Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005

15.2.1 Формулировка модели и общие свойства


Пусть действия работника, x, ненаблюдаемы. Результат же действий (доход), y, есть (нетривиальная) случайная величина, распределение которой зависит от x:
У ~ Fx.
Здесь {Fx} - это семейство распределений с параметром x. Через Fx(-) обозначим соответствующую функцию распределения.
(В соответствии с моделью принятия решений при риске, можно предположить, что y - это случайная величина, заданная на состояниях мира s G S.)
Для простоты мы в дальнейшем будем предполагать, что носитель этого распределения (область значений, принимаемых величиной y) не зависит от x. Содержательно это означает, что по наблюдаемым значениям y нельзя однозначно определить, какие действия работник выбрал (или не мог выбрать). Такое предположение позволяет избавиться от многих технических сложностей.
Кроме того, естественно предположить, что чем больше усилия, тем более высоким должен быть результат. Поэтому будем предполагать, что распределение Fx(-) лсдвигается вправо при росте x, т. е.
Fxi (y) > Fx2 (y) при x1 < x2.
Это означает , что Fx2 стохастически доминирует Fxi при x1 < x2. (Это свойство в дискретном случае иллюстрируется приведенными ниже примерами.) Из этого предположения следует, что чем больше усилия, тем больше ожидаемый доход:
Exi У < Ex2 У при x1 < x2.
Математическое ожидание берется по распределению Fx , следовательно, оно зависит от того, какие действия x выбрал работник. Соответственно, оператор математического ожидания мы будем писать в виде Ex. Предполагают, что наниматель нейтрален к риску, т. е. его функция выигрыша - ожидаемая прибыль. Т. е. наниматель стремиться максимизировать величину
Ex П = Ex (У - w),
где w - оплата по контракту, которая, вообще говоря, является случайной величиной.
Работник максимизирует U = Ex u - математическое ожидание элементарной функции полезности u(x, w), которая, как и раньше, зависит от объема усилий x и от вознаграждения w.
Условие участия, по аналогии со случаем полной информации, состоит в том, что работник соглашается на работу по контракту только в том случае, если его ожидаемая полезность при этом не меньше, чем его резервная полезность uo :
Ex u Z uo.
Для упрощения анализа чаще всего рассматривают частные случаи, когда функция u(x, w) имеет простой вид. Две самых популярных спецификации функции полезности работника имеют следующий вид:
u(x, w) = v(w - c(x))
и
u(x,w) = v(w) - c(x),
где v(-) - возрастающая вогнутая функция, а c(-) - возрастающая выпуклая функция.
Оба типа функции сепарабельны по w и x (первая в каком-то смысле еще и квазилинейна по зарплате w), и включают функцию v(-), позволяющую моделировать отношение работника к риску (риск может быть связан с тем, что получаемая им оплата w является случайной величиной). Нейтральный к риску работник будет иметь линейную возрастающую функцию v(-), которую без потери общности можно считать равной v(z) = z. Поэтому мы будем называть работника нейтральным к риску, если
u(x, w) = w - c(x).
Как правило, предполагается, что работник не склонен к риску, то есть функция v(-) вогнута . Работник является рискофобом, если функция v(-) строго вогнута. При этом, если v(-) дифференцируема, то она имеет положительную убывающую производную.
Поскольку действия x ненаблюдаемы, то оплата по контракту не может быть обусловлена предпринимаемыми работником действиями (усилиями) x. В предположении, что наблюдаемыми являются результаты y этих усилий, рассмотрим модель контрактных отношений, при которых оплата по контракту обуславливается полученными результатами (как сигналами относительно уровня усилий). Поэтому в рассматриваемой модели с ненаблюдаемыми действиями контракт - это функция вида w = w(y).
Как и ранее, мы будем предполагать, что наниматель, выбирая контракт, знает функцию полезности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный. Таким образом, модель представляет собой динамическую игру. Последовательность ходов в этой игре следующая:
Наниматель предлагает контракт w(-).
Работник выбирает, работать ему или нет.
Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.
лПрирода при данном x по распределению случайным образом лгенерирует y.
Контракт представляет собой дележ дохода y между нанимателем и работником, и, тем самым, задает их выигрыши.

