Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| В. П. Бусыгин, Е. В. Желободько, А. А. Цыплаков. Лекции по микроэкономической теории, 1998 | |
1.2.Отношение к риску |
|
|
В соответствии со свойствами предпочтений можно разделить экономических агентов на следующие три группы в зависимости от их отношения к риску: рискофилы (положительно относящиеся к риску): Е(и(Х)) > и(Е(Х)), рискофобы (отрицательно относящиеся к риску): Е(и(Х)) < и(Е(Х)), нейтральные по отношению к риску: Е(и(Х)) = и(Е(Х)). Здесь Х - любая "нетривиальная" случайная величина (формально это означает, что вероятность того, что она не совпадает со своим мат. ожиданием не равна нулю). В дальнейшем мы будем рассматривать только поведение рискофоба. (Анализ поведения рискофила и потребителя, нейтрального по отношению к риску представляется чита-телю). Заметим, что соотношение Е(и(Х)) ^ и(Е(Х)) (так называемое неравенство Йенсена) выполнено тогда и только тогда, когда функция вогнута. Фактически это и есть определение вогнутой функции. Строгое неравенство Е(и(Х)) < и(Е(Х)) для произвольной "нетри- виальной" случайной величины х выполнено тогда и только тогда, когда функция строго вогнута. При анализе поведения рискофоба ограничимся рассмотрением инвестиционных решений, когда множество элементарных исходов - подмножество множества действительных чисел; элементарные исходы (выигрыши по лотереям) будем интерпретировать как денежные. Пусть имеется два актива: безрисковый, не приносящий дохода (это могут быть, например, деньги в ситуации, когда инфляции нет и она не ожидается) и один рисковый с нормой доходности R и ожидаемой нормой доходности ER. У потребителя имеется сумма w, из которой он сумму а инвестирует в рисковый актив, а сумму w - а - в безрисковый. Доходность полученного портфеля - случайная величина W = w - а + (1+R) а = w + а R. Ожидаемая полезность такого портфеля равна U(a) = E(U(W + aR)) =Е ри^ + aRj). Мы предполагаем, что финансовый рынок совершенен, т.е. доходность активов не зависит от поведения рассматриваемого экономического агента, и что можно покупать активы в любых количествах без учета бюджетного ограничения (лоткрытая позиция по рисковым активам). Поведение инвестора описывается следующей задачей: U(a) ^ max a > 0. Кроме того, предполагается, что оптимальный портфель существует, то есть U(a) не может быть монотонно возрастающей. Обозначим решение задачи a(w). существует существует Решение распадается на два случая: Е R < 0 и Е R > 0. Найдем производную U(a) в точке a = 0: U'(a) = E(U'(W + aR )R) Вторая производная U''(a) = E(U''(W + aR)R ) < 0, так как мы знаем, что вторая производная функции полезности рискофоба отрицательна в любой точке. Если a = 0 - решение, то должно быть выполнено U '(0) < 0. Поскольку производная в нуле равна U '(0) = E(U'(W) R) = U'(W) Е R, и U'(W) > 0, то Е R < 0. С другой стороны, если ERR < 0, то U'(0) < 0. Так как U''(a) < 0, то U'(a) < 0 Va > 0 и U (a) < U (0) Va > 0. Следовательно, a = 0 - решение. Таким образом, a(w) = 0 о Е R < 0. Оптимальный портфель в точке а=0 Если Е R > 0, то решение (в предположении, что оно существует) должно быть во внутренней точке (а > 0). Так как мы рассматриваем рискофоба, то необходимое и достаточное условие оптимальности портфеля имеет вид Е (u'(w + #R)R) = 0. Для оптимальных портфелей Е (u(w + #(w)R)R ) = 0. В зависимости от того, как меняется инвестиционное поведение при изменении имеющиеся для инвестиций средств с wi до w2, можно проранжировать поведение риско- фобов по их степени неприятия риска. Рассмотрим лотерею, в которой участник получает (дополнительно к w) выигрыш х1 с вероятностью р (где ^ре(ОД)), и х2 с вероятностью 1-р. Обозначим соответствующую случайную величину через X. Имеет смысл принять участие в лотерее лишь в том случае, если E(u (w + X)) ^ Е u (w). т.