Аудит / Институциональная экономика / Информационные технологии в экономике / История экономики / Логистика / Макроэкономика / Международная экономика / Микроэкономика / Мировая экономика / Операционный анализ / Оптимизация / Страхование / Управленческий учет / Экономика / Экономика и управление народным хозяйством (по отраслям) / Экономическая теория / Экономический анализ Главная
Экономика
Микроэкономика
| Бусыгин В.П, Желободько Е.В, Цыплаков А.А.. Микроэкономика. Третий уровень, 2005 | |
7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности |
|
|
В этом параграфе мы попытаемся ответить на следующие вопросы, относящиеся к сравнительной статике инвестиционного поведения какие условия на предпочтения инвестора гарантируют рост вложений в рискованную часть портфеля при росте величины суммарных инвестиций; какие условия на предпочтения двух инвесторов гарантирую большую величину вложений в рискованную часть портфеля одного из них при равных величинах суммарных инвестиций; какие свойства двух лотерей гарантируют, что одну их них всегда предпочитает любой другой инвестор, предпочтения которого представляются функцией полезности Неймана - Моргенштерна???. Ответ на первые два вопроса формулируется в терминах характеристик отношения к риску, к анализу которых мы переходим. Рассмотрим лотерейный билет, которой приносит чистый выигрыш ei с вероятностью р и e2 с вероятностью 1 - р. Обозначим соответствующую случайную величину через e. Потребитель, располагающий суммой денег и, приобретет этот лотерейный билет, если лотерея, описываемая случайной величиной x = и + e, предпочитается вырожденной лотерее, дающей и с вероятностью 1, т. е. E(u(u + e)) ^ u(u). или pu(u + ei) + (1 - p)u(u + e2) ^ u(u). Обозначим множество всех таких лотерейных билетов (ei, e2) (которые потребитель согласен приобрести) через E(и). Изобразим на плоскости (ei, e2) множество E(и). Потребителю выгодно приобрести любой лотерейный билет, представленный точкой из I квадранта, и не выгодно приобретать любой лотерейный билет, представленный точкой из III квадранта. Выгодность приобретения билетов, представленных точками из II и IV квадрантов зависит, в частности, от отношения к риску рассматриваемого потребителя. Если элементарная функция полезности u(-) вогнута, то множество E(и) выпукло. (Докажите это.) Для любой лотереи, лежащей на границе этого множества, выполняется: PU(U + EI) + (1 - P)U(U + E2) = U(U). (E)? * ?2 ?1 ^?2(?1) Рис. 7.7. Лотерейные билеты, которые потребитель готов приобрести Это уравнение задает зависимость ?2 = ?2(?i) в виде неявной функции. Стандартные свойства элементарной функции полезности и условие р < 1 гарантируют существование такой функции и ее дифференцируемость. Подставим ?2 = ?2(?i) в (E) и продифференцируем по ?у в точке 0. Используя, тот факт, что ?2(0) = 0 получим pu'(w) + (1 - p)u'(w)?'2(0) = 0. Это уравнение описывает касательную к E(w) в точке (0, 0). Эта касательная имеет наклон - . Поскольку выпуклое множество лежит выше своей касательной, то точки лежащие ниже этой касательной не принадлежат E(w). Таким образом, если ?2 будет меньше, чем - уЧЧ ?1, то участник заведомо не примет участия в такой лотерее (какова бы ни была вероятность р). Рассмотрим двух рискофобов. Пусть первый из них принимает лотереи, принадлежащие множеству Ey(w), а второй - множеству E2(w). Если E2(w) С Ey(w) (строгое включение), то естественно считать, что из этих двух рискофобов второй характеризуется большим неприятием риска, чем первый. Рис. 7.8. Сравнение отношений к риску двух потребителей Если ни одно из включений E2(w) С E1 (w) и Ey(w) С E2(w) не выполнено, то мы не можем проранжировать рассматриваемых участников, используя данное правило. Заметим, что линейная аппроксимация этих множеств (полуплоскость, задаваемая касательной в нуле) одна и та же и не отражает различие в отношениях к риску. Поэтому следует рассмотреть лаппроксимацию второго порядка. В предположении, что элементарная функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, продифференцируем соотношение (E) по ?