Общая теория статистики
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
визуально, но в дискретных рядах она определяется с помощью накопленных частот. В интервальном ряду медианный интервал находится визуально, с помощью накопленных частот, а сама медиана (точечно) по формуле:
, где
x0 ? нижняя граница медианного интервала;
i ?шаг интервального ряда;
?f ? сумма накопленных частот;
SMe-1 ? сумма частот, накопленных до медианного интервала;
fMe ? частота медианного интервала.
Пример: Найти Ме в нечетных, четных, дискретных, интервальных рядах.
интервальный ряд:
.
Если х сред. равно Мо = Ме - это симметричное распределение, если х сред не равно Мо, не равно Ме - распределение ассиметричное.
Лекция 7. Вариация
Для каждой единицы изучаемой совокупности интересующий нас признак принимает различные значения, т.е. варьирует.
Вариация - это колебания признака в ряде распределения.
Показатели вариации
1. Размах вариации (R) - разность между максимальным и минимальным значениями совокупности: .
2. Среднее линейное отклонение (d) - средняя арифметическая абсолютная величина отклонений значений признака от его средней величины: ; .
. Дисперсия () - среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от его средней величины..
Дисперсия ? единственный из показателей вариации, не имеющий единицы измерения:
; ;
; ; , где
; ? начальный момент первого порядка,
; ? начальный момент второго порядка.
i - величина интервала;
A - варианта с наибольшей частотой.
. Среднее квадратическое отклонение () - арифметическое значение корня квадратного из дисперсии: ; .
Отметим, что отношение (для прогноза).
. Коэффициент вариации (V) - отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах: .
Этот коэффициент показывает долю колебания признака от средней арифметической. Применяется для сравнения вариаций признака в различных совокупностях и для характеристики колебаний различных признаков в одной совокупности. Также он характеризует степень однородности совокупности и качества средних величин.
Если V от 0% до 20%, то совокупность однородная, и среднюю можно использовать смело.
Если V от 20% до 50%, то совокупность средней однородности, и среднюю необходимо использовать осторожно.
Если V более 50%, то совокупность неоднородная, и средней пользоваться нельзя для прогнозирования перспективных показателей признака.
Целесообразно расчёт каждой средней величины дополнять расчётом коэффициента вариации для характеристики степени однородности совокупности и оценки качества средней величины.
Свойства дисперсии
1. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в k раз, то дисперсия увеличится или уменьшится в k2 раз.
. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то дисперсия не изменится.
. Если все частоты увеличить или уменьшить в несколько раз, то дисперсия не изменится.
. Дисперсия равна средней арифметической квадратов вариант без квадрата средней арифметической.
Дисперсия альтернативного признака
Если в совокупности исследуется доля единиц, обладающих тем или иным альтернативным признаком, то дисперсия этой доли определяется по формуле: , где .
p - доля единиц совокупности, обладающих данным признаком, ;
m - число единиц совокупности, обладающих данным признаком;
n - число наблюдений.
Пример: выпущена продукция, в объёме которой доля пригодных изделий составляет 0,8, оставшиеся - бракованные изделия. Определить дисперсию альтернативного признака.
= 0,8 • 0,2 = 0,16.
Межгрупповая и внутригрупповая дисперсии
На вариацию признака влияют различные факторы: систематические и случайные. В статистике определяется количественное воздействие случайных факторов при помощи различных видов дисперсий.
Предположим, совокупность S разбита на непересекающиеся группы по возрастанию признака (S1 ,S2 ,…,Sn).
Дисперсия всей совокупности называется общей дисперсией. Она характеризует влияние колебания признака от воздействия всех факторов: случайных и систематических.
Дисперсия каждой группы, на которые разбита совокупность, называется внутригрупповой и рассчитывается по формуле дисперсии:
,
где ? дисперсия i-ой группы;
? значение ряда.
Среднее арифметическое из внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле: и называется средней внутригрупповой дисперсией. Она характеризует влияние случайных факторов на величину общей вариации, т.е. всех факторов, за исключением того, который положен в основу группировки.
Межгрупповой дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений внутригрупповых средних от общей средней., рассчитывается по формуле. . Она характеризует влияние систематических факторов, положенных в основу группировки, на величину общей вариации.
Правило сложения дисперсий
Если совокупность разбита на непересекающиеся группы S1 ,S2 ,…,Sn, то общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии: (четвёртый способ нахождения дисперсии)
Отношение межгрупповой дисперсии к общей, выраженное в процентах, называется коэффициентом детерми