е. р u (w + х1) + (1-р) u (w + х2) ^ u (w). Обозначим множество всех таких лотерей через A(w) = 5 (Xi, X2) |р u (w + Xi) + (1-р) u (w + X2) ^ u (w)}. Нарисуем на плоскости (X1, X2) множество A(w). Потребитель будет участвовать во всех лотереях, расположенных в I квадранте, и точно не будет участвовать в лотереях в III квадранте, а вот в II и IV приемлемы лишь частично. Если элементарная функция полезности u (.) вогнута, то множество A(w) выпукло. (Докажите это.) ii X2 Xi > X2(Xi) Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется: ^u(w + х1) + (1 - р u(w + х2) = u(w ) (1) Это уравнение задает зависимость х2 = х2 (х1). Подставим это в (1) и продифференцируем по х1 в точке 0. Используя, тот факт, что х2 (0) = 0 получим ^u'(w) + (1 - р u'(w) х'2(0) = 0, Это уравнение описывает касательную к A(w) в точке (0,0). Эта касательная имеет нар клон - 1_р Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ниже этой касательной не принадлежат A(w). Таким образом, если х2 будет р меньше, чем - ^ х1, то участник заведомо не примет участия в такой лотереи (какова бы ни была вероятность р). Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежа- 1 2 2 1 щие множеству A (w), а второй - A (w). Если A (w) с A (w) (строгое включение), то естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется большим неприятием риска, чем первый. 2 112 Если ни одно из включений A (w) с A (w) и A (w) с A (w) не выполнено, то мы не можем проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило. Продифференцируем выражение (1) по х1 дважды в точке 0. Получаем р U''(W) + (1 - р) [ U''(W) (х'2(0))2 + U'(W) х''2(0)] = 0 u''(w) 2. Подставив х'2 (0) = - ^ , получим х''2 (0) = -р' " ^ ' и (w) (1-р 12 Мы убедились, что уравнения границ множеств A (w) и A (w) по первым производным всегда совпадают, а по вторым могут различаться. Если х 2 (0) у первого меньше, чем у 21 второго, то в окрестности точки (0,0) A (w) содержится в A (w). (Понятно, что глобально и '(w) это может не выполняться). Поэтому величину - ^ (w) можно рассматривать как локальную меру неприятия риска. Определение 5. Мерой отношения К риску Эрроу-Пратта называется величина и '(w) и (w) г (w) = - В терминах меры Эрроу-Пратта из двух участников можно считать, что тот участник характеризуется большим неприятием риска, у которого мера Эрроу-Пратта всегда больше. Утверждение 7. 12 Если у двух участников меры неприятия риска г (.) и г (.) таковы, что Vw выполнено 12 2 1 г (w) < г (w), то Vw выполнено A (w) с A (w). Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения. Пусть е - некоторая "нетривиальная" случайная величина с нулевым мат. ожиданием (Е(е) = 0), тогда, как уже говорилось выше, для рискофоба выполнено Е и (w + е) < Е и (w). Плату за риск Ku(w,e) можно определить как максимальную потерю в доходе, на которую согласен данный участник, чтобы избежать риска (не участвовать в такой лотерее). Чтобы не загромождать запись, будем опускать аргумент w из записи величины платы за риск. Определение 6. ^ Плата За риск ки(е) определяется из соотношения \ Eu(w +е) =u(w-КиШ- :: //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Для любого рискофоба плата за риск - величина неотрицательная. Естественно считать, что в терминах платы за риск из двух участников тот характеризуется большим неприятием риска, у которого плата за риск всегда больше. Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску - "степень вогнутости" элементарной функцией полезности. Можно считать, что и (х) "более вогнута", чем %(х), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G такая, что и (х) = G(v(x)), тогда участник с элементарной функцией полезности и (х) характеризуется большим неприятием риска. Оказывается, что все предложенные способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует следующее утверждение. Утверждение 8. (Теорема Пратта). Пусть два рискофоба характеризуются строго возрастающими элементарными функциями полезности и (х) и %(х). Тогда следующие три условия эквивалентны: &u(w) > &v(w) Vw, где &u(w), &v(w) - меры отношения к риску Эрроу-Пратта. Существует строго вогнутая строго возрастающая функция G такая, что и (х) = ((%(х)). Для всех случайных переменных е, с нулевым мат. ожиданием (Ее = 0) и ненулевой дисперсией (Ее2 Ф 0) выполнено Пи(е) > Пу(е). Плата за риск пи(е,ю) Доказательство; 1^2. Определим G для любого х принадлежащего области значений функции % следующим образом: ((х) = и(% 1(х)). (Поскольку % строго монотонна, то она обратима.) Мы так определили функцию G(.), что U(W) = G(%(w)),V w (2) Продифференцируем последнее соотношение: и (w) = G'(%(w)) %'(w). (3) Так как % (w) > 0 и и (w) > 0, то G (%(w)) > 0, значит G строго монотонно возрастает. Продифференцируем еще раз: и '(w) = G''(%(w)) %'(w) +G'(%(w)) %''(w). (4) Поделив (4) на (3) , получим G''(%(ю)) , - ^^ = - гv(w) + G' (%(Ю )) % (w), то есть G''(%(ю)) , ^iw)- гu(w) = G' (%(Ю)) % (w). Но гv(w) - Tu(w) < 0, %' (w) > 0, G' (%(w)) > 0, следовательно, G' '(%(w)) < 0, то есть функция G строго вогнута. ^ 3. Напомним определение вогнутости функции: функция f(х) вогнута, если для любого набора чисел аг- ^ 0, Еа = 1 верно соотношение: f (Еал) ^ Еаг/(хг). Для строго вогнутой функции для любого набора чисел аг- ^ 0, Еа = 1, таких что по крайней мере два из них не равны нулю, верно соотношение: f (Еагхг) > Еа f (хг). Пусть функции и(х), %(х) таковы, что и (х) = G^^)). Тогда для случайной величины е : и (w - nu(e)) = Е и (w + е) = Е G(%(w + е)) < G(E %(w + е)) = G(%(w - пу(е)) = и (w - пу(е)). Здесь мы использовали неравенство Иенсена в строгой форме. Таким образом, и (w - nu(e)) < и (w - пу(е)), а так как и(х) монотонно возрастает, то из этого соотношения следует, что w - nu(e) < w - пу(е), то есть nu(e) > пу(е). ^ 1. Пусть е - случайная величина с нулевым мат. ожиданием (Ее= 0). Рассмотрим семейство случайных величин + е и определим п(+) из соотношения: и (w - п(+)) = Е и (w + + е) (5) Покажем, что для достаточно малых + п(+) пропорциональна мере Эрроу-Пратта, что и докажет соответствующее утверждение. Предположим, что функция п(+) - дважды непрерывно дифференцируема. Справедливо соотношение п(+) = п(0) + + п'(0) + F?7 +2 П'(0) + о(+2 ). Покажем, что первые два слагаемых в правой части равны нулю. Очевидно, что п(0) = 0. Дважды продифференцируем (5) по +: и' (w - п(+)) п' (+) = Е и' (w + + е)е, (6) и' (w - п(+)) п''(+) + и'' (w - п(+)) (п' (+))2 = Е и' '(w + + е)е 2. (7) При +=0 из (6) имеем: и (w) п'(0) = Е и'(w) е = и (w) Е е = 0. Поскольку и (w) не может быть равной нулю (напомним, что мы предполагаем монотонность и(.)), то п' (0) = 0. Из (7) при + = 0 получаем: и' (w) п' '(0) = и'' (w) Е е 2 = и' '(w) о2, откуда п' '(0) = Tu(w) о2. Подставим полученные результаты в ряд Тейлора 22 + о о п(+) = г u(w) - + о(+2 ). (8) Пусть для каких-то и, % выполняется п^е) > пу(е) Vе, тогда при достаточно малом + ^(0 > пу(+), и из (8) имеем г11 > гу. Введенная мера Эрроу-Пратта называется абсолютной мерой Эрроу-Пратта. Кроме того, рассматривают относительную меру Эрроу-ПрЭТТЭ, которая определяется по формуле: u''(w) w u'(w) Относительная мера Эррроу-Пратта является эластичностью предельной полезности (по доходу). Меры Эррроу-Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора в условиях риска, т.