Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная Экономика Микроэкономика
Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005

7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности


В этом параграфе мы попытаемся ответить на следующие вопросы, относящиеся к сравнительной статике инвестиционного поведения
какие условия на предпочтения инвестора гарантируют рост вложений в рискованную часть портфеля при росте величины суммарных инвестиций;
какие условия на предпочтения двух инвесторов гарантирую большую величину вложений в рискованную часть портфеля одного из них при равных величинах суммарных инвестиций;
какие свойства двух лотерей гарантируют, что одну их них всегда предпочитает любой другой инвестор, предпочтения которого представляются функцией полезности Неймана - Моргенштерна???.
Ответ на первые два вопроса формулируется в терминах характеристик отношения к риску, к анализу которых мы переходим.
Рассмотрим лотерейный билет, которой приносит чистый выигрыш ei с вероятностью р и e2 с вероятностью 1 - р. Обозначим соответствующую случайную величину через e. Потребитель, располагающий суммой денег и, приобретет этот лотерейный билет, если лотерея, описываемая случайной величиной x = и + e, предпочитается вырожденной лотерее, дающей и с вероятностью 1, т. е.
E(u(u + e)) ^ u(u).
или
pu(u + ei) + (1 - p)u(u + e2) ^ u(u).
Обозначим множество всех таких лотерейных билетов (ei, e2) (которые потребитель согласен приобрести) через E(и).
Изобразим на плоскости (ei, e2) множество E(и). Потребителю выгодно приобрести любой лотерейный билет, представленный точкой из I квадранта, и не выгодно приобретать любой лотерейный билет, представленный точкой из III квадранта. Выгодность приобретения билетов, представленных точками из II и IV квадрантов зависит, в частности, от отношения к риску рассматриваемого потребителя. Если элементарная функция полезности u(-) вогнута, то множество E(и) выпукло. (Докажите это.)
Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется:
PU(U + EI) + (1 - P)U(U + E2) = U(U). (E)? * ?2 ?1 ^?2(?1) Рис. 7.7. Лотерейные билеты, которые потребитель готов приобрести
Это уравнение задает зависимость ?2 = ?2(?i) в виде неявной функции. Стандартные свойства элементарной функции полезности и условие р < 1 гарантируют существование такой функции и ее дифференцируемость. Подставим ?2 = ?2(?i) в (E) и продифференцируем по ?у в точке 0. Используя, тот факт, что ?2(0) = 0 получим
pu'(w) + (1 - p)u'(w)?'2(0) = 0.
Это уравнение описывает касательную к E(w) в точке (0, 0). Эта касательная имеет наклон - . Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ниже этой касательной не принадлежат E(w). Таким образом, если ?2 будет меньше, чем - уЧЧ ?1, то участник заведомо не примет участия в такой лотерее (какова бы ни была вероятность р).
Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежащие множеству Ey(w), а второй - множеству E2(w). Если E2(w) С Ey(w) (строгое включение), то естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется большим неприятием риска, чем первый.

Рис. 7.8. Сравнение отношений к риску двух потребителей
Если ни одно из включений E2(w) С E1 (w) и Ey(w) С E2(w) не выполнено, то мы не можем проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило.
Заметим, что линейная аппроксимация этих множеств (полуплоскость, задаваемая касательной в нуле) одна и та же и не отражает различие в отношениях к риску. Поэтому следует рассмотреть лаппроксимацию второго порядка.
В предположении, что элементарная функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, продифференцируем соотношение (E) по ?у дважды в точке 0. Получаем
pu"(w) + (1 - р) [u"(w)(?/2(0))2 + u/(w)?/2'(0)l = 0.
С учетом того, что e2(0) = - уЧ^, получим
4' (0) = Ч
Jifn\ - U''(U) Р
U'(U) (1 - р)2
Мы убедились, что уравнения границ множеств E 1(U) и E2(и) в первом приближении всегда совпадают, а во втором приближении могут различаться. При этом, если e2'(0) у первого меньше, чем у второго, то в окрестности нуля E2(и) содержится в E 1(U) . (Понятно, что глобально это может не выполняться.) Поэтому величину ЧU''(U)/U'(U) можно рассматривать как локальную меру неприятия риска. Эти рассуждения мотивируют введение следующей характеристики предпочтений потребителя.
Определение 59:
Мерой неприятия риска Эрроу - Пратта называется величина
u''(x)
p(x) = угт-.
u' (x)
При определенных условиях эту меру неприятия риска можно рассматривать и как глобальную меру неприятия риска. В терминах меры Эрроу - Пратта из двух участников можно считать, что тот участник характеризуется большим неприятием риска, у которого мера Эр- роу - Пратта всегда больше.
Предложенный Эрроу и Праттом подход - не единственный способ измерить отношение к риску. Выше мы ввели вознаграждение за риск, которую тоже можно рассматривать как меру отношения к риску. Напомним, что величина Ax(x) называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора x, если E x - Ax(x) является безрисковым эквивалентом x:
E u(x) = u(E x - Ax(x)).
