0, то имеем
Е (и' '(w + a(w) R) R) > 0. Итак, доказано, что если г'(w) < 0, то a'(w) > 0, другими словами, рисковый актив является нормальным благом.
Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая с двумя и более рисковыми активами.
Пусть a i - доля инвестиций в ,-й рисковый актив, ao - доля инвестиций в безрисковый актив . Пусть Ri - доходность рискового актива, Ro - доходность безрискового ак-тива.
Доходность портфеля, в который инвестируется денежная сумма w, - это случайная величина, которая может быть вычислена следующим образом: w = (aoRo + Eai R i) w,
Если предпочтения инвестора на соответствующих лотереях представляются функцией полезности U(.) и инвестор может взять взаймы под процент Ro-1 в неограниченных размерах, задача выбора оптимального портфеля будет иметь вид:
Е u(aoRo +Eai Ri) w) ^ max a a
oi
ao + Eaj- = 1 a,- > 0
Исключив ao, преобразуем задачу инвестора к виду
Е u(Ro +Eai(R i - Ro) w) ^ max a ^ q Условие оптимальности первого порядка этой задачи Е и (w)(Ri - Ro) = 0,
или
Е и (w)Rj- = Ro Е и (w) V,. В силу свойств функции и(.), оно является достаточным условием оптимальности портфеля.
По определению ковариации для двух случайных величин ^ и п выполнено Е(^п) = COv(^,n) + Е(^)Е(п). С учетом этого соотношения условия оптимальности можем записать в виде
5 COv(u'(w), R)
Е Ri = Ro - I- .
o Е и (w)
Полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный портфель определяется не только его доходностью, но и величиной его корреляции с доходностью всего портфеля.
Так, например, у страховых полисов ожидаемая доходность, как правило, меньше нуля, но они включаются в портфель рискофоба, так как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым доходом.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "1.2.Отношение к риску"
  1. Принятие решения в условиях неопределенности: риск и страхование
    отношении самой величины потерь. Существует три способа, с помощью которых несклонный к риску человек может превратить неопределенный исход в опре-деленный. Во-первых, он может купить рыночную страховку. Во-вторых, он может сам застраховать себя, например, отложив некоторую сумму денег, которая потребуется, чтобы покрыть по-тери. В-третьих, он может использовать возможности, предостав-ляемые
  2. глоссарий
    отношения к данной сделке или не во влеченную в данную деятельность. Это воздействие не учитывается в пол ной мере в рыночных ценах, поскольку создает внешние эффекты одна сторона, а несет издержки другая. Хотя это воздействие может быть как положительным, так и отрицательным, термин лвнешние эффекты ино гда применяется только для обозначения отрицательных воздействий. Внутренний механизм
  3. 12.1. Выбор в условиях неопределенности
    отношением к риску? полезность развивает в людях антипатию к риску. Поэтому нерасположенность к риску является типичной чертой большинства людей. Риск для них - серьезное испытание, пойти на которое они готовы лишь в том случае, если им предложат определенную компенсацию. 30 Рис. 12Ч1. Нерасположенность к риску 0 10 20 30 40 Доход (тыс. долл.) Общая полезность 60 55 47 Нейтральным к риску
  4. 12.1.3. Толерантность к риску
    отношением к риску. Следовательно, не имеет значения, по какой причине инвестор отличается высокой толерантностью к риску - потому ли, что он молод и богат, потому ли, что он легко переносит неудачи, или же по причине уверенности в том, что нельзя упускать шанс. Для нашего анализа имеет значение только то, что для достижения более высокого ожидаемого уровня доходности вложений он быстрее, чем
  5. 7.3 Предпочтения потребителя в условиях неопределенности
    отношением к риску в предположении, что xi Чпотребление данного блага в первом, а - во втором состоянии мира. Рис. 7.2. Кривые безразличия для потребителей с разным отношением к риску: а) рискофоб, б) нейтральный к риску, в) рискофил В дальнейшем мы всюду будем предполагать, что функция U(ж) имеет вид Неймана - Моргенштерна (аддитивная по вероятностям функция). Это частный, но наиболее удобный
  6. 7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности
    отношения к риску, к анализу которых мы переходим. Рассмотрим лотерейный билет, которой приносит чистый выигрыш ei с вероятностью р и e2 с вероятностью 1 - р. Обозначим соответствующую случайную величину через e. Потребитель, располагающий суммой денег и, приобретет этот лотерейный билет, если лотерея, описываемая случайной величиной x = и + e, предпочитается вырожденной лотерее, дающей и с
  7. 12.2.2 Модель Акерлова: классическая постановка
    отношении на структуру рыночных сделок следуя оригинальному подходу Акерлова на примере рынка некоторого неделимого товара (например, подержанных автомобилей), который может приобретаться в количестве, не превышающем 1. Предположим, что на рынке существуют n градаций качества этого блага, причем доля блага типа s равна ps (ps > 0). По виду они неотличимы, отличаясь только по внутренним
  8. 12.2.3 Модель Акерлова как динамическая игра
    отношению к продавцу и покупает товар. Учитывая это, при сворачивании дерева игры получаем следующие выигрыши продавца: n(p) 0, v(s) < p p - c(s), v(s) Z p. Если v(s) Z c(s), то есть в принципе есть смысл производить товар, то p = v(s) дает максимум прибыли. Если v(s) < c(s), то продавец не будет предлагать товар или же может назначить цену p > v(s), с тем, чтобы покупатель его не купил.
  9. 12.2.4 Задачи
    отношению к риску (т. е. покупатель купит автомобиль с ожидаемым качеством se тогда и только тогда, когда ase > p. Найдите объем торговли в условиях полной информации. Изобразите кривые спроса и предложения при асимметричной информации. Может ли быть так, что кривая спроса имеет положительный наклон? Найдите конкурентное равновесие. Будет ли объем торговли больше или меньше Па- рето-оптимального?
  10. 15.2.1 Формулировка модели и общие свойства
    отношение работника к риску (риск может быть связан с тем, что получаемая им оплата w является случайной величиной). Нейтральный к риску работник будет иметь линейную возрастающую функцию v(-), которую без потери общности можно считать равной v(z) = z. Поэтому мы будем называть работника нейтральным к риску, если u(x, w) = w - c(x). Как правило, предполагается, что работник не склонен к риску, то