Рис. 15.9. Представление модели наниматель-работник с ненаблюдаемыми действиями в виде дерева
Для поиска решения этой модели можно воспользоваться обратной индукцией. При заданном контракте w(-) оптимальный для работника уровень усилий является решением следующей задачи:
U = Ex u(w(y), x) ^ max.
xИX
Учитывая это, задача поиска оптимального для нанимателя контракта имеет следующий вид:
Ex* П = Ex* (У - w(y)) ^ max
x*
x * G argmax Ex u(w(y), x) xex
(ограничение совместимости стимулов), Ex* u(w(y), x*) Z uo
(ограничение участия).
Объяснение того, почему задача нанимателя включает выбор усилий x *, такое же, как для модели с наблюдаемыми действиями: работник предполагается лблагожелательным по отношению к нанимателю, в том смысле, что из равновыгодных для себя действий готов выбрать
5
выгодные для нанимателя .
Проанализируем сначала модель с наблюдаемыми действиями, но со случайными
результатами. Это даст нам лидеальную точку отсчета для анализа модели с ненаблюдаемыми действиями. При этом, как и выше (в ситуации, когда результат однозначно определяется выбором уровня усилий), рассмотрим вспомогательную задачу, в которой определятся оптимальные для нанимателя значения x и w при ограничении участия:
Ex(y - w) ^ max
x,w
Ex u(w, x) Z uo.
Поскольку в рассматриваемой задаче как w, так и x - детерминированные величины, то u(w, x) - тоже детерминированная. Таким образом, задача сводится к следующей:
Ex У - w ^ max u(w,x) Z uo. (15.1)
При этом, как несложно понять, данная задача характеризует не только контракты, идеальные с точки зрения нанимателя, но и Парето-оптимальные состояния, если uo рассматривать в качестве параметра.
Здесь мы рассматриваем уровень оплаты w как детерминированный (не случайный). Это не приводит к потере общности. Действительно, если от произвольной случайной оплаты w перейти ее безрисковому эквиваленту, то ожидаемая прибыль не уменьшится (поскольку наниматель нейтрален к риску, а работник не склонен к риску), в то время как ожидаемая полезность останется на прежнем уровне. Поэтому достаточно рассматривать только случаи, когда плата не случайная. Если же работник - рискофоб (характеризуется строгим неприятием риска), то безрисковый эквивалент случайной оплаты w меньше Ex w, поэтому указанное изменение приводит к росту прибыли.
При
u(x,w) = v(w) - c(x),
5Это предположение базируется на том, что наниматель может простимулировать благожелательные действия работника (доплатить ему).
выражая w из ограничения участия, получаем следующую задачу:
Ex y - v-1(c(x)+ uo) ^ max. (^>)
Как и раньше, обозначим соответствующую лидеальную ситуацию (x, w). Если из задачи (?7.) найден эффективный уровень усилий x, то соответствующая плата должна быть равна
w = v-1(c(x) + uo).
Фактически, анализ здесь повторяет анализ при однозначности результата с заменой y(x) на Ex y. Как и при при однозначности результата, указанную идеальную ситуацию можно реализовать бесконечным числом способов в виде контракта w(-), зависящего от усилий x. (Например, можно использовать пакетный контракт.) Кривая w(x) должна лежать под кривой v-1(c(x) + uo) и касаться ее в точке (x, w). При этом достигается Парето-оптимум с точки зрения соответствующих целевых функций: ожидаемой прибыли Ex(y - w) и ожидаемой полезности Ex v(w) - c(x).
Предположим теперь, что усилия ненаблюдаемы. Поскольку оплату по контракту можно обуславливать только наблюдаемыми величинами, то в данной ситуации приходится обуславливать величину оплаты результатом y. Таким образом, из всех рассмотренных выше контрактов (для модели с наблюдаемыми действиями) можно реализовать только линейный по результатам контракт:
w(y) = a + by.
который является оптимальным по Парето в случае, если это контракт с полной ответственностью:
w(y) = y - A.
Покажем, что наилучший для нанимателя контракт вида w(y) является оптимальным по Па- рето лишь при ограничительных предположениях относительно отношения к риску работника. Об этом свидетельствуют следующие два утверждения.