к. в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравнительной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении размера инвестиций, доходностей активов и т.д. А к проблемам сравнительной статики сводятся многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т.д. В терминах (абсолютной) меры Эрроу-Пратта можно охарактеризовать спрос на рисковый актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух активов. Мы предполагаем, что Е R > 0, т.е. что решение внутреннее (a (w) > 0). Утверждение 9. Если мера Эрроу-Пратта г (w) убывает, то рисковый актив является нормальным благом, т.е. &'(w) < 0 ^ a'(w) > 0. (Аналогично можно показать, что если r'(w) > 0, то a'(w) < 0, и если r'(w) = 0, то a'(w) = 0.) Доказательство: Пусть r(w) убывает. Условие оптимальности портфеля имеет вид Е (u'(w + a(w) R) R )= 0. Продифференцируем его по ю: Е (u''(w + a(w) R) R (1 + #'(w) R)) = 0. По свойствам оператора мат. ожидания Е (u"(w + a(w) R) R) = - a'(w) Е (u''(w + a(w) R) R ), откуда #/(w) = < E (u''(w + a(w) R) R) ( ) E (u"(w + a(w) R) RR2). Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности u''(w + a(w) R) < 0 . Покажем, что числитель больше нуля. Рассмотрим случайную величину R: она имеет и положительные, и отрицательные реализации. Рассмотрим случай R = R >0. Тогда в силу убывания функции г (.) г (w + a(w)R) < г (w). По определению меры Эрроу-Пратта , - u"(w + a(w)R) Д ч & (w + a(w)R) = - u-('w + a(w)R) < г (w) Умножив последнее неравенство на знаменатель и на R, получаем: u"(w + a(w)R) R > - г (w) u'(w + a(w)R) R. Легко видеть, что при R = R < 0 это неравенство тоже верно. Возьмем мат. ожидание от обеих частей: Е (u"(w + a(w) R) R) > - г (w) Е (u'(w + a(w) R) R). Так как из условия оптимальности Е (u'(w + a(w) R) R) = 0, то имеем Е (и' '(w + a(w) R) R) > 0. Итак, доказано, что если г'(w) < 0, то a'(w) > 0, другими словами, рисковый актив является нормальным благом. Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая с двумя и более рисковыми активами. Пусть a i - доля инвестиций в ,-й рисковый актив, ao - доля инвестиций в безрисковый актив . Пусть Ri - доходность рискового актива, Ro - доходность безрискового ак-тива. Доходность портфеля, в который инвестируется денежная сумма w, - это случайная величина, которая может быть вычислена следующим образом: w = (aoRo + Eai R i) w, Если предпочтения инвестора на соответствующих лотереях представляются функцией полезности U(.) и инвестор может взять взаймы под процент Ro-1 в неограниченных размерах, задача выбора оптимального портфеля будет иметь вид: Е u(aoRo +Eai Ri) w) ^ max a a oi ao + Eaj- = 1 a,- > 0 Исключив ao, преобразуем задачу инвестора к виду Е u(Ro +Eai(R i - Ro) w) ^ max a ^ q Условие оптимальности первого порядка этой задачи Е и (w)(Ri - Ro) = 0, или Е и (w)Rj- = Ro Е и (w) V,. В силу свойств функции и(.), оно является достаточным условием оптимальности портфеля. По определению ковариации для двух случайных величин ^ и п выполнено Е(^п) = COv(^,n) + Е(^)Е(п). С учетом этого соотношения условия оптимальности можем записать в виде 5 COv(u'(w), R) Е Ri = Ro - I- . o Е и (w) Полученное соотношение означает, что включение актива в оптимальный портфель определяется не только его доходностью, но и величиной его корреляции с доходностью всего портфеля. Так, например, у страховых полисов ожидаемая доходность, как правило, меньше нуля, но они включаются в портфель рискофоба, так как их доходность отрицательно коррелирует с ожидаемым доходом. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "1.2.Отношение к риску" |
|
|