у дважды в точке 0. Получаем pu"(w) + (1 - р) [u"(w)(?/2(0))2 + u/(w)?/2'(0)l = 0. С учетом того, что e2(0) = - уЧ^, получим 4' (0) = Ч Jifn\ - U''(U) Р U'(U) (1 - р)2 Мы убедились, что уравнения границ множеств E 1(U) и E2(и) в первом приближении всегда совпадают, а во втором приближении могут различаться. При этом, если e2'(0) у первого меньше, чем у второго, то в окрестности нуля E2(и) содержится в E 1(U) . (Понятно, что глобально это может не выполняться.) Поэтому величину ЧU''(U)/U'(U) можно рассматривать как локальную меру неприятия риска. Эти рассуждения мотивируют введение следующей характеристики предпочтений потребителя. Определение 59: Мерой неприятия риска Эрроу - Пратта называется величина u''(x) p(x) = угт-. u' (x) При определенных условиях эту меру неприятия риска можно рассматривать и как глобальную меру неприятия риска. В терминах меры Эрроу - Пратта из двух участников можно считать, что тот участник характеризуется большим неприятием риска, у которого мера Эр- роу - Пратта всегда больше. Предложенный Эрроу и Праттом подход - не единственный способ измерить отношение к риску. Выше мы ввели вознаграждение за риск, которую тоже можно рассматривать как меру отношения к риску. Напомним, что величина Ax(x) называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора x, если E x - Ax(x) является безрисковым эквивалентом x: E u(x) = u(E x - Ax(x)). Также напомним, что для любого рискофоба вознаграждение за риск - величина неотрицательная. Естественно считать, что в терминах вознаграждения за риск из двух участников тот характеризуется большим неприятием риска, у которого вознаграждение за риск всегда больше. Можно предложить еще один способ ранжирования рискофобов по их отношению к риску - лстепень вогнутости элементарной функцией полезности. Можно считать, что u(-) лболее вогнута, чем v(-), если существует строго вогнутая строго возрастающая функция G(-) такая, что u(x) = G(v(x)) Vx, тогда участник с элементарной функцией полезности u(-) характеризуется большим неприятием риска. Оказывается, что все эти способы ранжирования эквивалентны, о чем свидетельствует следующее утверждение. Теорема 93 ((Теорема Пратта)): Рассмотрим двух потребителей, предпочтения которых характеризуются дважды непрерывно дифференцируемыми элементарными функциями полезности ui(-) и u2(-), такими что ui(x) > 0 и ui'(x) ^ 0 Vx, i = 1, 2. Следующие три условия эквивалентны: pi(x) ^ P2(x) Vx, где pi(ж) - мера неприятия риска ЭрроуЧ Пратта, соответствующая ui(ж). Существует вогнутая возрастающая функция G(-) такая, что ui(x) = G(u2(x)) Vx. Для всех случайных переменных x с ненулевой дисперсией (Var(x) = 0) выполнено AXI(X) ^ AX2(X) . J Доказательство: (i) ^ (ii) Имеется функция G(-), такая что uy(x) = G(u2(x)). (При доказательстве утверждения в направлении (i) ^ (ii) можем определить G(-) на области значений функции U2(ж) следующим образом: G(x) = u1(uЧ1(x)). Поскольку U2(ж) строго монотонна, то она обратима.) Заметим, что функция G(-) является дважды непрерывно дифференцируемой и возрастающей. Дважды продифференцируем последнее соотношение: л1(ж) = G'(u2(x))u'2(x), л'/(ж) = G"(u2(x))u'2 (ж) + G'(u2(x))u'2/(x). Заметим, что из первого равенства следует, что G'(u2(x)) > 0. Поделив вторую производную на первую, получим G"(U2(x)) Чр1(ж) = Чр2(ж)+ GMX)T. Поскольку G'(u2(x)) > 0, то р1(ж) Z р2(ж) эквивалентно G"(y) ^ 0 Vy = и2(ж), то есть функция G(-) вогнута в своей области определения тогда и только тогда, когда pz(x) Z Р2(ж) для всех ж. (ii) ^ (iii) Если функции жл!