Теорема 147:
Если работник нейтрален к риску, то наилучший для нанимателя контракт с полной ответственностью является Парето-оптимальным и эквивалентен с точки зрения ожидаемой прибыли и ожидаемой полезности идеальному контракту (x, w). J
Доказательство: Ожидаемая прибыль в данной ситуации равна Ex(г/ Чy/ - A) = A, а ожидаемая полезность равна Ex(y - A) - c(x) = Ex y - A - c(x).
Задача максимизации ожидаемой полезности по x имеет вид.
Ex y - A - c(x) ^ max.
Она эквивалентна задаче (?7), поскольку при нейтральности к риску v-1(w) = w. Таким образом, работник выберет эффективные усилия x. Параметр A наилучшего для нанимателя контракта с полной ответственностью находится из условия участия (полезность равна uo):
A = Ex y - c(x) - uo.
При этом ожидаемая прибыль равна Ex y - c(x) - uo, то есть она такая же, какая достигается в задаче (?7). ж
Очевидно, что описанный в теореме контракт7 является не только оптимальным по Парето, но и оптимальным для нанимателя среди всех возможных контрактов, и факт ненаблюдаемости усилий в данном случае несущественен, поскольку этот контракт решает задачу максимизации ожидаемой прибыли при единственном ограничении - ограничении участия. (Это Парето-оптимальное состояние, в котором один из игроков получает минимальный выигрыш. Следовательно, другой игрок получает максимально возможный выигрыш.) Таким образом, при нейтральности работника к риску модель, фактически, сводится к модели с наблюдаемыми действиями. Но, по существу, это единственная содержательно интересная ситуация, в которой ненаблюдаемость усилий не имеет значения, что и показывает следующее утверждение.
Теорема 148:
Если работник - рискофоб, и допустимый контракт w(-) таков, что w = w(y) - нетривиальная случайная величина, то соответствующая ситуация не является оптимальной по Парето и идеальной для нанимателя, поскольку можно увеличить ожидаемую прибыль, не уменьшая ожидаемой полезности. J
Доказательство: Действительно, в данной ситуации можно случайную оплату w заменить на ее безрисковый эквивалент. При этом по определению ожидаемая полезность работника не изменится, ожидаемая же прибыль вырастет (у рискофоба безрисковый эквивалент нетривиальной случайной оплаты строго меньше математического ожидания такой оплаты). ж
Из этого утверждения следует, что контракт с полной ответственностью в случае работника - рискофоба не будет Парето-оптимальным и идеальным для нанимателя, поскольку w = У - A - нетривиальная случайная величина. Это связано с тем, что наниматель заинтересован в известной степени застраховать такого работника.
Другое следствие состоит в том, что если при ненаблюдаемости действий работник является рискофобом, то Парето-оптимальность достижима только в случае, когда плата w(y) детерминированная. Ясно, что такой контракт не является стимулирующим и работник, работая по нему, будет делать наименьшие возможные усилия x = min(X) (если соответствующий минимум существует). Следовательно, Парето-оптимальность достижима только если среди эффективных контрактов есть контракты с минимальными возможными усилиями, то есть только в содержательно неинтересном случае, когда нанимателю нет смысла стимулировать работника, достаточно дать ему минимальную плату, обеспечивающую резервную полезность.
Как только что указано, при нестимулирующем контракте работник будет делать наименьшие возможные усилия. Верно и обратное: в том случае, когда наниматель стремится побудить работника делать наименьшие усилия x = min(X), он заинтересован полностью застраховать работника (т. е. платить ему постоянную сумму, не зависящую от результатов). Рассуждения здесь такие же как в последней теореме. Если бы это было не так, то можно было бы увеличить прибыль, не меняя полезности работника (оставив ее на самом низком, резервном, уровне).
В общем случае оптимальный контракт - это компромисс между двумя противоположными целями, которые преследует наниматель: целью стимулирования работника выполнять выгодные для нанимателя действия и целью страхования работника от риска.