Также напомним, что для любого рискофоба вознаграждение за риск - величина неотрицательная. Естественно считать, что в терминах вознаграждения за риск из двух участников тот характеризуется большим неприятием риска, у которого вознаграждение за риск всегда больше.
Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску - лстепень вогнутости элементарной функцией полезности. Можно считать, что u(-) лболее вогнута, чем v(-), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G(-) такая, что u(x) = G(v(x)) Vx, тогда участник с элементарной функцией полезности u(-) характеризуется большим неприятием риска.
Оказывается, что все эти способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует следующее утверждение.
Теорема 93 ((Теорема Пратта)):
Рассмотрим двух потребителей, предпочтения которых характеризуются дважды непрерывно дифференцируемыми элементарными функциями полезности ui(-) и u2(-), такими что ui(x) > 0 и ui'(x) ^ 0 Vx, i = 1, 2.
Следующие три условия эквивалентны:
pi(x) ^ P2(x) Vx, где pi(ж) - мера неприятия риска ЭрроуЧ Пратта, соответствующая ui(ж).
Существует вогнутая возрастающая функция G(-) такая, что ui(x) = G(u2(x)) Vx.
Для всех случайных переменных x с ненулевой дисперсией (Var(x) = 0) выполнено
AXI(X) ^ AX2(X) . J
Доказательство: (i) ^ (ii)
Имеется функция G(-), такая что
uy(x) = G(u2(x)).
(При доказательстве утверждения в направлении (i) ^ (ii) можем определить G(-) на области значений функции U2(ж) следующим образом:
G(x) = u1(uЧ1(x)).
Поскольку U2(ж) строго монотонна, то она обратима.)
Заметим, что функция G(-) является дважды непрерывно дифференцируемой и возрастающей. Дважды продифференцируем последнее соотношение:
л1(ж) = G'(u2(x))u'2(x),
л'/(ж) = G"(u2(x))u'2 (ж) + G'(u2(x))u'2/(x).
Заметим, что из первого равенства следует, что G'(u2(x)) > 0. Поделив вторую производную на первую, получим
G"(U2(x))
Чр1(ж) = Чр2(ж)+ GMX)T.
Поскольку G'(u2(x)) > 0, то р1(ж) Z р2(ж) эквивалентно G"(y) ^ 0 Vy = и2(ж), то есть функция G(-) вогнута в своей области определения тогда и только тогда, когда pz(x) Z Р2(ж)
для всех ж. (ii) ^ (iii)
Если функции жл!(Х) и л2(') связаны между собой соотношением U1(x) = G(u2(x)) Vx, то для произвольной случайной величины ж по определению вознаграждения за риск имеют место равенства
u1(E ж - Аж1(ж)) = E u1(x) = E G(u2(x)), u1(E ж - Аж2(ж)) = G(u2(E ж - Аж2(ж))) = G(E u2(x)).
Из монотонности U1 (ж) следует, что Аж1(ж) Z Аж2(ж) тогда и только тогда, когда U1(E ж - Аж1(ж)) ^ u1(Eж - Аж2(ж)), т. е. тогда и только тогда, когда E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)).
Если функция G(-) вогнута, то по неравенству Йенсена E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)), и поэтому Аж1(ж) Z Аж2(ж).
Наоборот, если Аж1(ж) Z Аж2(ж), то выполнено неравенство E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)), а это свойство эквивалентно вогнутости функции G(-). (Проверьте, что обычное определение вогнутой функции является частным случаем неравенства Йенсена.) ж
Введенная мера ЭрроуЧ Пратта называется абсолютной мерой ЭрроуЧ Пратта. Кроме того, рассматривают относительную меру ЭрроуЧПратта, которая определяется по формуле:
и"(ж)ж
и'(ж)
Относительная мера ЭрроуЧ Пратта является эластичностью предельной полезности (по доходу).
Меры ЭрроуЧ Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора в условиях риска, так как в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравнительной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении размера инвестиций, доходностей активов и т. д. А к проблемам сравнительной статики сводятся многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т. д.
В терминах (абсолютной) меры ЭрроуЧ Пратта можно охарактеризовать спрос на рискованный актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух активов.
U = E u(ur0 + z(f - r0)) ^ max.
Мы предполагаем, что решение z(u) существует VU G R+ и что E Г > Г0, т. е. что решение внутреннее (z(u) > 0).
Теорема 94:
Если мера ЭрроуЧ Пратта p(x) убывает, то рискованный актив является нормальным благом, т. е. z'(u) > 0. J
Доказательство: Условие оптимальности портфеля имеет вид
E[u'(x)(r - Г0)] = 0,
где x = ur0 + z(u)(f - r0).
Продифференцируем его по и:
E[u''(x)(r - r0)(r0 + z'(u)(f - Г0))] = 0,
По свойствам оператора математического ожидания
r0 E[u''(x)(r - r0)] = Чz'(u) E[u''(x)(r - r0)2],
откуда
u E[u''(x)(r - Г0)]
z'(u) = - r0-
E[u''(x)(r - r0)2]'
Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности u''(x) < 0. Покажем, что числитель больше нуля.