(Х) и л2(') связаны между собой соотношением U1(x) = G(u2(x)) Vx, то для произвольной случайной величины ж по определению вознаграждения за риск имеют место равенства u1(E ж - Аж1(ж)) = E u1(x) = E G(u2(x)), u1(E ж - Аж2(ж)) = G(u2(E ж - Аж2(ж))) = G(E u2(x)). Из монотонности U1 (ж) следует, что Аж1(ж) Z Аж2(ж) тогда и только тогда, когда U1(E ж - Аж1(ж)) ^ u1(Eж - Аж2(ж)), т. е. тогда и только тогда, когда E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)). Если функция G(-) вогнута, то по неравенству Йенсена E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)), и поэтому Аж1(ж) Z Аж2(ж). Наоборот, если Аж1(ж) Z Аж2(ж), то выполнено неравенство E С(и2(ж)) ^ G(E и2(ж)), а это свойство эквивалентно вогнутости функции G(-). (Проверьте, что обычное определение вогнутой функции является частным случаем неравенства Йенсена.) ж Введенная мера ЭрроуЧ Пратта называется абсолютной мерой ЭрроуЧ Пратта. Кроме того, рассматривают относительную меру ЭрроуЧПратта, которая определяется по формуле: и"(ж)ж и'(ж) Относительная мера ЭрроуЧ Пратта является эластичностью предельной полезности (по доходу). Меры ЭрроуЧ Пратта являются полезными инструментами анализа поведения инвестора в условиях риска, так как в их терминах получаются ответы на стандартные вопросы сравнительной статики: как изменяется структура инвестиционного портфеля при изменении размера инвестиций, доходностей активов и т. д. А к проблемам сравнительной статики сводятся многие проблемы прикладной экономики: характер спроса на деньги в портфельной теории формирования спроса на деньги, влияние налогообложения и т. д. В терминах (абсолютной) меры ЭрроуЧ Пратта можно охарактеризовать спрос на рискованный актив как функцию величины инвестиций в рассматриваемый портфель из двух активов. U = E u(ur0 + z(f - r0)) ^ max. Мы предполагаем, что решение z(u) существует VU G R+ и что E Г > Г0, т. е. что решение внутреннее (z(u) > 0). Теорема 94: Если мера ЭрроуЧ Пратта p(x) убывает, то рискованный актив является нормальным благом, т. е. z'(u) > 0. J Доказательство: Условие оптимальности портфеля имеет вид E[u'(x)(r - Г0)] = 0, где x = ur0 + z(u)(f - r0). Продифференцируем его по и: E[u''(x)(r - r0)(r0 + z'(u)(f - Г0))] = 0, По свойствам оператора математического ожидания r0 E[u''(x)(r - r0)] = Чz'(u) E[u''(x)(r - r0)2], откуда u E[u''(x)(r - Г0)] z'(u) = - r0- E[u''(x)(r - r0)2]' Ясно, что знаменатель здесь меньше нуля, так как в силу вогнутости функции полезности u''(x) < 0. Покажем, что числитель больше нуля. Рассмотрим случайную величину г - Г0: она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим случай г = r > Г0 .В силу убывания функции p(-) при z > 0 p(ur0 + z(r - Г0)) < p(u), По определению меры ЭрроуЧ Пратта u''(ur0 + z(r - r0)) < p(u), u'(ur0 + z(r - r0)) Умножив это неравенство на знаменатель и на Ч(r - Г0), получаем: u''(ur0 + z(r - r0)) > Чp(u)u'(ur0 + z(r - r0)), Легко видеть, что при г = r < Г0 это неравенство тоже верно. Это означает, что верно соотношение E u''(ur0 + z(u)(r - r0)) > Чp(u) E u'(ur0 + z(u)(r - r0)). Следовательно, z'(u) > 0. Другими словами, рискованный актив является нормальным благом. Отметим, однако, что это свойство не выполняется для случая двух и более рискованных активов. |
|
| << Предыдушая | Следующая >> |
| = К содержанию = | |
Похожие документы: "7.6 Сравнительная статика решений в условиях неопределенности" |
|
|