Заметим, что предположение о том, что носитель распределения y не зависит от величины усилий x является существенным для проводимого здесь анализа. Так, в крайнем случае зависимости носителя распределения y от усилий - когда эти носители при разных действиях не пересекаются - по результату можно однозначно установить, предпринимал ли работник те или иные усилия. В этом случае усилия оказывается наблюдаемыми косвенным образом, и оптимальный контракт оказывается тем же, что и в случае наблюдаемых усилий.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "15.2.1 Формулировка модели и общие свойства"
  1. 1.3. Процесс научного познания и методы исследования
    формулировке новых гипотез. Измерение относится к общенаучным эмпирическим методам исследования и представляет собой процедуру определения численного значения некоторой величины объекта посредством ее сопоставления с единицей измерения. Ценность этой процедуры в том, что она дает точные, количественно определенные сведения об окружающей действительности. Важнейшим показателем качества измерения,
  2. 1.2.1. Формальная логика как метод экономического исследования
    формулировке гипотез. Она существенно облегчает понимание сложных процессов, являясь основой научного моделирования. Нередко аналогия позволяет правильно поставить проблему, определив направление дальнейшего исследования. Проблема - это четко сформулированный вопрос или комплекс вопросов, возникших в процессе познания. Постановка проблемы возможна до начала исследования, в ходе исследования и в
  3. Введение
    формулировки теорем тоже можно давать не очень строгие, ограничиваясь содержательно важными условиями. В четвертых, в изучении теории можно ограничится конкретными срав- нительно простыми примерами, только ссылаясь на общие теоретические результаты, которые эти примеры иллюстрируют. Последний вариант особенно уместен в преподавании микроэкономических курсов, которые посвящены более конкретным
  4. ВСТУПЛЕНИЕ
    формулировке слышатся отголоски идей Беккариа. И это дает возможность проследить тот долгий и мучительный путь, который они прошли за двадцать лег. В этих статьях угадывается также глухое сопротивление оппозиции, с которой эти идеи сталкивались повсюду в Италии и в самой Тоскане, где они наконец все же были с триумфом встречены и нашли практическое применение. Комментарии к уголовному кодексу
  5. 8.5. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ НА ПРЕДПРИЯТИИ
    моделям управления, в том числе системам менеджмента качества. Известный специалист в области качества Ю. П. Адлер назвал стандарты, устанавливающие требования к системам менеджмента качества (стандарт ИСО серии 9000), лсоветами бывалых людей, как вести бизнес. Не случайно эти стандарты попали в Книгу рекордов Гиннеса как самые используемые из всех имеющихся стандартов. Система менеджмента
  6. 19.3 Разработка бизнес-плана предприятия
    модели, фотографии, сведения о круге потребителей предпринимательского товара и потребностях, которые он будет удовлетворять, - прогноз платежеспособного спроса на товар); данные о регионах, группах населения, организа циях, которые предпочтительно исходя из анализа и прогноза ста нут покупателями и потребителями товара; данные о динамике ожидаемого потребления товара по временным периодам с
  7. 25.2 Управление качеством продукции
    моделей для оценки системы обеспечения качества у поставщика. В марте 1987 г. Международная организация по стандартизации (ISO) приняла комплекс международных стандартов серии 9000 Управление качеством продукции: 9000Ч9004. В этих стандартах были сформулированы основные принципы систем качества, ко торые не утратили своей актуальности и в настоящее время. Пре жде всего установлено, что система
  8. 7.2. Методологические подходы к задачам краткосредне- и долгосрочного прогнозирования мировых товарных рынков
    формулировке общего концептуального подхода, изначально задающего динамику основопола-гающего исследуемого параметра как конкретного объекта прогнозирова ния, т.е. устойчивого, усредненного долговременного тренда (тенденции) для долгосрочного прогнозирования или, напротив, более кратковремен ных отклонений от него в ту или иную сторону при решении вопросов конъюнктурного и среднесрочного
  9. 5.3. Модели со структурным сдвигом
    модель, характеризуя потребление, межотраслевые поставки и импорт данного продукта. Поэтому изменяется в данном случае лишь дополнительное условие = О характеризирующее лпус-тоту сектора. Это изменение, однако, означает изменение в логической структуре модели, на которое целесообразно обратить некоторое внимание. Причинами такого случающегося иногда сдвига могут быть, с одной стороны,
  10. *(№)
    модели регулирования деятельности третейских судов: автореф. дис. ... канд. юрид. наук. СПб., 2002. С. 13. *(368) Впоследствии квалификация арбитражного соглашения как "процессуального" договора обоснованно не получила развития в отечественной доктрине XX в. *(369) Цит. по: Богуславский М.М. Международное частное право: практикум. М., 1999. С. 227-228. *(370) Богуславский М.М. Указ. соч.