Оптимизация работы предприятия ООО "Техсервис" по критерию прибыли за счет инноваций технологии и экономии ресурсов
Дипломная работа - Экономика
Другие дипломы по предмету Экономика
енденции временных рядов наиболее часто встречаются следующие зависимости (рис.2.9):
- линейная функция: х = a + bt;
- парабола: х = а + bt + ct2;
- полином третьей степени: х = а + bt + ct2 + dt3;
- гипербола: х = а +
- степенная функция: х = аtb
- модифицированная экспонента: x=k - аеbt ;
- экспоненциально-степенная функция: х = eattb;
- логистическая (S образная ) функция: x = k (1+be-at) ;
- функция Гомпертца: x = kabt;
- квадратная логистическая функция:
;
- логарифмическая функция: x = b lgt.
6) экспоненциальная функция: х = аеbt ;
При экстраполяции тенденций ряда задача состоит в том, чтобы определить параметры выбранной функции a0, a1, а2 и т. д. Для определения этих параметров применяют метод наименьших квадратов.
рис. 2.9. Общий вид некоторых прогнозных кривых
2.2.8 Предварительная обработка прогнозной информации
При значительном разбросе значении исходного ряда для облегчения процедуры выбора типа кривой и уменьшения трудоемкости се математического описания осуществляют предварительную обработку исходного числового ряда путем его сглаживания и выравнивания.
Процедуру сглаживания применяют в целях уменьшения случайных отклонений единичных значений числового ряда, как правило, методом скользящей средней. Для этого определяют средние значения групп точек исходного ряда, при этом группы выбирают как бы скользящими от начала к концу ряда. Так, к примеру, при сглаживании группы по пяти значениям, имеем группы:
…
Остающиеся крайние точки (х1, х2 и xn-1, xn) сглаживают по специальным формулам.
Для сглаживания по трем точкам применяют формулы:
;
;
,
где х0, исходное и сглаженное значения средней точки в скользящей группе; х-1, исходное и сглаженное значения в левой от средней точке; х+1, исходное и сглаженное значения в правой от средней точке.
Для средней точки скользящей группы из т = 2к +1 точек в общем виде формула имеет вид
При большом числе точек исходного ряда используют рекуррентную формулу:
При наличии в исходном ряде значительных случайных отклонений единичных реализаций от групповых средних процедура сглаживания дает хорошие результаты, способствуя выявлению тенденции ряда. При необходимости сглаживание может быть выполнено повторно по уже сглаженному ряду значений. Однако эффективность многократного сглаживания быстро уменьшается и более одного трех раз его выполнять нецелесообразно.
Метод наименьших квадратов дает наиболее точные результаты при аппроксимации линейных зависимостей. Достаточно успешно его применяют также для определения параметров парабол, кубических полиномов и гипербол. Чтобы получить параметры других аппроксимирующих зависимостей, прибегают к процедуре выравнивания тренда путем его линеаризации. То есть эмпирическую зависимость вида x = f(t) приводят к виду
X=A+BT.
Коэффициенты А и В линеаризованной зависимости определяют методом наименьших квадратов, после чего осуществляют обратный переход от вычисленных значений А и В к исходным a и b произвольной функции x = f(t).
2.2.9 Обработка временных рядов методом наименьших квадратов
Сущность метода наименьших квадратов (МНК) заключается в минимизации суммы квадратов случайных отклонений , фактических значений временного ряда от тренда f(t):
(2.15)
Минимизируется сумма квадратов отклонений, а не самих отклонений по той причине, что эти отклонения могут иметь как положительное, так и отрицательное значения и при суммировании взаимно погашаются. Отсюда название метода.
МНК дает наиболее точные результаты в случае, когда f(t) имеет линейный вид. Однако на практике этим методом пользуются и при определении параметров функций, описываемых параболической и гиперболической зависимостями; погрешность МНК в этом случае для практических целей не существенна. Рассмотрим МНК для определения параметров следующих зависимостей:
f(t)= a0 + a1t - линейная зависимость;
f(t)= a0 + a1t + a2t2 парабола;
- гипербола.
Для линейной зависимости условие (2.15) запишется в виде
(2.16)
Для краткости обозначим сумму через Q.
Тогда задача определения тренда формулируется так: найти такие значения коэффициентов а0 и а1, чтобы Q = min Q.
Необходимым условием осуществления минимума функции является равенство нулю частных производных этой функции по параметрам а0 и а1:
После преобразования получим систему так называемых нормальных уравнений:
Решив эту систему относительно а0 и а1, получим параметры функции f(t)= a0 + a1t.
2.2.10 Обработка временных рядов методом наименьших квадратов с весами
Экстраполяция выполненной с помощью МНК тенденции изменений показателя на прогнозный период предполагает, что вес наблюдения (уровни временного ряда) равнозначны для прогноза. Однако информация об изменении показателя в период времени, непосредственно примыкающий к моменту прогноза, "ценнее" для прогнозирования, чем в более удаленный. Но и более удаленные от момента прогноза наблюдения временною ряда также несут значительную информацию о процессе, поэтому пренебрегать этими наблюдениями при расчете прогноза не следует.
Для учета различной "ценности", или, как это принято в терминологии прогнозирования и информатики, "веса" информации в различные моменты времени пр