Рассмотрим случайную величину г - Г0: она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим случай г = r > Г0 .В силу убывания функции p(-) при z > 0
p(ur0 + z(r - Г0)) < p(u),
По определению меры ЭрроуЧ Пратта
u''(ur0 + z(r - r0))
< p(u),
u'(ur0 + z(r - r0))
Умножив это неравенство на знаменатель и на Ч(r - Г0), получаем:
u''(ur0 + z(r - r0)) > Чp(u)u'(ur0 + z(r - r0)),
Легко видеть, что при г = r < Г0 это неравенство тоже верно. Это означает, что верно соотношение
E u''(ur0 + z(u)(r - r0)) > Чp(u) E u'(ur0 + z(u)(r - r0)).
Следовательно, z'(u) > 0. Другими словами, рискованный актив является нормальным благом.
Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая двух и более рискованных активов.
<< Предыдушая Следующая >>
= К содержанию =
Похожие документы: "7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности"
  1. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
    сравнительноеЩ 142 транзитивности 135, 142 Акт добровольный 76 Активность производственная 167 Акциз 104 Амортизация 363 Анализ макроэкономический 28 маршаллианского креста 23 математический 384 микроэкономический 123, 243 нормативный 40 общего равновесия 376 позитивный 40 предельной полезности 132 производства экономический 170 рационального поведения 124 рыночной структуры 225-226 рыночный 13
  2. 13.2.2. СРАВНИТЕЛЬНАЯ СТАТИКА МОДЕЛИ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА
    сравнительной статикой потребителя - кредитора или заемщика, используя модель жизненного цикла. Нас интересует влияние на решения о сбережении изменений в экономических условиях. Прежде всего выясним, как воздействует на сбережения изменение ставки процента. Рис. 13.14. Снижение ставки процента сокращает сбережения. Рассмотрим опять положение Федора, которое воспроизведено на рис. 13..14.
  3. 16.4. ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА НА ПРЕДПРИЯТИИ
    сравнительные покупки, на основе анализа которых делается заключение о качестве и цене продукции конкурентов. В условиях конкуренции предприниматели при реализации своей продукции стремятся найти так называемую оптимальную цену товара. Реальная цена товара определяется на рынке на основе сопо-ставления спроса и предложения. Важно, чтобы оптимальная цена, рассчитанная предприятием, стремилась к
  4. 4.2. Планирование развития субъектов предпринимательской деятельности
    сравнительной эффективности проекта. На практике бизнес-план вытесняет ТЭО как самостоятельный
  5. 23.2 Организация и финансирование инновационной деятельности
    решения определенных крупных и ори гинальных научно-технических проблем. По выполнении по ставленной задачи эти коллективы или центры распускаются или реорганизуются; ж государственные научные центры (ГНЦ) - особый тип госу дарственных научных организаций, механизм деятельности которых призван обеспечить согласование, с одной стороны, стратегически долгосрочных приоритетов государства в разви
  6. 22.2. Структура и развитие международных финансовых рынков как экономической среды для бизнеса
    сравнительно новая функция рынка ценных бумаг, которая появилась в своем современном виде лишь в начале 70-х годов XX в. Благодаря ей рынок ценных бумаг существенно увеличил свою устойчивость, с одной стороны, и свою значимость - с другой, поскольку функция перераспределения рисков, основываясь все на той же функции перераспределения денежных средств, резко ускоряет и даже упрощает переливы
  7. 1. Различия между тремя инстанциями
    сравнительно новых для России форм судебной защиты проявляется в требованиях об оспаривании нормативных правовых актов, в защите прав акционеров, вкладчиков так называемых проблемных банков и т. д . Интересы неопределенного круга лиц являются одной из разновидностей публичных интересов. Интерес, как определяет это понятие известный русский юрист профессор В. Нечаев, "обозначает выгоду или
  8. Основания надзорного пересмотра
    сравнительно новых форм защиты проявляется в требованиях об оспаривании нормативных судебных актов, в защите прав вкладчиков так называемых проблемных банков и т. д. Интересы неопределенного круга лиц являются одной из разновидностей публичных интересов. Деление права на публичное и частное - это в определенной мере основание разграничения публичного и частного интереса. Рассматриваемые понятия
  9. *(№)
    сравнительное правоведение. М., 2001. С. 49. *(532) См.: Елисеева Н.Г. Гражданское процессуальное право зарубежных стран: Источники, судоустройство, подсудность. М., 2000. С. 66 *(533) ВВАС РФ. 2004. N 8. *(534) ВВАС РФ. 1999. N 3. *(535) См.: Богусловский М.М. Международное частное право. С. 412; Нешатаева Т.Н. Международный гражданский процесс. С. 87 *(536) См.: Лунц Л.А. Указ. соч. С. 61.
  10. Введение
    сравнительные преимущества и недостатки. Во втором разделе главы проводится сравнение аль тернативных форм предприятий. Особое внимание уделяется кор поративной форме предприятия, возникающем при ней отделе нии собственности от управления и связанным с этим проблемам, а также механизмам контроля управляющих. Глава 6 посвящена экономической теории государства, а седь мая рассматривает вопросы